二次根式章末压轴题型专训（8大题型56道）原卷版-2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

二次根式章末压轴题型专训(8大题型56道)

［日内容导航1)

题型一二次根式非负性综合

题型二二次根式混合运算

题型三含二次根式的代数式化简求值

题型四二次根式比较大小

题型五分母有理化(裂项相消)

题型六二次根式的化简求值

题型七二次根式规律探究题

题型八二次根式的综合应用

Joo压轴满分题型

国！【经典例题一二次根式非负性综合】

1.(24・25八年级下•湖南长沙•月考)人的双重非负性是指被开方数色0,其化简的结果620.请利用人

的双军非负性解决以下问题：

(1)已知J〃+6+-2〃-3=().求炉-2/)+2〃的值：

(2)若。,b为实数，且/=J"-1+Jl-Z7+4,求的值：

(3)已知实数6满足|2a-4|+g+2|+J(q-3)〃+4=2。,求的值.

2.(24-25八年级上•全国•课后作业)对于完全平方公式：5±^二/±24/)+/,同学们已经非常熟悉.现

在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求3+2立的算术平方根

呢？

解：73+272=72+272+1=7（V2）2+2V2+12=7（V2+1）2=V2+1.

点评：解题的关健是将3拆成2和1.

请你继续完成下列题目.

计算：⑴，6+俪：

（2）17-46

8

3.（25-26八年级上•江西抚州•期中）课本再现：我们已经知道（拒+3）（拒-3）=4,因此将后行的分子、

分母同时乘“JB+3”，分母就变成了4,这就是分母有理化.

方法应用：

⑴化简：f=--------------:

2

⑵若a=娓2，求/一4。+3的值：

（3）若a=娓、有,b=£2,比较。和/）的大小.

4.（25-26八年级下•仝国•课后作业）求代数式，〃十十1的值,其中〃7-1012.下图是小亮和小芳的

解答过程.

解：原式二加+解：原式二〃?+

V(m+1)

=，〃+〃?+1=2025.

(1)的解法是错误的.

(2)求代数式加一2一66+9+6的值，其中”=-2.

5.(24-25八年级下•全国•课后作业)观察下列各式:

得+，1+;+6

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想:

(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用〃(〃为正整数)表示的等式.

(3)利用上述规律计算：+—(仿照上式写出过程).

6.(24-25八年级上•福建漳州•期中)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成

另一个式子的平方，如3+2点=(1+&)2,善于思考的小明进行了以下探索：

若设a+8J?=(〃?+〃J?)?="J+2./+(其中。、b、〃？、“均为整数)，

则有。=病+2〃2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似〃拒的式子化为平方式的方法，请你仿照小

明的方法探索并解决下列问题：

(1)若。+1)&=(〃1”&)2,当〃、b、加、〃均为整数时，用含加、〃的式子分别表示。、Z),得：。=

，b=：

(2)若a+6石=(〃?+〃右了，且。、阳、〃均为正整数，求。的值；

(3)化简：j5-"17+2后+J5+J17+2万•

7.(25-26八年级上•河南郑州•期中)阅读材料:

VT和VJ为整数，4-1=3=2x14-1；

"和次为整数，9-4=5=2x2+l；

内和而为整数，16-9=7=2x3+1；

小明发现结论：若右和孤为相邻的两个整数，其中QV/),则b-〃=2&+1.

并给出了论证:

•.rG和服为相邻的两个整数，其中。＜6,

4a+\=\[b»

等式两边同时一，得一=3

整理得人-〃=2后+1.

请根据以上材料，解决以下问题：

(1)请补全小明的论证过程；

(2)若八和而TT为相邻的两个整数，求a的值；

(3)若右和而示为相差4的两个整数，求。的值.

国【经典例题二二次根式混合运算】

8.(2026八年级下•全国•专题练习)计算:

⑴|：3+2应)(3-2应卜后子后;

（4）石（石-店）+（而+2后）（后-2后卜

9.（25-26八年级下•全国•月考）小李在计算式子■6+叫近*,”时发现、”处的数印刷不清楚.

（1）他把“■”处的数猜成2.请你计算:

5

（2）小李妈妈说：“你猜错了，这道题的标准答案是a，”请你通过计算说明原题中“■”是儿.

10.（25-26八年级上•广东揭阳•月考）观察下列各式：

①川）=铝，②/（2）=竽，③/（3）=学，④/{4）=号，…

利用你观察到的规律解决下列问题：

⑴/'（9）=,/（"）=;

（2）计算（2而亓+2）［/⑴+/（2）+...+/（2023）］的值.

70

11.（25-26八年级上•全国•课后作业）小颖计算后+-号的过程如下:

解:原式二环曲相当第①步

3x/2672

第②步

-4~

372

=-----.第③步

28

小娜说小颖的计算是有问题的，你觉得第几步有问题？请写出小颖出错的原因，并写出正确的过程.

1]

12.(25-26八年级下•河南•期末)我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要是把原数

正，V5-A/3

分母中的无理数化为有理数,如：出\=品五=苧丘,/耳1=(而逐发+6品®=V二5+这V3样的化简

过程叫做分母有理化.我们把血叫做血的有理化因式，石-石与6+G互为有理化因式，完成下列各

题.

(1)化简：工7=；

3-26

(2)735.后哪个数离数字6更近？并说明理由.

13.(25-26八年级上•陕西汉中•月考)数学课堂上，为了让同学们更好地掌握二次根式的混合运算，老师

设计了一个填数游戏，题目形式为：在“口、？#-病+寂”中的内填入数，并计算结果.

(I)小美填入的数是屏，下面是她的计算过程：

而x3“一病+痛

=3715x6-J60+6第一步

=3廊-10第二步

=9ji6-io第三步

老师发现小美的解法有错，请你指出小美是从第步开始出缙的，正确的结果应该是

(2)小明在“□”内填入数后，计算的结果为0,求小明填入的数.

14.(25-26八年级上•湖南岳阳・期末)【阅读材料】先阅读下列材料：

材料一：像(G+1)(G-1)=2,6.右二。(。＞0)…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，

我们称这两个代数式互为有理化因式.例如百xV5=3,(6+&)(6-五)=1…，那么石与石，V3-V2

与石+亚等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、

Ilx(V2-l)

分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如:V2+I-(V2+1)(72-1)~21，

上必任吟石+2

ET匹询F西=7

材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：己知为

求26-8a+l的值.他是这样解答的:

=+=武品"2-g-2i

/.2^/2-8^+l=2(fl-2)2-7=2x(-V3)2-7=2x3-7=6-7=-l,

【学以致用】请你根据上述知识和解题过程」解决如下问题：

(1)请用以上方法化简：用:厌=;(直接填空)

(2)计算：-r—+,1,+.1.+……+-；-----=----+-7----!—；-----(没有过程不给分)

3J2+1J3+J2J4+J3J2025+J2024J2026+J2025

(3)若。=匚忑，求5万-40〃+54的值.

国I【经典例题三含二次根式的代数式化简求值】

15.(24-25八年级上•上海长宁•期中)当化简代数式石1+可,并求值.

16.（24-25八年级下福建龙岩•月考）已知x=2-）,

⑴求代数式f+2Gx+3的值

⑵求代数式（7+4百b2+（2+81+6的值

17.（24-25八年级下•江苏无锡•月考）像心+⑶a-&）=3、&右=人八0）、

（C+1）（扬-1）=。-1（620）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数

式互为有理化因式.

⑴请写出以下代数式的一个有理化因式：右+6卜/20,60）：2V3-2V5：_；

⑵化简：念?十万br寻7T…002?；人022；

⑶当2WaW4时，直接写出代数式而I-G7T的最大值：

18.（25-26八年级上•上海・月考）请阅读下列材料.

问题：己知工=6+2,求代数式4x-7的值.

解：根据工=逐+2,得（“-2）2=5,

-4x+4=5.

/.A:2-4x-7=1-7=-6.

总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题.

应用：

(1)已知x=W-2，求代数式—+4X-10的值；

(2)已知x=石+3,求代数式/-26》+5的值.

19.(24-25八年级下•湖北咸宁・月考)请阅读下列材料：

问题：已知工=6+2,求代数式W-4x-7的值.

小明根据二次根式的性质：(6)2=。，联想到了以下的解题方法：

由x=JJ+2得丫一2=石，则(x-2)-=5,即/一4x+4=5,-4x=l.把作为整体，得:

X2-4X-7=1-7=-6.

请回答下列问题：

⑴已知x=VJ-3，求代数式V+6x+8的值.

⑵已知X=2+G，求代数式4+白的值.

⑶已知x="，求代数式八沁勺值.

20.（24-25八年级下•广西•期中）阅读与思考

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容.请认真阅读，然后完成后面的任务.

关于“分母有理化''的研究报告

博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值

研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值.

研究方法：利用概念——法则的方式进行研究

研究内容：【两个概念】（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果

它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如&-1的有理化因式为

友+1,方+e的有理化因式是⑺-血

(2)在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因

式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：

1_(V2-1)

=(&-1)

A/2+T(V2+1)(72-1)

【概念理解】

①次十石的有理化因式是

②近分母有理化的结果为

(1)直接写出研究报告中“_______”处空缺的部分分别是①、②

(2)利用分母有理化比较不：及与娓)有的大小.

［田II11

++++

⑶计算：37?6^7V7^7^"^7I3-

21.(25-26八年级上•贵州贵阳・月考)【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方

法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果.例如，比较和6=3人的大小，我们

可以把。和b分别平方..•“2=12,〃=18,则02Vb2,•.•a>0,b>0,:.a<b.

请利用“平方法”解决下面问题:

(1)比较c=4jl，d=2j7的大小，cd(填写或“=").

(2)猜想〃?=2石+6和〃=26+、碗之间的大小，并说明理由.

【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小.例如，比较近-几和

迷-行的大小，可以先将它们分子有理化如下:

[1

+6，灰-6="+不，•:用+网>瓜+亚，.\V7-V6<>/6-V5.

(3)根据材料，请选择合适的方法比较亚X-^/^J与亚万-^/5语的大小，写出具体比较近程.

【经典例题四二次根式比较大小】

22.(24-25八年级下•陕西商洛•期末)先观察解题过程，再解决问题.

比较与1的大小.

解：...(6一碎石+&)=l,(^-1)(V2+1)=1,

又••Ji+血〉加+1,

•*•—^2<\p2—1•

试用以上方法，比较VJ-百与5A-后的大小.

23.（25-26八年级下•全国•课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与2与:的大小.解法如下:

V19-22V19-2-2V19-4

解:----------=----------=-------・

3333

德irin/77,V19-4八V19-22

333

我们把这种比较大小的方法称为作差法.请根据以上材料，利用作差法比较实数匕叵与-!的大小.

44

24.（24-25八年级下•全国・单元测试）（1）若分为实数，且a>0,b=J-『—+4,比较G+逐

与而I的大小.

（2）在一般情况下，若a、b为实数,且a>0,力>0,猜想G+正与而I的大小关系，并证明你的结

论.

25.（24-25八年级下•青海海东•月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a,b,

若。＞〃，则及＞〃.随后讲解了一道例题：试比较2百与30的大小.

22

解：•••（26「=12,（3五）一=18,

而12＜18,

二2后＜3夜.

参考上面例题的解法，回答下列问题：

⑴试比较-375与-573的大小；

（2）试比较逐+1与2+后的大小.

26.⑵-26八年级上•河北保定•月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等.

作差法平方法穿墙术

比较5-C和2+6的大小.比较7,和6b的大小.

比较2V7和3右的大小.

解：因为解：因为7#=,294,

解：（2A/7）2=28,

典型示例（5-百）-（2+石）6>/7=^52,

（3百丫二27,

=3-273而294>252,

=79-712＜0而28＞27,贝ljV294>V252，

所以5-石＜2+石所以2步＞3石所以7巫>66

（1）请比较4后和3石的大小;

任务完成

（2）请比较近+5与11-V7的大小.

27.（24・25八年级下•辽宁鞍山•期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有

一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式.

（出-巫）如+屈）

比如:V?-V6=

V7+V6V7+V6

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较:

J7-6和卡-石的大小可以先将它们分子有理化如下：

册-娓=」「娓_非=厂1厂.

V7+V6V64-V5

因为>/7+yfb>y/b+\[5>所以，yfl—>/6<yfb—y[5.

再例如，求y=的最大值、做法如下：

解：由x+220,x-2N0可知工之2,而y=Jx+2.Jx—2=.3：J..2

当1=2时，分母&/+VT=I有最小值2.所以V的最大值是2.

利用上面的方法，完成下面问题：

⑴比较J值-和JI5-Jil的大小；

⑵求y=V7+T-GF+3的最大值.

28.(24-25八年级下•北京海淀•期中)阅读学习，解决问题：

小高在学习中遇到一有趣的个问题：如何比较而-而与疝-布的大小

请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题

(1)我们知道：6>4,1<1……

3264

由此可归纳出结论1：若。>方>0,则L_____7

ab

(2)(3+2)(3-2)=5xl=5=9-4=32-22

(5+3)(5-3)=8X2=16=25-9=52-32……

由此可归纳出结论2：(。+与(。-5)=

(3)根据上面的结论计算:

・小回+匈(6-应)=(6『-(&『=3-2=1

1

:.G—历

6+血

类似的:

22

v(V6+V5)(V6-V5)=(^6)-(V5)=6-5=1

**•yfb—>/5=

由此可归纳出结论3：而(〃为正实数)

(4)请你根据以上总结的结论，比较而-而与的大小

国【经典例题五分母有理化(裂项相消)】

29.(24-25八年级上•广东佛山・月考)请你阅读下列材料，并完成相应的任务.

裂顶法，是数学中求和的•种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用，具体方法是将求和中的每一

项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，我们以往的学习中已经接触过分

数裂项求和.例如：

1^21nr

==V

在学习完二次根式后我们乂掌握了一种根式裂项.例如：72TT(>/2+l)(V2-l)-

(1)模仿材料中的计算方法，化简：石片1・

(2)观察上面的计算过程，直接写出式子

⑶利用极式裂项求解：看+忌r万、+―.+昌丞

30.(25-26八年级上•陕西汉中•期中)对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个

无理数互为“友好无理数”，例如:两个无理数4，生为“友好无理数”，则q+%=%的，请根据条件填空：

(1)名的“友好无理数''是

(2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是一和

(3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作卬，第二个数记作，，第三个数记作生，…，第〃个数记作

凡.即《，生，生，…，%.已知〃>2,且这〃个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”.

①如果q=3-6，那么卬+。2+%+…+400=_.

〜L1111

②如果q=拒，那么—+—+—+…+=.

%出/《01一

552

31.(25・26八年级上•江西南昌•期末)在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如耳，耳后一样

的式子，其实我们还可将其进一步简化:

55h(2即巫2_2(痒I)一乂痒1)_吁1

V3=^V3=r3：VT=fo=T;万丁四川丘口㈣」〜

以二这种化简的步骤叫做分母有理化.

(1)化简|=-----------»£=------------；

⑵化简:

⑶化简：肃+忑%十"％+…+"?+1；&〃一1♦

32.(24-25八年级下•山西吕梁・期末)阅读与思考

请你阅读下列材料，并完成相应的任务.

裂项法，是数学中求和的•种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用.具体方法是将求和中的每一

项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.我们以往的学习中已经接触过分

数裂项求和.例如:---1---1---=---1----1---=---=-

2x33x44x52334452510

1啦-1

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项.例如:=72-1

V2+1(V2+1)(V2-1)

1二6_0=/r

百力一(百+0)回码一、-

(1)模仿材料中的计算方法，化简：而上万=.

(2)观察上面的计算过程，直接写出式子“+[_]=.

⑶利用根式裂项求解：岛+号r岛?+一所：京哼+小

7

33.（25-26八年级上•广东深圳•期中）阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应

任务.

关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些

项，最终达到求和的目的.

j3yl]女口:--1--+---1-=--1--1--1-1--1--=1—•

2x33x423344

概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有埋化因式,

使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母

.r[.1_V3_V322（殍1）

।匕2百一2百乂0―6，劣+1+

11V3-11（1]

典例匕3+vr石砂+i广百邪）

11V5-V31（11]

典例2：56+34一匠a+@一而（有+@（石—司一216㈤

请完成以下任务:

⑴化简舟7T—

（2）直接写出计算结果.

[1+^/2+72+>/3+75+74+-,-V2025+V2026)X(^^+

（3）结合典例1和典例2归纳猜想.

(2〃+1)J2〃-1+(2〃-1)J2〃+1（〃为正整数）.

(4)计算:

2222

-------------1----------------------1-----------------------F…H-----------------------------------------------

3+656+3逐7逐+56202572023+202372025

34.（25-26八年级上•河南郑州力考）【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如密,

7占这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:

5_5xV35y/3

V3-V3xV3"-①

[2[2^3瓜

V3=\373=T：②

2—Ij

2(V3-1)r

===v③

7^(V3+i)(V3-i)pjp，

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

高还可以用以下方法化简:

四)心)

④

V3+1-V3+1-V3+1V3+1

2

（I）【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简瓦二方.

（2）【拓展应用】化简：+号T正占+…+右〃+1：，2〃-1（"=1'23）

35.（24-25八年级下•浙江杭州•月考）阅读材料，并完成下列任务:

材料一：裂项求和

小华在学习分式运算时，通过具体运算：丁工=1-＜，-!-=7-7，…・

1x222x3233x434

发现规律：-―（〃为正整数），并证明了此规律成立.

应用规律：快速计算

1x22x33x49x102239101010

材料二：根式化简

例［+=扁何"碰扁扁）中

1_1_y/s

例之5&36二呵"0"河际丽T可或耳一11

任务一：化简.

（】）化简：74lb出

⑵猜想：⑵+1向"（21）、冏----------------（〃为正整数）.

任务二：应用

,，田1111

（3）计算：17耳+56+3^+76+5b+…+49历+47如；

任务三：探究

亚-乖>3-垂>V2025-72023

17=，

l+V3+>/5+>/3751+A/5+^+V5^71+^2023+V2025+V2023x2025

比较X和y的大小，并说明理由.

国【经典例题六二次根式的化简求值】

36.(24-25八年级下•河北廊坊•月考)先化简，再求值：++，其中加=2024.

下面是小艺和小美的解答过程：

小艺：解：原式=〃？+J(1—加)~=m+1—=1

当阳=2024时,原式=1

小美：解：原式=〃？+J(1—加丫=加+|1—〃?.

当〃7=2024时，l-w<0

•力原式=w+〃？-1=2m—1=4047.

(1)的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：;

(2)先化简，再求值：〃+2,9-6〃+/，其中〃=-2.

37.(24-25八年级下•上海浦东新•期中)先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如的化简，只要我们找到两个正数。、b,使〃+/)=〃?,"=〃，使得(6产+(6)2=〃?，

4a-y[b=>[n那么便有：

yjm±2y[ti=&±亚=4a±y/b(a>h)

例如：化简《7+46

解：首先把，7+4>万化为『7+，这里用=7,〃=12由于，4x3=124+3=7

即(")2+(6尸=7,V4xV3=Vi2

g+4G=V7+2V12=J(4+回

=2+A/3

⑴填空：出-2网=，J17+12应=；

(2)化简求值J4-岳.

3X.(2025八年级上•全国•专题练习)先化简，再求值：4+/一2々+/2,其中。=]012.

如图是小亮和小芳的解答过程.

(l)Jl勺解法是错误的；

(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_；

(3)先化简，再求值：〃+_6a+9，其中。=-2025.

39.(2025♦贵州遵义•模拟预测)(1)计算：(2024-乃)°-|2-厄|+(g)

(2)下面是小涵同学进行分式化简的过程:

解：原式

=(号★高刀……第-

步

=2X-1-X-1X(X-1)(X21)..........第二步

X-1X

=(A-2)(.V4-I)............第三步

X

①小涵同学的化简过程从第步开始出现错误;

②请写出正确的化简过程，并从-1,0,1,2中选择喜欢的数代入求值.

40.（24-25八年级下•辽宁抚顺・期末）【基本概念】

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如爰,样的式子，其实我们还可将其进一步化简:

22x(V3-l)2x(石一1)

5_5x6_5rr(2_[2^3_y/6

~。73T+71=(/Vn3+\1V八3-I1工=小一\，像这样，通过分子,

分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.

【理解应用】

(1)化简忑3;

【拓展提升】

(2)化简：—f=-+-j=~~~尸+—j=~~~『+…+[1-[.

V3+1V5+V3V7+V5V2/7+1+V2/7-1

41.（24-25八年级上•湖南怀化・期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题

化简：（力一左丫一卜小

解：隐含条件2-3工之0,

2

解得

•••1-x>0,

原式=（2-3x）-（l-x）=2-3x-l+x=l-2x

【启发应用】

（1）按照上面的解法，试化简后了-（万（结果保留允）

【类比迁移】

（2）实数a,6在数轴上的位置如图所示，化简：万一小^+4一色―同

(3)己知a,b,。为△月6c的三边长.化简：^(a+b+c)2+yj(a-b-c)2-yj(b-a-c)2+yj(c-b-a)2

42.(24-25八年级下•贵州黔东南•期中)先阅读下列解答过程：

材料一：形如+的式子的化简,只要我们找到两个正数直，),使。+岫=〃.

即(后)+(1=""4axy/b=4n,那么便有，加±26=[(“/±扬)2=&土石(a>b).

例如：化简J7+4VJ.

解：首先把J7+4VJ化为J7+2、],这里〃[=7,〃=12,

由于4+3=7,4x3=12,即(V?j+(V5)2=7,"x石=

所以^7+4百=y[l+2^\2=^5/4+>/3j=2+5/3.

材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母

中不含根号，这种变形叫做分母有理化.例如：

1_1x73_V388(灰+6)8即0)

V3~V3xy/3~~fV6-V2-(>/6-V2)(V6+V2)-4~

请根据材料解答下列问题：

(1)填空：©74-273=：②[J=•

(2)化简：J19-4岳(诸写出计算过程)；

-1--+-1..+—,1

(3)化简:13+2夜J5+2加77+2712

心［经典例题七二次根式规律探究题】

43.(24-25八年级下•山西太原•期中)观察下列各式并按规律填空:

亚口=3生”

⑴河:-----'-----：

(2)按此规律第〃个式子可以表示为；

(3)并说明上面式子成立的理由.(请写出推导过程)

44.(24-25八年级下•安徽•月考)观察下列各式：

月=2《，螭=38,3+；=4□，…

(1)你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含〃(〃为正整数)的代数式表示出来，并运用

你所发现的规律写出第10个式子；

(2)请你验证所发现的规律.

45.（24-25八年级下•江苏泰州・期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方

法探究二次根式的运算规律.下面是嘉嘉的探究过程:

（1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整;

（2）【归纳猜想】若〃为正整数，用含〃的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；

（3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式。［=（a,6,c均为正整数），若该等式符合上述规律，则

>Ja2+h2-2c2的值为.

46.（24-25八年级下•福建漳州•期中）根据平方差公式：（血+1）（近-1）=（血『-1=1,由此得到

京由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第1式念7=应一1，第2

式用r反第3式曰=口曰第4式心=小"•…

⑴根据规律直接写出第5式：

⑵若六十寻双"号铲'.+焉+〃T2,求〃的优

47.（24-25八年级下•安徽淮北•月考）【观察思考】

第I个等式：=

第2个等式：亚=38

第3个等式:屋=*；

第4个等式：」

【规律发现】

（1）①直接写出第4个等式：_；

②如果〃为正整数，用含〃的式子表示上述的运算规律:

【规律证明】

（2）证明②中的运算规律.

【规律应用】

（3）根据上述规律，化简：）2023+」一x向方.

V2025

48.（24-25八年级下•安徽宣城・期中）【观察思考一】

观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：

第I个等式：Vl2-2xlxl+l2=V0=0；

第2个等式：V22-2x2xl+l2=VF=1；

第3个等式：＜3。-2x3x1+J=y[4=2；

第4个等式：^42-2x4xl+l2=M=3；

第5个等式：,5?—2x5x1+J=y[\6=4;

【规律发现】

（1）根据上述规律，直接写出下列算式的值：

①后-2x6x1+12=；

@V1012-2xl01xl+l2=;

（2）用含〃（〃为正整数）的代数式表示出第〃个等式：；

【规律应用】

（3）根据上述规律计算：

712-2xlxl+l2-V22-2x2xl+f+>/32-2x3xl+l2-""xdxl+F+…十

V20232-2x2023xl+l2-720242-2x2024x1+12+720252-2x2025x1+12•

49.（24-25八年级下•北京海淀•期中）阅读材料:

小华在学习分式运算时，通过具体运算发现：

1,1111111

1x222x3233x434

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的

探究过程，补充完整.

（1）具体运算：

特例1：Ji+H=i+—!—=1+1-」；

VI2221x22

特例2：Jl+-4+4=l+—=1+---：

V22322x323

特例3：_（填写一个符合上述运算特征的例子）.

（2）发现规律：J1+4+为正整数），并证明此规律成立.

丫〃（〃+1）

（3）应用规律：

如果/+*+/+…J*/\+\的小数部分。・。6,那么整数部分

V1011V1112丫（77-1）〃丫〃（〃+1）

为•

厚【经典例题八二次根式的综合应用】

5().(25-26八