2025-2026学年上海吴淞中学高二上学期数学期末试卷（含答案）

吴淞中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．直线的填空题的大小为.

2．已知圆维的底面半径为1，母线长为2，则该圆维的侧面积为.

3．在等比数列中，，则公比.

4．已知函数，则.

5．方程表示椭圆方程，则的取值范围为.

6．设，向量，且，则.

7．圆的圆心在第三象限，则的取值范围为.

8．已知函数在处取得极值0，则.

9．已知数列满足，则的最小值为.

10．已知动点满足，则的最大值为.

11．已知点及抛物线上一动点，则的最小值为.

12．已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在的左、右两支上，且满足，则的离心率为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若动点到定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（）.

A．线段B．直线C．椭圆D．抛物线

14．己知等差数列的前项和分别为，且，则（）.

A．B．C．D．

15．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（）.

A．B．C．D．

16．下列说法正确的是（）.

A．若，则是钝角B．直线的方向向量，平面的法向量，则C．空间一直线经过点，则到的距离为D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知是等差数列，是等比数列，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的通项公式．

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小期满分8分）已知圆的圆心在轴上，且经过两点．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．

19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数．

（1）若，求的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若，求在上最大值和最小值；

（3）若，求证：在区间上函数的图象在函数图象的下方．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设为椭圆的右焦点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为和椭圆上的点，求两点间最大距离；（3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知点及抛物线上一动点，则的最小值为.【答案】【解析】设抛物线的焦点为，则，易知抛物线的准线为直线，设为点到准线的距离，则当共线时取等号，∴的最小值是，∴的最小值是12．已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在的左、右两支上，且满足，则的离心率为.【答案】【解析】连接，延长与双曲线交于点，连接，如图所示：由，根据对称性可知，所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形，由，定义，则，由双曲线定义，，且，所以，

因为中，，且，得，即，所以，在直角三角形中，，即，解得，即．二、选择题13.B14.D15.B16.D15．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（）.

A．B．C．D．

【答案】B【解析】由题意知，半圆的方程为，设半椭圆的方程为，则，所以，故半椭圆的方程为，设，则，所以，设，则，故．16．下列说法正确的是（）.

A．若，则是钝角B．直线的方向向量，平面的法向量，则C．空间一直线经过点，则到的距离为D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：

对于，若，则是钝角或平角，故错误；

对于，因为直线的方向向量，平面的法向量，则，故与不共线，即不成立，故错误；对于，因为，则，∴，故到的距离为，故错误；对于，利用反证法的思想，假设三个向量共面，则，变形可得：，若，则，则共线，不能作为空间的一组基底，这与是空间的一组基底矛盾；若，则，则有共面，不能作为空间的一组基底，这与是空间的一组基底矛盾，所以假设不成立，即不共面，所以也是空间的一组基底，故正确．故选：D．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）证明略（2）（3）20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数．

（1）若，求的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若，求在上最大值和最小值；

（3）若，求证：在区间上函数的图象在函数图象的下方．【答案】（1）极小值；无极大值.（2）；（3）证明见解析【解析】（1）当定义域为；故在上是减函数，在上是增函数，故在处取得极小值；无极大值.

（2）当时，的定义域为故在上是增函数，故；

（3）证明：令；

则，

∴在上是增函数，故；故在区间上，函数的图象在的图象下方．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设为椭圆的右焦点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为和椭圆上的点，求两点间最大距离；（3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2