2025-2026学年人教A版高中数学必修第二册课时达标：平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

一.选择题

1.若a=(6,6)力=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()

A.a-c与b共线

B.h+c与a共线

C.a与b-c共线

D.a+Z＞与c共线

2.已知向量。=(2,1)力二(3,4"二伏,2)伏£2.若(3°/)〃。,则k的值为()

A.-8B.-6

C.-lD.6

3.已知向量。=(l-sin。,1)力二&1+sin且a〃瓦则锐角。等于()

A.30°B.45°

C.60°D.75°

4.已知向量耐=(L・3),而二(2,-1),沅二伏+2R3),若A,8,C三点不能构成三角形,

则实数攵应满足的条件是()

A.A=-2B.A:=i

2

C.k=]D.k=-\

5.(多选题)已知A(2,l),8(0,2),C(・2,l),0(0,0),则下列结论正确的是()

A.直线OC与直线84平行

B.AS+FC=C4

C.OA+0C=0B

DJC='0B-20A

6.已知向量。=(1,0)力=(01),c=hH•。依£R),d=G-A,如果c〃d,那么()

A..k=\且c与d同向

B%=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向

D.A=-1且c与d反向

7.己知A(-3,0),B(0.2),0为坐标原点，点C在NA03内，且NAOC=45°,设

反=255+(1U)砺QWR),则A的值为()

A-5

8.已知的三个内角A.B.C所对的边长分别为。力,c,设向量〃=3+c»),

q=(b,c-a),若p〃q,则角C为()

A.-B.—

63

C.-D.-

23

二.填空题

9.在平面直角坐标系中,0为坐标原点，点44,-2),点P满足赤=-3而，则点P

的坐标为.

10.已知画二伏,2)丽二(1,2坟方二(11),且相异三点A,8,C共线,则实数

k=.

11.已知向量。二(-2,3)力〃向量b的起点为A(l,2),终点8在坐标轴上，则点B

的坐标为.

12.已知而=(6,1),丽=(4闺，而=(2,1).若4c。三点共线,则实数

k=.

13.在平面直角坐标系xQy中,已知点加2,3),C(3,2),点P(x,y)在△/13c三

边围成的区域(含边界)上.若可+而+PC=OMOP=;设

0P=加48+/济。。几〃£R),则m-n=(用x,y表示).

14.如图所示，在四边形ABCD中，己知A(2,6),8(6,4)0(5,0),。(1,0),则直线AC

与BD交点P的坐标为_________.

三.解答题

15.如图所示,在平行四边形ABC。中,40,0)1(31),C(4,3),£)(1,2),MN分别为

0cAB的中点，求俞，丽的坐标，并判断而?，丽是否共线.

I收

.4x

16.已知点A(1,1),3(3」1),C(〃力).

(1)若A,仇C三点共线，求。与〃之间的数量关系;

⑵若就二2荏，求点C的坐标.

17.平面内给定三人向量0=(3,2)乃二(・1,2)«=(4』).

(1)求满足a=mb+nc的实数m.n的值；

(2)若3+品)〃(2小矶求实数k的值.

18.已知点。是△A5C内一点,N4O3=15()°,ZBOC=90°，设

。4=〃,08=方,。。=0,且|“|=2,网=1,|。|=3,试用a,b表示c.

C

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

一.选择题

1.C

2.B

解析:由题意得3〃/=(3,-1),因为(3如万)〃。，

所以6+%=0,解得k=-6.

3.解析:由。〃。,可得(1应110(1+sin

即cos。=±当，而1是锐角，故夕=45°.

4.A

解析:因为A,8,C三点不能构成三角形，所以ABC三点共线，则AB||AC,

又同=丽一次二=沆一65=(4+1★),

所以2伏+1)・依0,解得2=2

5.ACD

解析:因为灰=(-2,1),F7=(2,-1),

所以灰二瓦彳,又直线OC,BA不重合，所以直线OC〃BA,所以A中结论正确;

因为荏+玩二前二方,所以B中结论错误；

因为函+反=((),2)=3瓦所以C中结论正确；

因为尼二(-4,0),而-2刀=((),2)-2(2,1)=(-4,0),所以D中结论正确.

6.D

解析:・.・c〃d,故可设c=〃qwR),

(k=2

.,・%〃+〃=/(〃-力)，得<_；

1=-/I,

解得k=X=-\y

.•・c=・d,JLc与d反向.

7.C

解析:如图所示，因为NAOC=45°,

y

B

AO\

所以设C(xt-x),则OC=(x,-x).

又因为4(-3,0),8(0,2),

所以/1为+(1力丽=(-32,2・2Q，

所以｛I：；'。解得齐!.

8.C

解析:因为p=(〃+c力),〃=(/?<-〃),且p//%所以(a+c)(c-a)-b•力=0,即/=/+尻

所以角。为:

2

二.填空题

9.(6,-3)

解析:设P(x,y),因为加=・3瓦4,所以(x,y)=-3(4j,2y)=(-12+3x,6+3y),即

忧6m、'解咪二6二所以「(6,一3).

10.--

4

解析:而=OB-OA=(\-k,2k-2)^AC=OC-而=(1-263),由题意可知获〃

彳？,所以(-3)x(1-k)-(2A-2)(1-2A)=(),解得4=」或左=1,当后=1时,A.3重合,故舍去.所以

4

实数4的值为」.

4

11(吗)或尊。)

解析:由b〃a,可设斤脑=(-2/l,3，)awR).

设8(xj),则而二(41j-2)=Z>.

故能瞪解唠：蜕.

又点8在坐标轴上，则1-22=0或32+2=0,

17

当1-22=0,即7=5时,x=O,)=5；

当32+2=0,即时$=：,)=0.

所以B(0[)或)，°)・

12.4

解析:因为超=(6,1),BC=(4阳，而=(2,1),

所以前=通+就=(10/+1).

又4co三点共线,所以元||而，所以1()X1-2(2+1)=(),解得2=4.

13.(2,2))，・x

解析:-：PA+方+PC=O,P7+~PB+PC

=(1-X,1-y)+(2-x,3・y)+(3・x,2-y)=(6-3x,6-3y),

喉;■解得(评:

即加二(2,2).

,?~0P=tnAB+nACtAB=(1,2),前二(2,1),

・二(X,)')=(〃7+2〃2〃+〃)，

即［y=2m+小两式相减得m-n=y-x.

吟与

解析:丽=(5,4),刀二(-3,6),沆二(4,0).

由B,P,D三点共线可得而=/1丽=(52,42)(2£R).

又而=~DP-前二(5>4,42),

由前与直共线得,(514)x6+12x=0.

解得2=*所以而=；丽=得与，

所以点尸的坐标为停,募).

三.解答题

15.

解:由中点坐标公式可得M(2.5,2.5),M150.5).

故病二(2.5,2.5),丽二(-2.5,25),

又因为2.5x(-2.5)-2.5x(-2.5)=0,

所以祠，丽共线.

16.

解：(1)若A,仇。三点共线，则而与前共线.

,•*AB=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),XC-(a-1,/?-1),

2(Z?-l)-(-2)(«-l)=0,.*.a+b=2.

又当a=b=l时，点A与点C重合,不符合题意、

故。与人之间的数量关系为。+6=2,且存屏L

⑵若冠=2AB,则(公11)=(4,-4),

fa-1=4,解得fa=5,

lb-1=-4,lb=-3,

・••点C的坐标为(5,-3).

17.

解:⑴因为a=mb+nc、

所以(3,2)=〃7(-1,2)+〃(4,1)=(-〃?+4〃,2"?+〃).

5

黑鲁二’解得巾=3，

所以8

n=-.

9

(2)因为(a+品)〃(2儿a),

又。+h=(3+伙2+1),2儿。=(-5,2),

所以2x(3+4©・(-5)x(2+©=0,

解得k=--.

13

18.

解:如图，以0为原点，向量瓦彳所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.

因为⑷=2,所以a=(2,0).

设b=(xi,yi),

则xi=|Z>|cos150°