有限元基础及在汽车中的应用 课件 第一章 概述

有限元法基础及在汽车中的应用第1章

概述1.1有限元法的起源与典型数值方法的简介1.2有限元法应用概况请替换文字内容1.3有限元软件发展概况目

录CONTENTS123有限元法的起源与典型数值方法的简介有限元法应用概况有限元软件发展概况内容导航图123了解数值方法应用概况、数值模拟软件发展概况。了解有限元方法的相关的基本概念、起源归属及应用状态。初步理解数值方法存在的原因、优势、发展趋势。学习目标1.1有限元法的起源与典型数值方法的简介1.1.1有限元法的起源中华文明历史悠久，中华文化博大精深、源远流长，中国古代数学也一样有着辉煌的成就。华罗庚先生说过，中华民族是最擅长数学的。作为微积分学的基础的极限理论直到19世纪才得以完善，但是极限思想的萌芽可以追溯到大约两千五百年前，在中国和西方都展现出了极限的思想。而我国是世界上最早产生极限思想和应用极限思想的国家。早在春秋战国时代（公元前770——前221），《庄子·天下篇》

中有这样一句：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思就是说：一尺长的一根木棒，如果每天截下一半，永远都取不完，这样的过程可以无限地进行下去。在《墨子·经下》中有也有一句：“非半弗斫，则不动，说在端。”魏晋时期（公元3世纪），我国的数学家刘徽在《九章算术注》中写到：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。

（a）“割圆术”计算示意图

（b）牛顿微积分计算示意图

（c）内外切简化计算示意图图1-1

圆示意图根据刘徽的“割圆术”，当分成无数个多边形时，如图1-1（a）所示的圆的面积为：根据牛顿微积分，如图1-1（b）所示的圆的面积为：用如图1-1（c）所示半径为1的圆用内接八边形和外切六边形可计算圆周率为：

1.1.2典型数值方法的简介1．有限元法

在数学中，有限元法（FEM，FiniteElementMethod）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。任何领域有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：（1）有限元离散方式的选择（2）有限元插值模式的选择（3）有限元控制方程的建立（4）有限元相关矩阵的计算（5）有限元控制方程的求解（6）有限元分析结果的处理1.1.2典型数值方法的简介2.边界元法边界元法（BEM，BoundaryElementMethod）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法，又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。1.1.2典型数值方法的简介3.离散有限元法离散元（DEM，DiscreteElementMethod）。离散元方法是由分析离散单元的块间接触入手找出其接触的本构关系建立接触的物理力学模型并根据牛顿第二定律对非连续、离散的单元进行模拟仿真。而有限元方法是将介质复杂几何区域离散为具有简单几何形状的单元通过单元集成、外载和约束条件的处理得到方程组再求解该方程组就可以得到该介质行为的近似表达。离散元方法也被称为散体单元法，最早是1971年由Cundall提出的一种不连续数值方法模型离散元理论是由分析离散单元的块间接触入手找出其接触的本构关系建立接触的物理力学模型并根据牛顿第二定律建立力、加速度、速度及其位移之间的关系对非连续、离散的单元进行模拟仿真。离散元法是专门用来解决不连续介质问题的数值模拟方法。该方法把节理岩体视为由离散的岩块和岩块间的节理面所组成，允许岩块平移、转动和变形，而节理面可被压缩、分离或滑动。1.1.2典型数值方法的简介4.无网格法无网格方法（MM，MeshfreeMethod）是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，就可方便地模拟各种复杂形状的流场。无网格法的诞生，就是来消除有限元的短板

。最早的有关无网格法的文献是由剑桥大学的L.B.Lucy

和剑桥大学的R.A.Gingold和J.J.Monaghan分别于1977年提出，他们介绍了光滑粒子流体动力学(SPH，SmoothedParticleHydrodynamics)。这两篇著作的初衷是解决天体物理学的问题，后来，SPH多用于流体动力学。SPH法的计算是基于强形式，其余的无网格方法都是在1990年代提出的，他们是基于弱形式计算的，最开始主要是用于计算材料力学的。Galerkin法（EFG，ElementFreeGalerkin）是第一个基于弱形式的无网格法，于1994年被T.Belytschko等人提出。

目前，无网格法广泛的应用在流体、生物力学、等研究中，并取得诸多成果。1.1.2典型数值方法的简介5.有限体积法有限体积法（FVM，FiniteVolumeMethod）又称为有限容积法、控制体积法。有限体积法是计算流体力学中常用的一种数值算法，有限体积法基于的是积分形式的守恒方程而不是微分方程，该积分形式的守恒方程描述的是计算网格定义的每个控制体。有限体积法着重从物理观点来构造离散方程，每一个离散方程都是有限大小体积上某种物理量守恒的表示式，推导过程物理概念清晰，离散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性。有限体积法的基本思路：（1）将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，每一个控制体积都有一个节点作代表，将待求的守恒型微分方程在任一控制体积及一定时间间隔内对空间与时间作积分；（2）对待求函数及其导数对时间及空间的变化型线或插值方式作出假设；（3）对步骤1中各项按选定的型线作出积分并整理成一组关于节点上未知量的离散方程。1.2有限元法应用概况1.2.1中国有限元发展的艰辛历程20世纪70年代中期，大连理工大学研制出了DDJ，JIGFEX有限元分析软件和DDDU结构优化软件；北京农业大学李明瑞教授研发了FEM软件；80年代中期，北京大学袁明武教授通过对国外SAP软件的移植和重大改造，研制出了SAP-84；由于航空工业的需求，航空工业部从70年代初也开始陆续组织研制了HAJIF（I，II，III），YIDOYU，COMPASS，并多次获国家级奖励等等。这些国内CAE软件与国外的同类产品相比，在核心算法和若干功能上有很多特色，反映了我国学者在计算力学研究中取得的成果，充分考虑了我国计算机硬件的实际条件，在国家基础设施建设和工程结构设计中都发挥了重要作用，有相当广泛的应用。90年代以来，国家加大开放力度，大批国外软件涌入中国市场，加速了CAE技术在我国的推广，这无疑提高了我国装备制造业的设计水平。在此同时，我们自主开发的软件受到强烈挑战。特别是盗版的国外软件，对我国自主开发的CAE软件打击很大。有一段时间，几乎听不到自主开发CAE软件的声音，相关管理部门支持国产软件发展的力度大幅下降。支持基础研究的部门认为，CAE软件开发提不出基础科学问题，支持科技攻关和高新技术发展的部门认为，CAE软件开发要走市场化的道路，到市场上去找经费。自主开发CAE软件在人力、财力、物力上都遭遇很多困难。

1.2.1中国有限元发展的艰辛历程值得庆幸的是，尽管面临诸多困难，国内仍然“幸存”下来一批致力于CAE技术的研究队伍。元计算首席科学家，中国科学院数学与系统科学研究所梁国平研究员团队历经八年的潜心研究，独创了具有国际领先水平的有限元程序自动生成系统（FEPG）。FEPG采用元件化思想和有限元语言这一先进的软件设计，为各种领域、各方面问题的有限元求解提供了一个极其有力的工具，采用FEPG可以在数天甚至数小时内完成通常需要数月甚至数年才能完成的编程劳动。FEPG是“幸存”下来的为数不多的CAE软件，这也得力于FEPG软件比较灵活，能够解决很多国外商用软件无法解决的有限元问题，FEPG软件实用性强，但易用性较国外商用软件差，这也是很多初级用户感觉较难而不愿意学习FEPG的因素。经过多年积累，业已有三百多家科研院、企业应用。已成为国内做的最大的有限元软件平台。但与国外软件市场化程度相比还是有一定差距，需要在软件易用性方面做一些工作。1.2.2有限元法赋能数字孪生数字孪生的概念可以追溯到2002年密歇根大学产品寿命周期管理中心(ProductLifecycleManagementCenter)的成立。当时该中心向工业界人士做了题为《PLM的概念性设想》(ConceptualIdealforPLM)的演示。它拥有数字孪生的部分特征：现实空间、虚拟空间，从现实空间到虚拟空间的数据流连接，以及从虚拟空间到现实空间和虚拟子空间的信息流连接。驱动该模型的前提是，每个系统都由两个系统组成：一个是一直存在的物理系统，另一个是包含了物理系统所有信息的虚拟系统。这意味着在现实空间中存在的系统和虚拟空间中的系统之间存在镜像关系，反之亦然。这一概念模型在密歇根大学第一期PLM课程中使用，当时被称为镜像空间模型。而数字孪生这一概念的明确提出，则是在2011年3月美国空军研究实验室(AirForceResearchLaboratory，AFRL)结构力学部门做的一次演讲，题目为《基于状态的维护+结构完整性&战斗机机体数字孪生》，首次明确提出了数字孪生这一概念。当时，AFRL希望实现战斗机维护工作的数字化，而数字孪生则是其提出的创新方法。

1.2.2有限元法赋能数字孪生实际上，数字孪生是一个比较超前的概念，很多专家、学者，包括企业界的一些专家对这个概念都有不同的认识，其发展是一个认知不断深化的过程。未来数字孪生一定会扩展到生命科学、生物医学领域，为我们人类带来福音。人类对科学的追求是无止境的。对数字孪生和真正逼近物理世界的仿真的追求也是没有极限的。未来的数字孪生和现实世界会越来越接近。比如未来我们发射飞行器到月球上的时候，就不用像现在这么提心吊胆了，因为我们知道它基本上一定会成功，这就是未来——一个高保真的数字孪生的世界。信息技术在不断地发展，它带来的是三场革命，第一场为工具革命，第二场为决策革命，第三场为组织革命。工具革命包含两个方面，一方面是各种各样的复杂的有形的硬装备：机器人、数控机床、AGV小车、切片机，智能化水平越来越高，帮助我们每一个人、每一个组织、每一个企业不断提高产品的精度、降低成本、提高效率，这是硬工具带来的看得见的效益。另一方面是各种CAD、CAE等软件，它们是看不见的工具，我们称之为软装备。软装备与硬装备相结合为人类社会改造自然创造了一种新的方法论，这仅仅是一个开始，未来5到10年的时间里，数字孪生技术的运用会更加广泛和普及。

1.3有限元软件发展概况1.3.1世界有限元软件概述国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。此后有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABAQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品

。目前，世界十大有限元软件依次为ANSYS、ABAQUS、HYPERWORKS、LS-DYNA、OPTISTRUCT、RADIOSS、COMSOLMultiphysics、ALGOR、OPENFOAM、AutodeskCFD。衡量CAE技术水平的重要标志之一是分析软件的开发和应用。ABAQUS、ANSYS、NASTRAN等大型通用有限元分析软件已经引进中国，在汽车、航空、机械、材料等许多行业得到了应用。中国的计算机分析软件开发是一个薄弱环节，严重地制约了CAE技术的发展。仅以有限元计算分析软件为例，世界年市场份额达5亿美元，并且以每年15%的速度递增。相比之下，中国自己的CAE软件工业还非常弱小，仅占有很少量的市场份额。1.3.2典型有限元软件的简介1．ANSYS简介ANSYS是美国ANSYS公司一款有限元软件，美国ANSYS公司成立于1970年，主要从事开发和销售工程仿真软件并提供相关服务，其产品和服务主要面向航空航天和国防、汽车、工业设备、电子、生物医学、能源、材料和化学加工以及半导体等行业。ANSYS及其子公司有4900多名员工，拥有来自92个国家/地区的2750多名学术机构合作者、450多项专利、250多个解决方案合作伙伴。ANSYS软件是美国ANSYS公司研制的大型通用有限元分析软件，是世界范围内增长最快的计算机辅助工程（CAE）软件，能与多数计算机辅助设计（CAD，ComputerAidedDesign）软件接口，实现数据的共享和交换，如Creo,NASTRAN、Algor、I－DEAS、AutoCAD等。是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通