浙江省杭州市2026年八年级下学期月考数学试卷附答案

八年级下学期月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．2．下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（）A． B． C． D．3．在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差4．用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（）A． B． C． D．5．嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（）A．有一个内角是 B．有一组邻边相等C．对角线互相平分 D．对角线相等6．已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B．C． D．7．钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），应该如何调整张力？（）A．增大至 B．减小至C．增大至 D．减小至8．关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（）A．2024 B． C．－2024 D．9．如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（）A． B． C． D．10．学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=，从而得出以下命题：（1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；（2）y的值有可能等于3；（3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3；（4）当y＞0时，x＞0或x＜－．你认为真命题是()A．（1）（3） B．（1）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）二、填空题（每小题3分，共18分）11．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是．12．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是．13．如图，是直线上的一点，已知的面积为，则的面积为.14．如图，，，是反比例函数在第一象限的图象上的点，它们的横坐标分别为2，4，6．过点，，分别作轴，轴的垂线段，构成多个矩形．若图中阴影部分的面积为12，则点的坐标为．15．如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为．16．如图，正方形边长为4，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为．三、解答题（共72分）17．计算：（1）（2）18．解方程：（1）（2）19．某厂生产两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表，并求得了产品三次单价的平均数和方差．产品单价变化统计表如下：第一次第二次第三次产品单价（元/件）6产品单价（元/件）43（1）产品第三次的单价比上一次的单价降低了________．（2）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动较小．20．如图，四边形是菱形，，求：（1）的度数．（2）若，求线段和的长．21．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：（1）施工过程中关于的函数解析式是______；（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到）22．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________．（2）如图1，在方格纸中，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使是对角线，点在格点上．（3）如图2，在正方形中，点分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形．23．已知反比例函数．（1）若反比例函数的图象经过点，求的值．（2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小．（3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明．24．在矩形中，，点在线段上运动，作关于直线的对称（点的对称点分别为）（1）如图1，当点在的延长线上时，求的长．（2）如图2，如图2，当点P与点C重合时，连结DD1、CD1，CD1、DD1分别交AB于点E、F，DD1交AC于点H，求证：BD1⊥DD1．（3）当直线经过点时，求的长．

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，∴，故答案为：D．

【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由题意知，在反比例函数图象上的点满足其解析式，即横纵坐标的乘积为5；∵2×4=8≠5，，，，

∴A、C、D三个选项所给的点均不在反比例函数的图象上，只有B选项所给的点在反比例函数的图象上.故答案为：B．【分析】反比例函数的图象上任意一点的横纵坐标的积等于比例系数k，据此逐一判断得出答案．3．【答案】C【解析】【解答】解：∵22出现了3次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变

∴一定不会改变的是众数，故答案为：C.【分析】根据众数的定义即可得出答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.故答案为：D.【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.5．【答案】C【解析】【解答】解：A、有一个内角是的平行四边形是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．故选：C．【分析】根据平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定逐项进行判断即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：由绝对值的非负性可知：，∴，∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，

∵-2＜-1＜0，

∴，位于第三象限，

∴，

∵3＞0，

∴，∴，故答案为：B．

【分析】先由绝对值的非负性得出，进而得出＞0，再根据反比例函数图象的性质，当比例系数时，函数图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小判断出、、的大小关系，即可得出答案.7．【答案】D【解析】【解答】解：设与之间的函数关系式为为常数，且，

将代入，得，解得，

∴与之间的函数关系式为，

当时，得，解得，

∴应该将张力减小至．

故选：D．

【分析】先设出反比例函数表达式，根据已知条件求得k，进而得到反比例函数，再将目标频率代入函数求出对应的张力，最后与初始张力比较得出调整方式．8．【答案】D【解析】【解答】解：方程可化为，而有一实数根为2024，即，对照可知，当x=时，也有，故此方程必有一实数根.

答案：D.

【分析】由题意对照两方程系数的特征，转化为系数相近的一元二次方程，即可求出其中一根.9．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，四边形是正方形，，，，在与中，

，，，，，，，，，，，，设，则，∴，∵在中，，是等腰直角三角形，，，，解得：，，，故答案为：B．【分析】先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理可用a表示出，再用a表示出的长，根据，列出关于a的方程求出的值，从而求出的长．10．【答案】C【解析】【解答】解：（1）∵y==3+，

∴当x＞0，y随x的增大而减小，故（1）是真命题；

（2）∵3x+1≠3x，

∴y的值不可能等于3，故（2）是假命题；

（3）∵y==3+，

∴当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3，故（3）是真命题；

（4）当y＞0时，可得或

解得x＞0或x＜－，故（4）是真命题.故答案为：C.【分析】将y=变形为y=3+，即可判断（1）（3），根据3x+1≠3x，可判断（2），根据有理数除法法则列出不等式组，求解可判断（4）.11．【答案】6【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得，，解得．故答案为：6．

【分析】根据多边形内角和公式（为边数，且为整数）再结合该多项式内角和为720°列出方程，求解即可.12．【答案】＞【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，＜＜＜＜＞故答案为：＞【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得△＜0，据此解答即可.13．【答案】【解析】【解答】解：设点C到AB的矩形为h1，点E到AB的距离为h2，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴h1=h2，

∵S平行四边形ABCD=AB×h1=52cm2，

S△ABE=AB×h2=×52=26cm2故答案为：26.【分析】设点C到AB的矩形为h1，点E到AB的距离为h2，由平行四边形的对边平行得出CD∥AB，由平行线间的距离处处相等得出h1=h2，进而根据平行四边形及三角形面积公式列式计算可得答案.14．【答案】（6，）【解析】【解答】解：∵A，B，C是反比例函数在第一象限的图象上的点，它的横坐标分别为2，4，6．∴A（2，），B（4，），C（6，），

∴S阴影=k+2×+2×=12，

解得k=

∴

∴C（6，），

故答案为：（6，）．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，可得A（2，），B（4，），C（6，），根据反比例函数系数k的几何意义，得出S阴影=k+2×+2×=12，求解得出k的值，从而可得点C的坐标.15．【答案】【解析】【解答】解：连接DE、CD，如图所示：

∵D、E分别是AB、AC边上的中点，AB=4，

∴DE是△ABC的中位线，BD=2，

∴DE=BC，DE∥BC，

∵CF=BC，CF=3，

∴DE=CF，BC=6，

∴四边形DCFE为平行四边形，

∴EF=CD，

∵AC=BC，D是AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴CD=，

∴EF=CD=，故答案为：．【分析】连接DE、CD，由D、E分别是AB、AC边上的中点，确定DE=CF，进而判断四边形DCFE为平行四边形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理计算CD的长度，从而得到EF的长度.16．【答案】【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，四边形是平行四边形，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，点在的角平分线上运动，∴的最小值为．故答案为：．

【分析】过E作EH⊥AB，交AB的延长线于H，延长DC，BE交于E'，由平行四边形性质得QC=PE，QC∥PE，由正方形性质得AD=CD=AB，∠DAB=∠CDA=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠ADP=∠DCQ，由“ASA”证△ADP≌△DCQ，由全等三角形对应边相等得CQ=DP；结合平行四边形对边相等得出PD=PE，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠ADP=∠EPH，由“AAS”证△ADP≌△HPE，由全等三角形对应边相等得AP=EH，PH=AD，则可推出AB=PH，进而推出BH=AP=EH，由等边对等角得出∠EBH=45°，故点在的角平分线上运动，根据垂线段最短即可求解.17．【答案】（1）解：原式

（2）解：原式

【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可；

(2)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可.18．【答案】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴，；（2）解：∵，

∴，即，

∴或，

∴，．【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根；

（2）把x-1看成一个整体，此题常数项为0，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.（1）解：∵，∴，∴，∴，；（2）解：∵，∴，即，∴或，∴，．19．【答案】（1）25（2）解：，

，

∵产品的方差小，

∴产品的单价波动小．【解析】【解答】（1）解：，故答案为：25；【分析】（1）此题中的“上一次”是指第二次，用B产品第二次的单价第三次单价的差除以第二次单价即可求出B产品第三次的单价比上一次的单价降低的百分比；（2）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，故求出B产品单价的方差，进而根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，可得答案.（1）解：，故答案为25；（2），，∵产品的方差小，∴产品的单价波动小．20．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，∠ACD=30°

∴，（2）解：∵四边形是菱形，

∴，，AC=2OC，BC=CD

∵，

∴BC=CD=2OD=6，

∴，

∴；

∵

∴S菱形ABCD，

∴，

∴．【解析】【分析】（1）由菱形对角相等，且每条对角线平分一组对角可得答案；（2）由菱形性质得，，AC=2OC，BC=CD，由含30°角直角三角形的性质得BC=CD=2OD=6，由勾股定理算出CO的长，从而可得AC的长，然后根据菱形面积公式，由等面积法可求出DH.（1）解：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴；（2）解：∵四边形是菱形，∴，，，∵，∴∴，∴；∵，∴菱形的面积，∵，且，∴菱形的面积，∴，∴．21．【答案】（1）（2）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为，将点代入，可得，

解得：，∴施工结束后关于的函数解析式为，当时，，

解得：，答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住；（3）解：当时，，当时，，

设这个降低的百分率为，

根据题意得：，

解得：或（不合题意，舍去）

∴这个降低的百分率为．【解析】【解答】（1）解：当时，设直线解析式为，将点代入，可得，

解得：，∴施工过程中关于的函数解析式是，

故答案为：.【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0.08代入解析式求出x的值即可；

（3）设这个降低的百分率为，根据题意列方程，再求出a的值即可.（1）当时，设直线解析式为，将点代入，可得，解得，所以施工过程中关于的函数解析式是，（2）当时，设此阶段关于的函数解析式为，将点代入，可得，解得，所以施工结束后关于的函数解析式为，当时，，解得，答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住；（3）当时，，当时，，设这个降低的百分率为，根据题意得，，解得或（不合题意，舍去）∴这个降低的百分率为．22．【答案】（1）正方形（答案不唯一）（2）解：如图1中，四边形即为所求．（3）证明：∵四边形是正方形，

∴，，AD∥BC

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，即EF⊥FG，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是垂等四边形．【解析】【解答】（1）解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形；

故答案为：正方形（答案不唯一）；【分析】（1）邻边垂直的特殊平行四边形有正方形和矩形，对角线相等的特殊四边形有正方形和矩形，据此可得答案；（2）根据方格纸的特点、垂等四边形定义及全等三角形的对应边相等，坐蓐即可；（3）由正方形性质得AB=BC=AD，∠B=A=∠C=90°，AD∥BC，由等量减去等量差相等得出BF=BG，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，由平角得出∠EFG=90°，即EF⊥FG；由“SAS”判断出△ADF≌△CDG，由全等三角形的对应边相等得DF=DG，由二直线平行，内错角相等推出∠EDG=∠DGC，结合已知得出∠GDE=∠GED，由等角对等边得出DG=EG，故DF=EG，从而根据垂等四边形定义可得结论.（1）解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形；（2）解：如图1中，四边形即为所求．（3）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是垂等四边形．23．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，

∴，

解得：，

∴的值为；（2）解：∵中，

∴反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，

∵，

∴，，，

∴；（3）证明：∵反比例函数，

∴该图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，

∵，且，

∴的最大值为，最小值为，

∵反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，

∵，且，

∴的最大值为，最小值为，

∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，

∴，，

∴，

②－①，得：，

∴．【解析】【分析】（1）将点坐标代入算出即可；（2）反比例函数（k≠0）中，当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可；（3）由反比例函数的增减性可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程构成方程组，即可求解.（1）解：∵反比例函数的图像