数学广角：重叠问题 课件2025-2026学年人教版数学三年级下册教学设计2025-2026学年人教版数学三年级下册

课时教学设计课题数学广角：重叠问题课型：新授课课时：一课时授课时间年月日第周第节1.教材分析：本课内容选自人教版小学数学三年级下册第九单元“数学广角——集合”，主要引导学生通过解决生活中常见的“重复”现象，初步理解集合思想，认识维恩图的结构与意义。教材以学生熟悉的获奖名单为情境，引出人数统计中的重复问题，帮助学生从具体到抽象地建立集合模型，掌握解决重叠问题的基本方法，为后续学习更复杂的分类与逻辑推理打下基础。2.学情分析：三年级学生已具备一定的观察、分析和归纳能力，能够进行简单的数据整理与计算。但在面对“重复计数”的实际问题时，容易忽略交叉部分的存在，导致直接相加得出错误结果。学生对图形化表达方式较为感兴趣，但尚未系统接触过集合概念和维恩图。因此，教学中应借助贴近生活的情境和直观图示，引导学生发现矛盾、提出问题，并通过动手画图、讨论交流等方式逐步构建集合思维，提升逻辑表达能力。3.核心素养目标：①情境与问题：创设“科技节获奖名单”“猜字谜”等真实生活情境，引导学生在具体问题中识别“重复参与”的现象，激发探究欲望，发展从现实情境中抽象出数学问题的能力，体会数学与生活的紧密联系；②知识与技能：经历解决问题的全过程，了解简单的集合知识，能正确使用维恩图表示两个集合之间的关系，掌握“总数=各部分之和－重复部分”的计算方法，并能运用该策略解决类似的实际问题；③思维与表达：通过画图分析、列式解答等活动，培养学生有序思考、逻辑推理的能力，学会用数学语言清晰表达解题思路，提升借助图形工具进行数学表征和问题解决的意识；④交流与反思：在小组合作与全班交流中，乐于倾听他人观点，敢于表达自己的想法，养成勤于思考、善于总结的良好学习习惯，在不断反思中优化解题策略，增强数学学习的兴趣与信心。4.学习重点难点：重点：经历解决问题的过程，了解简单的集合知识，初步感受集合的意义。难点：学会借助维恩图，运用集合思想解决较简单的实际问题。5.教学准备：课件6.学习活动设计：教学环节一：学习目标教师活动学生活动活动意图二次备课1.出示本节课的学习目标，逐条朗读并简要解释关键词含义。

2.强调“重叠问题”是生活中常见的数学现象，鼓励学生带着目标进入学习状态。1.认真聆听教师宣读学习目标。

2.明确本节课将要学习的内容与要求。让学生清楚知道本节课的学习方向和预期达成的目标，增强学习的目的性和主动性。教学环节二：情境导入教师活动学生活动活动意图二次备课1.播放脑筋急转弯：“两位妈妈和两个女儿一同去看电影（每人都得买一张票），可是她们只买了3张票，便顺利地进了电影院。这是为什么？”

2.提问启发：这三人之间是什么关系？你能说清楚吗？

3.鼓励学生尝试用画图的方式表示人物关系。1.思考问题，尝试理解其中的逻辑关系。

2.预设：奶奶、妈妈、女儿三人，妈妈既是女儿又是母亲，所以只有三人。

3.尝试在练习本上画出三人关系图。通过趣味性问题引发认知冲突，激发学生兴趣，初步感知“一人双重身份”即“重叠”现象的存在，为引入集合思想做铺垫。1.追问：“除了文字说明，还有什么方法可以更清楚地表示这种关系？”

2.引导学生认识到图示法的直观优势。

3.揭示课题：“今天我们就来学习如何用图形解决这类‘重叠’问题。”1.回忆以往学习中是否见过类似的图。

2.预设：可以用圈圈画画的方式来表示谁属于哪一类。

3.倾听教师讲解，明确本节课主题。引导学生从具体情境中提炼数学问题，体会图示表达的优势，自然过渡到新知学习。教学环节三：新知讲解教师活动学生活动活动意图二次备课1.展示教材P102例题情境：某校科技节中三（1）班、三（2）班航空模型、机器人作品获奖学生名单。

2.提问：“三（1）班航空模型获奖的有几人？机器人作品获奖的有几人？一共多少人？”

3.组织学生独立填写答案。1.观察表格信息，分别数出两类获奖人数。

2.预设：航空模型6人，机器人6人，共12人。

3.独立完成填空。引导学生回顾已有统计经验，建立初步的数量感知，为后续对比埋下伏笔。1.继续提问：“三（2）班航空模型获奖的有几人？机器人作品获奖的有几人？一共多少人？”

2.引导学生核对名单，发现杨明、罗阳两人同时出现在两个项目中。

3.设疑：“还能用‘6+6=12’计算总人数吗？为什么？”1.数出每类获奖人数。

2.发现杨明、罗阳重复出现。

3.预设：不能直接相加，因为有两个人重复了，会多算一次。制造认知冲突，促使学生意识到“重复”会导致计数错误，激发寻找新方法的需求。1.提出任务：“你有什么办法能清楚地表示三（2）班获奖学生的情况？”

2.鼓励学生尝试画图表达，提示可用不同颜色或区域区分。

3.巡视指导，收集典型作品准备展示。1.动手尝试画图表示两类获奖情况。

2.使用线条、方框、圆圈等方式尝试分类。

3.部分学生开始尝试将重复的人放在中间位置。鼓励学生自主探究，经历“从无到有”的图示建构过程，发展创新思维和动手实践能力。1.展示学生作品，重点呈现接近维恩图的画法。

2.引入标准维恩图：用两个相交的圆圈分别表示“航空模型获奖”和“机器人作品获奖”。

3.动态演示绘制过程：左边圆圈写只参加航空模型的学生，右边圆圈写只参加机器人的学生，中间重叠部分写两项都获奖的学生。1.观察同学的作品，比较异同。

2.跟随教师演示，在课本或练习本上同步绘制维恩图。

3.理解三个区域的含义：只参加一项、两项都参加。通过对比优化，引出规范的维恩图表示法，帮助学生建立正确的集合图示模型，理解其结构与意义。1.提问：“现在你能列出算式求出三（2）班获奖总人数吗？”

2.引导学生根据维恩图写出算式：6+6–2=10（人）。

3.解释每一步的意义：6是航空模型人数，6是机器人人数，减去2是因为两人被重复计算了一次。1.观察维恩图，尝试列式计算。

2.预设：6+6–2=10（人）。

3.口述算式含义：减去重复的2人，避免多算。引导学生由形入数，实现从图形表达到数量运算的转化，掌握解决重叠问题的核心算法。1.追问：“为什么三（2）班不能直接相加？生活中还有类似的例子吗？”

2.举例引导：如有人同时参加美术班和舞蹈班；既喜欢语文又喜欢数学的同学等。

3.归纳总结：当存在“既……又……”的情况时，就会出现重复，需减去重叠部分。1.思考生活中的类似现象。

2.预设：班级里有同学既参加了跳绳比赛又参加了踢毽子比赛。

3.预设：我爸爸既是老师又是篮球爱好者。

4.加深对“重叠”普遍性的认识。联系生活实际，拓展应用视野，帮助学生理解集合思想的广泛适用性，强化数学建模意识。1.介绍维恩图的历史背景：由英国数学家约翰·维恩发明，用于研究集合问题，也称文氏图。

2.强调维恩图的作用：能清晰表示集合间的包含、相交关系，是解决重叠问题的重要工具。

3.板书关键数量关系：

只参加A的人数+只参加B的人数+A、B都参加的人=总人数

参加A的人数+参加B的人数–A、B都参加的人=总人数1.聆听教师讲解，了解维恩图的来源。

2.在笔记本上记录两种数量关系式。

3.理解公式中每一项的实际意义。丰富数学文化内涵，提升学习兴趣；系统梳理核心知识点，帮助学生形成完整的知识体系。1.总结解决重叠问题的策略：

方法一：两部分之和减去重叠部分；

方法二：先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分；

方法三：用一部分（不含重叠）+重叠部分+另一部分（不含重叠）。

2.强调解题步骤：先分析条件→画维恩图→借助图思考→列式解答。1.跟随教师总结三种解法。

2.理解不同方法的本质一致性。

3.记录解题一般步骤，内化解题策略。帮助学生提炼通用解题方法，形成可迁移的思维模式，提高解决同类问题的能力。教学环节四：随堂小练教师活动学生活动活动意图二次备课1.出示第一题：把下面动物的序号填写在合适的圈里（会游泳、会飞、既会游泳又会飞）。

2.引导学生判断每种动物的能力特征。

3.示范如何将序号填入维恩图相应区域。1.判断动物属性：

①青蛙—会游泳；②企鹅—会游泳；③燕子—会飞；④鸭子—会游泳；⑤海豚—会游泳；⑥天鹅—既会游泳又会飞；⑦老鹰—会飞；⑧鱼—会游泳；⑨海鸥—既会游泳又会飞；⑩蝙蝠—会飞。

2.预设：既会游泳又会飞的是⑥和⑨。

3.完成填图练习。巩固维恩图的使用方法，训练学生根据属性进行分类的能力，加深对集合交集的理解。1.出示第二题：荣获“语文之星”和“数学之星”的名单。

2.提问：（1）既荣获两项荣誉的有几人？（2）上光荣榜的一共有几人？

3.引导学生画维恩图辅助解答。1.观察名单，找出重复名字。

2.预设：既获“语文之星”又获“数学之星”的有6人。

3.列式计算：9+15–6=18（人）。

4.完成答题。应用所学知识解决新的实际问题，检验学生对重叠问题解法的掌握程度，提升迁移应用能力。教学环节五：当堂检测教师活动学生活动活动意图二次备课1.出示题目：在大于50小于70和大于60小于80的两个数集中，填写符合条件的数字。

2.引导学生先分别列出两个范围内的整数。

3.提问：两个圈里都出现的数有哪些？用画图方式表示。1.列出大于50小于70的数：51~69共19个。

2.列出大于60小于80的数：61~79共19个。

3.找出公共部分：61~69共9个。

4.绘制维恩图并填数。将集合思想应用于数的认识领域，拓展维恩图的应用场景，培养学生跨知识点整合能力。1.提问：“你还能提出其他数学问题并解答吗？”

2.引导学生提问如：“大于50小于80的数有多少个？”

3.指导列式：10+10+9=29（个）或直接计算79-50=29（个）。1.尝试提出新问题。

2.预设：大于50小于80的数有多少个？

3.列式解答：前段（51~59）9个，中段（60）1个，后段（70~79）10个，加上重叠段（61~69）9个？修正为：51~59:9个，60:1个，61~69:9个，70~79:10个→合计9+1+9+10=29个。

4.或简化为79-50=29（个）。鼓励学生主动提问，培养问题意识和发散性思维，进一步深化对集合运算的理解。1.出示第三题：三位好朋友猜字谜。

小艺猜对15个，小华猜对7个，小路猜对11个。

小华猜对的7个，小艺都猜对了；小路猜对的有6个，小艺也猜对了。

（1）小艺和小华一共猜对几个？

（2）小艺和小路一共猜对几个？

2.引导学生分别画出两组维恩图进行分析。1.分析第一问：小华猜对的都在小艺范围内，说明小华是小艺的子集。

2.预设：小艺和小华一共猜对15个（因小华全部包含在小艺中）。

3.分析第二问：小艺和小路有6个重复。

4.列式：15+11–6=20（个）。

5.完成作答。设置更具挑战性的问题，考察学生对包含关系与相交关系的区别理解，提升综合分析与灵活应用能力。教学环节六：课堂小结教师活动学生活动活动意图二次备课1.提问：“通过本节课的学习，你有什么收获？”

2.引导学生从知识、方法、思想三个方面总结。

3.系统梳理：

-学习了集合知识，认识了维恩图；

-掌握了重叠问题的解法：总数=A+B–重叠；

-学会了画图分析、有序思考的策略。1.积极举手发言分享收获。

2.预设：我知道了有些人可以同时属于两个集体。

3.预设：我学会了用两个交叉的圆圈来表示重叠情况。

4.预设：以后遇到重复的问题就知道要减去多算的部分。帮助学生回顾整节课的学习历程，梳理知识脉络，促进知识的系统化与内化，提升元认知能力。7.作业设计基础性作业：

1.完成练习纸上第1题：根据班级兴趣小组报名情况，画出维恩图并计算总人数。

2.口答：教室里有8人戴眼镜，10人扎辫子，其中有3人既戴眼镜又扎辫子，一共有多少人？提升性作业：

1.小明读了8本故事书和5本科普书，其中有2本既是故事书又是科普书（如科学童话），他一共读了多少本书？请画图并列式解答。

2.某小区有12户订牛奶，15户订报纸，其中5户既订牛奶又订报纸。这个小区至少有多少户人家？拓展性作业：

请你调查家里成员的兴趣爱好，比如有人喜欢唱歌，有人喜欢跳舞，有没有人既喜欢唱歌又喜欢跳舞？用维恩图画出来，并写出家庭总人数的计算过程。8.板书设计

数学广角：重叠问题

——维恩图的应用

三（2）班获奖情况：

航空模型：6人 机器人：6人 重复：2人

总人数=6+6–2=10（人）

数量关系：

总人数=A+B–重叠部分

总人数=只A+只B+共同

解题策略：

1.分析条件 2.画维恩图 3.借图思考 4.列式解答9.教学反思与改进：成功之处：本节课以“脑筋急转弯”导入，迅速吸引学生注意力，有效激发学习兴趣。通过真实获奖名单引发认知冲突，使学生深刻体会到直接相加的不合理性，从而主动寻求解决方案。维恩图的引入循序渐进，从学生自主画图到规范呈现，再到动态演示，帮助学生顺利完成从具象到抽象的思维跃迁。练习设计层次分明，涵盖生活情境、数字集合、复杂关系等多种类型，充分巩固了所学知识，多数学生能准确识别重叠现象并正确列式解答。不足之处：部分学生在绘制维恩