河南省南阳市2025-2026学年高二年级上册期末数学试题（试卷+解析）

2025年秋期高中二年级期终质量评估

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在平面直角坐标系中，工轴的倾斜角为()

A.OB.-C.兀D.不存在

2

2.设％,yeR,a=£=(l,y,z),乙=(x,-4,2)且2B/分，则。+5=()

A.25/2B.V10C.3D.4

3.某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额X〜N(4500,1600)(单位：万

元)，估计第二季度(按90天计算)内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为()

(P(〃—XV//+)=0.6827)

A.50天B.61天C.86天D.88天

4.若圆G：]2+),2=I与圆G：a+4)2+(y+3)2="z有且仅有三条公切线，则机=()

A.6B.4C.36D.16

5.如图，三个元件正常工作的概率均为;，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生

故障的概率是()

,一

T}HHi

TI--

TI-

G

1157

A.-B.—C.—D,—

9272727

6.抛物线C:/=4x的焦点为为抛物线C上一点，点M满足前=2而，则直线QM(。为坐标

原点)斜率的取值范围为()

A.[0,V2]B.1拉,C.[0,G]D.}百,x/T

7.将5名程序专家全部分配到1,2,3号3个用实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中

A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有()

A.26种B.36种C.38种D.50种

8.尸为双曲线=—的右供点，A为左顶点，P为双曲线C右支上一点，若

PA±PF,ZPAF=30°,则双曲线C的离心率为()

3L

A—B.5/3C.2D.5/5

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知二项式的展开式中各项系数之和是则下列说法正确的是()

k2x)64

A.展开式共有6项B,二项式系数最大项是第4项

C.展开式的常数项为540D.展开式含有产

10,下列说法中正确的是()

45

A.从一批含有10件正品、4件次品产品中任取3件，则取得2件次品的概率是一

91

B.己知随机变量X服从二项分布3(〃,p)，若£(X)=20,0(X)=10,则〃=40

C.已知随机变量J服从正态分布N(2,〃)，若P(J>l)=p,则P(Jv3)=l-〃

D.已知随机事件A,B满足。(B)=g,P(4B)=《，则P(RB)=-

11.如图，已知正方体43co-A4GA的棱长为2,E1为AA的中点，尸为线段CG上的一个动点，

设由点A、£、产构成的平面为a.则下列结论中，正确的是()

A.当尸为CG的中点时，平面。截正方体A3CD-AMGR所得的截面为五边形

B.平面。截正方体耳an所得的截面可能是三角形

C.当点产与G重合时，平面。裁正方体所得械面的面积为26

D.点。到平面。的距离的最大值为侦

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

rrr

12.已知瓦2是两两垂直的单位向量，则。—2〃+2。=.

13.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点。出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动.掷出骰

子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子

小球位于-1且第五次掷完骰子小球位于1的概率为.

14.若函数/（x）=2G+1—区一1有两个零点,则实数2的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.已知圆C的圆心C在直线x+y-3=0上,且经过A（1,3）,B（4,2）.

（I）求圆C的标准方程；

（2）过点尸（0,2）作直线/与圆C的另一个交点记为Q,求APCQ的面积最大时直线/的方程.

16.有三个外观相同的箱子，编号分别为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个

红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.

（1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；

（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以

及该球取自几号箱的可能性最大.

17.学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没白投中得。分，假设每次投篮投中

与否是相互独立.已知小明每次投篮投中的概率都是:，小强每次投篮投中的概率都是〃（O<P<1）.

（I）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；

（2）求小明在4次投篮后的总得分4的分布列和期望；

（3）小强投篮4次，投中的次数为X,若期望E（X）=1,求〃和X的方差"X）.

18.如图所示的几何体中，平面。CFE1为正方形，四边形A8CD为等腰梯形，AB//CD,

AB=2BC=2yZABC=60°yAC±FB.

（1）求证：AC_L平面F3C；

（2）求8c与平面£4C夹角的正弦值；

（3）线段石。上是否存在点Q,使平面"C与平面QBC夹角的余弦值为亚，若存在，求出。。的

10

值；若不存在，请说明理由.

19.过平面内的动点〃分别作直线），=2x和y=-2x的垂线，交大轴于两点，若|OM「+|ON『二8

（。为坐标原点）.

（1）求动点。的轨迹小的方程；

2

（2）曲线「.：工+9=2,直线了=履+〃?与「，和J的交点从左到右依次为

'4'

①证明；|AC|=忸q；

②若左=1,求|C£>|最小值.

2025年秋期高中二年级期终质量评估

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在平面直角坐标系中，工轴的倾斜角为()

A.OB.-C.兀D.不存在

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线倾斜角的定义：x轴正方向与直线向上的方向之间所成的角，我们规定：当直线与x轴平

行或重合时，直线的倾斜角为0,可得答案.

【详解】因为工轴是水平的直线，所以其倾斜角为0,

故选：A.

2.设4,yeR,Zz=(1,1,1),b=(\,y,z),c=(x,-4,2)AaJ.cbHe则5+B=()

A.2>/2B.Vioc.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标公式即可得到方程，最后利用向量模的坐标公式即可得到答案.

【详解】因为日上乙，则人-4+2=0,解得x=2,则^=(2,7,2)

因为万/分，则:=三=彳，解得y=-2,z=l,

则方=（1,一2,1）,则3+B=（2,—1,2）,则归+5卜百+（_］『+2?=3.

故选：C.

3.某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额X〜N(4500/600)(单位：万

元)，估计第二季度(按90天计算)内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为()

(P(〃-bWXW〃+cr)=0.6827)

A.50天B.61天C.86天D.88天

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可.

【详解】由X〜N(4500,l600)=4=4500,4(),

因为P(〃一b4X=0.6827,

所以尸(4500—404X44500+40)=0.6827,

即P(4460<X<4540)=0.6827,

所以第一季度(按90天计算)内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为：

0.6827x90=61.443^61,

故选：B

4.若圆0：/+),2=1与圆。”代+4)2+()，+3)2=〃2有且仅有三条公切线，则机=()

A.6B.4C.36D.16

【答案】D

【解析】

分析】由圆G：/+)，2=I与圆G：*+4)2+()，+3)2=m有且仅有三条公切线，得到圆G与圆G外

切,则有|。|。21=弓+弓，计算求解即可.

【详解】•.—(0,0)，圆G:x2+)2=1的半径为4=1,

2

C2(-4,-3),圆C2：4+(y+3)=m的半径为4=而，

•.•圆G:/+9=1与圆。2:(X+4)2+(y+3)2=m有且仅有三条公切线,

.•.圆C与圆C2外切，

.♦IG。2|=彳+弓，/.5=1+yfrn?=16.

故选：D.

5.如图，三个元件1,4,4正常工作的概率均为g,且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生

故障的概率是()

.一.

7\1-1Hi

—IF--

T1

73

1

A.一

9

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，记不正常工作为事件A,，正常工作为事件8,记73正常工作为事件C，易得则

P（A）、P（B）、P（C）,若电路不发生故障，必须是7；正常工作且心，心至少有一个正常工作，由对立

事件的概率性质可得心，△至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法

公式计算可得答案.

【详解】记（正常工作为事件4,，正常工作为事件8,记[正常工作为事件C，

则P（A）=P（3）=P（C）=g,

电路不发生故障，即7；正常工作且心，1至少有一个正常工作，

%、7；不发生故障即心，7；至少有一个正常工作的概率4==

所以整个电路不发生故障的概率为P=P（A）X”状=捺.

故选：C.

6.抛物线Uy?=4x的焦点为F,P为抛物线C上一点，点M满足尸A/=2M「，则直线（。为坐标

原点）斜率的取值范围为（）

A.[0,V2]B,[-V2,>/2]C.[0,V3]D.

【答案】B

【解析】

【分析】设尸手,为，历（々八%），由丽=2丽可得到点M的坐标，进而可得的表达式，对

先进行讨论即可.

/2\

【详解】由题知]（1,0）,设洋（，％.（小，%），

I-7

/2\

由丽=2丽得（/T，加）=2寸一切,为一加，

2%

/2\2-------A

・・・“-1=2受一乙，%=2（），°一加），解得/=安，%=争，・.・&加=木=*

V4J63尢+―>o+2

6

当%=。时，kOM=0；

44>---4「行（当且仅当犷飞时等号成

OMr

当%时,T2卜

<0%+一一期+一

>0一）'。一%

立）,

又当为<0时G*e-k（）M6[-夜⑼;

43（当且仅当为=3时等号成立）,

八.k°M

当%>0时，2/>o~

?0Y）

又当%>0时=当1>°，

:・k°Mw（o,&].

>0+，

综上，直线。W（。为坐标原点）斜率的取值范围为［-夜,&1

故选:B.

7.将5名程序专家全部分配到1,2,3号3个旬实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中

A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（）

A.26种B.36种C.38种D.50种

【答案】D

【解析】

【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可.

【详解】当1号实验室有1人时，即A专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室，

且每个实验室至少1人，分配方案有2“-2=14种；

当I号实验室有2人时，先从其余4名专家中选I人到1号实验室有C；种方法，

再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有-2=6种方法,

故共有C：（23—2）=24种；

当I号实验室有3人时，分配方案有C：A；=12种；

可得不同的分配方案共有14+24+12-50种.

故答案为：50

8.尸为双曲线。：・一/二1（。〉0力〉0）的右焦点，A为左顶点,夕为双曲线C右支上一点，若

PAA.PF,NBA尸=30。，则双曲线C的离心率为（）

3L

A.—B.GC.2D.y/s

【答案】C

【解析】

【分析】由题知|A耳=。+以|尸耳=等，设双曲线的左焦点为尸，连接刊丁则归尸卜等£,在

△尸FF中，由余弦定理化简可得/一6一2=0,即可求解.

【详解】因为Mb|=a+c,NA4厂=30。，B4_LQF,所以归日二专,

设双曲线的左焦点为产’，连接尸广，则|PF[=吆芦，

所以在△Pf下'中，NPE4=60°,由余弦定理得，

5a+c]2.,(tz+cV__a+c,“A

=4c~+-----2x2cx----xcosZ.PFA»

I2)2

整理得2/+〃C-C2=0，即/-«-2=0,得e=2.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知二项式（24-的展开式中各项系数之和是3,则下列说法正确的是（）

I64

A.展开式共有6项B,二项式系数最大的项是第4项

C.展开式的常数项为540D.展开式含有产

【答案】BC

【解析】

【分析】由二项式（2«-上）的展开式中各项系数之和是求出〃，得到二项展开式的通项公式，逐

V2x）64

项判断即可.

，L、"

【详解】由于二项式24-二3的展开式中各项系数之和是1广，

I2x）64

(3丫门、"1

所以令x=l,贝ij2—2=-=—,所以〃=6,

(2⑵64

所以二项式（24一2],所以展开后有7项，故A错误；

二项式系数最大的项是笫4项，故B正确；

二项式展开式的通项公式为4.尸晨（2«「[一2]=C；26-f.f--l工等,

\2xJV2>

所以当〃=2时，常数项为C：24（—=540,故C正确；

I2）

当彳工=2时，解得r二Q不是整数，所以展开式不含有W项，故D错误.

故选:BC

10.下列说法中正确的是（）

45

A.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是，

91

B.已知随机变量X服从二项分布8（〃,p）,若&X）=20,D（X）=10,则〃=40

C.已知随机变量4服从正态分布N（2,b9,若p（J>l）=p,则pq<3）=l-〃

39_I

D.已知随机事件A,B满足20=一,245）=一，则2（川B）=-

553

【答案】BD

【解析】

【分析】对A,根据超几何分布可计算判断；对B,由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C,根据

正态分布的对称性求出概率判断；对D,根据全概率和条件概率的计算公式求解.

【详解】对于A,从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为

C，C0=6x1015

=故A错误;

Cl14x13x291

n-40

np=20解得，1

对于B,X〜,故B正确;

np(l-p)=10,D=—

对于C,・.・&〜N（2,CT2）,则正态曲线的对称轴为J=2,根据正态曲线的对称性可得

尸（。＞1）二尸位＜3）=〃，故C错误;

对于D,・・・P（3）=P（A5）+尸03）,.•.P（M）=3_2=L

1

5-

-

3—,故D正确.

5-

故选B

D.

11.如图，已知正方体A8CD—44C；2的棱长为2，E1为4"的中点，F为线段CC；上的一个动点,

设由点A、E、尸构成的平面为则下列结论中，正确的是（）

A.当尸为CG的中点时，平面。截正方体ABC。—44GA所得的截面为五边形

B.平面a截正方体ABC。—A4GQ所得的截面可能是三角形

C.当点/与a重合时，平面。截正方体ABCQ-AqGR,所得截面的面积为2"

D.点。到平面a的距离的最大值为坡

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出截面，可判断AB选项：作出截面，可知截面为菱形，求出其面积，可判断C选项；建立空间

直角坐标系，利用空间向量法可判断D选项.

【详解】对于A选项，如下图所示:

延长AE交DR的延长线于点P,连接尸产交线段GR于点H,

延长PR交。C的延长线于点。，连接A。交线段3c于点G,

连接Q、EH,则平面。截正方体48CO-A4GA所得的截面为五边形4E7〃p，A对;

对干B选项，当点“在线段CG上运动时（不与端点重合），

此时平面。截正方体ABCD-ABQR所得的截面为五边形；

当点尸与点。重合时，连接PC交线段GR于点，，连接AC、EH,如下图所示：

此时，平面。截正方体A8CQ-A石GR所得的截面为四边形AE//C；

当点尸与点G重合时，连接PG并延长交。C的延长线于点Q,连接AQ交3c于点G,

p

此时平面a截正方体ABCD-A^C.D,所得的截面为四边形AECfi,

综上所述，平面a截正方体A8CO-A81GD所得的截面不可能为三角形，B错;

对干C选项，当点尸与点G重合时，此时截面为四边形AEGG,如下图所示：

因为平面ABCD//平面4用G乌，平面an平面ABCD=AG,

平面。口平面A4GA=GE,所以AG〃GE,同理可证AE〃C。，

又因为AE=屈「二灸=而7=石，同理可得GE=6,

故四边形AEGG为菱形，

设4GriEG=O,则。为AG的中点，且AG_LEG,

且AC]=2\/5，故AO=JJ,故EO=JA炉-AO?=^5—3=>p2»

所以截面面积为S=2s△"；（；=AG•OE=2后xa=2«，C对；

对于D选项，以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为％、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，

则。（0,0,0）、A（2,0,0）,£（1,0,2）,设点尸的坐标为（0,2,。。目0,2］）,

)=(2,0,0),通=(-1,0,2),通二(-2,2,小

/、[n-AE=-x+2z=0

则设平面a的法向量为”=(xy,z),则〈―

[n-AF——lx+2y+tz-0

令z=-2,可得x=y=/-4,则万=(-4/-4,一2),

/。人•可,8

设点。到平面a的距离为4,则d=匕/"d=-----------

\n\]16+(-4)~+4

8-

由J（”4『+20在，2］时单调递增可知,

当1=2时，&a=述，所以当r=2时，〃取最大值，最大值巫,D对.

a33

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

rrr

12.已知工区）是两两垂直的单位向量，则。—2〃+2。=

【答案】3

【解析】

【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量枳的运算律运算求解即可

【详解】解：因为2瓦"是两两垂直的单位向量,

所以标=说==（）,同=5=同=1,

所以B―4+J(彳—25+2c)2=yja2+4b2+4c2-4a-b^-4ac-Sbc=也=3

故答案为：3.

13.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点。出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动.掷出骰

子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子

小球位于7且第五次掷完骰子小球位于|的概率为.

【答案】-##0.125

8

【解析】

【分析】掷出骰子，奇数点向上与偶数点向上的概率均为第一次向左移动位于-1，且后续4次移动

中小球向右移动3次，向左移动1次才能保证第五次位于1,根据独立重复试验的概率公式求解即可.

【详解】掷出骰子，奇数点向上的概率为J,偶数点向上的概率亦为;；

第一次掷完骰子小球位于-1,即第一次向左移动，且第五次位于1,

则后续4次移动中小球向右移动3次，向左移动1次，

故其概率为，X-=~.

2\2)28

故答案为：.

8

14.若函数=有两个零点,则实数上的取值范围为.

【答案】(-2,-百)U(6,2)

【解析】

【分析】令/(x)=。得2，717=履+1，分析可知曲线y=2收+1表示双曲线?-f=1的上支,则

直线)，=h+1与双曲线上一Y二i的上支有两个不同的交点，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据题

4

意可得出关于k的不等式组，由此可解得实数攵的取值范围.

_____2

详解】令/(工)=。得2JX?+1=履+1，设y=2yld+1，即3-Y=](),n2),

故曲线y=24rli表示双曲线士-£=1的上支，

"4

y=kx+\

联立2可得(公一4)丁+8〉一(4+4公)=0,

-----X—1

4

2

由题意可知直线y二米+1与双曲线匕-f=i的上支有两个不同的交点,

4

设这两个交点的纵坐标分别为凹、打，且,>0，%>°，

”2_4±0

△=64+4（左2一4）（4+4&2）=16女2（左2—3）〉0

8八可得3〈公<4,解得攵£卜2,—G)U(G,2).

所以）/必=匚记>°

4+4公

）3二">°

因此，实数％的取值范围是(一2,-6)。(、6,2).

故答案为：(-2,-V3)u(V3,2).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.已知圆。的圆心。在直线x+y-3=0上,且经过A(l,3),3(4,2).

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点夕(0,2)作直线/与圆。的另一个交点记为Q,求△户。。的面积最大时直线/的方程.

【答案】(1)(x-2)2+(y-l)2=5

(2)3x+y-2=0或工一3y+6=0

【解析】

【分析】⑴设圆心坐标为根据|C4|=|C四解得。=2,可得圆心和半径，即可得圆的方程：

(2)根据三角形面积公式分析可知当△尸CQ的面枳取到最大值时，圆心C到直线/的距离4=亚，结

2

合点到直线的距离公式运算求解.

【小问1详解】

因为圆心。在直线x+y-3=0上，设圆心为

又因为|C4|=|CM，则J51)://I)*]—/,解得4=2,

可得圆心为C（2,l）,半径厂=|CA|=jF+22=下,

所以所求圆的标准方程为卜一2），（），一1『=5.

【小问2详解】

因为△PCQ的面积SgcQ=||CP||Ce|sinAPCQ=|sinNPCQ<1,

乙乙乙

当/2。。=90。时・，△PCQ的面积取到最大值，此时圆心C到直线/的距离4=少，

2

若直线/的斜率不存在，则圆心。到直线/的距离为2,不合题意，所以直线/的斜率存在，

设直线/的方程为y="+2,即日一y+2=0,

,|24+1|回1

则d=/=?,解得〃=—3或二，

VF+123

所以所求/直线的方程为3x+y-2=0或x-3y+6=0.

16.有三个外观相同的箱子，编号分别为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个

红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.

（1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；

（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以

及该球取自几号箱的可能性最大.

Q

【答案】（1）—

15

（2）该球是取自1号箱的概率为:，该球取自3号箱的可能性最大

【解析】

分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可；

（2）根据（I）中数据■，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可.

【小问1详解】

设事件用表示“球取自i号箱”（i=1,2,3）,事件A表示“取到红球”，

1I9

则P（8J=P（32）=P（员）二葭P（A|B,）=-,P（A|B2）=j,P（A|53）=l,

II191Q

可得尸（A）=P（BJP（A|8J+P（用）尸（川8J+P（员）P（A[员）=4XE+4XM+4X1二段

-JJL-7

Q

所以取到红球的概率为百.

【小问2详解】

11

由条件概率知:尸⑻小爵=5辔专《

15

12

哪|小绊於皿铲二卒」,

'-7P(4)P(A)A4

15

1।

P(员A)尸囱)尸⑷层)二寸15

户(员|4)=

P(A)P(A)A8

15

因为?<!<■!，故该球是取自1号箱的概率为《，该球取自3号箱的可能性最大.

8488

17.学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中

与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是:，小强每次投篮投中的概率都是〃(0<p<l).

(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；

(2)求小明在4次投篮后的总得分。的分布列和期望：

(3)小强投篮4次，投中的次数为X,若期望E(X)=1,求〃和X的方差O(X).

【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：1；(3)/)=；,D(X)=1.

【解析】

【分析】(1)小明在投篮过程中直到第三次才投中，说明小明前两次未投中，第三次投中，再由小明每次

投篮投中的概率都是:，可求得所求概率；

3

(2)由题意可知小明在4次投篮后总得分。的可能取值为0,2,4,6,8,然后求出每个所对应的概率，

进而可列出分布列；

(3)随机变量乂~8(4,p),,而由艮X)=l,可求出〃=!，进而可求出£>(X)

【详解】解：(1)设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件4,

事件4说明小明前两次未投中，第三次投中，

所以尸(4)=(1一!]x-=—.

I3J327

4

故小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为二.

27

(2)小明在4次投篮后总得分^的可能取值为0,2,4,6,8.

16

P(")=

6)81

32)/(吗居喑

_24__8_

P(94)=第1一可

;-8?~27

1\8

P(*)=C：1——X

I3J<3；81

1

PC=8)=-

81

所以总得分r的分布列为

G02468

1632881

P

8?81278?而

]632881=216=8

所以E(^)=Ox—+2x—+4x——+6x——+8x

8181278181--87~3

(3)因为随机变量X~5(4,p),

所以E(X)=4p=1.所以p=!.

4

1(1A3

所以随机变量X的方差D(X)=/?p(l-p)=4x-x^l--J=-.

18.如图所示的几何体中，平面OCFE1为正方形，四边形A8CD为等腰梯形，AB//CD,

AB=2BC=2.ZABC=60°.AC.LFB.

（1）求证：AC_L平面F3C；

（2）求8c与平面£4C夹角的正弦值；

（3）线段石。上是否存在点Q,使平面"C与平面QBC夹角的余弦值为亚，若存在，求出。。的

10

值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）

5

（3）存在；DQ=2

2

【解析】

【分析】（1）由余弦定理求得AC,由勾股定理证明ACJ.BC,由线面垂直的判定定理可得证；

（2）以C为坐标原点，分别以CACB,Cb为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出区及平面丛。的法向

量即可求解；（3）设。Q="OW，W1）,求出平面Q8C的法向量，根据两个平面的法向量求解即可.

【小问1详解】

由题知A8=2,BC=l,Z4BC=60°,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOS600=3，

AAC=V3>：-AC2+BC2=AB\AAC1BC,

又AC_L尸8,BgFBu平面FBC,BCcFB=B,

・•・AC•L平面尸BC；

【小问2详解】

如图，过C作A3的垂线，垂足为G，则3G=BCcos60o=:，

•・•四边形A8CO等腰梯形，・・・OC=2—23G=2-4=1.

由（1）知，4。_1平面产3。，

AAC±CF,又CF1DC,OC,4Cu平面ABC。，ACnDC=C,

・•・"，平面ABC。，・・・CAC8,C/两两互相垂直，

以C为坐标原点，分别以CACB,C厂为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

-11

则C（0,0,0）,3

'2'

・・.丽=（0,1,0）,垓=（6,0,0b屈二（444

设平面EAC的法向量为m=（芭，3Z］）,

A/JXJ=0

CAm=0

由《一得《61-A

CEm=0~^~x\+Z|=0

令4=1,得玩=（0,2,1）,

・•・cosCB9m=^=—,

行5

故8C与平面E4C夹角的正弦值为述:

5

【小问3详解】

存在.

假设存在。，设OQ=，OK