2025-2026学年下学期河南新乡高一数学3月阶段测试（含答案）

2025-2026学年高一下学期素养测评(一)数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。考试时间为120分钟,满分150分一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在□ABCD中，A.BCB.DAC.CDD.02.下列命题错误的是A.若向量a与向量b都是单位向量，则aB.若向量a=b，则a与bC.若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合D.若a>b，则3.已知向量OA=k,−5,OB=4A.−27B.−134.如图，D,E,F分别是△ABCA.FD+DAC.DE+DA5.已知正方形ABCD的边长为4,点E在线段AC上,则AE⋅BEA.-1B.-2C.-4D.-86.2025年10月,某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核的技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌的创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000m.若汽车从A地出发，以52 km/h的静水速度向对岸航行，水流速度为5 km/hA.43 minB.7.在△ABC中,AB=3,AC=5,O为△ABC所在平面内一点,且满足OA=OB= A.6B.152C.5118.已知平面内的非零向量m,n，定义运算:m⊗n=m⋅nnnA.aB.若b与c不垂直，则aC.aD.若a⊗c=b二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.若向量a=−A.若x=34B.若a//b，则C.若x=5，则向量b在向量a上的投影向量的模为D.若a=b,则10.若e1,e2是平面A.λe1+μe2B.对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μC.若向量λ1e1+μ1e2与λD.若实数λ，μ使λe1+μ11.已知△ABC的内角A,B,CA.若A>B>CB.若AB⋅AC>0,则C.若sin2A+sin2BD.若△ABC为锐角三角形,且sinA=2sinBsin三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=1,1,b=2,−13.已知△ABC的面积为23，角C=6014.设P是△ABC所在平面内的一点,若2AP−BP−CP四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知向量a,b,c满足a+(1)求向量a与b的夹角θ.(2)是否存在实数μ，使μa+b与a−2b垂直？若存在，求出16.(15分)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,(1)求角B的大小；(2)求sinA+sin17.(15分)如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向北偏东π2−α角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=313 km,且∠AOM=β.现要修建一条铁路L，在OA上设一A站，在OB上设一B站，铁路在(1)求大学M与A站的距离AM；(2)求铁路AB段的长度.18.(17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a(1)求角A；(2)若△ABC的面积为43，内角A的平分线交边BC于点E，b=4，求(3)若a=7，边BC上的中线AD=112，设点O为△ABC19.(17分)布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下:设P是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,则称点P为△ABC的布洛卡点,角θ为△ABC的布洛卡角.如图,在△ABC中,记它的三个内角分别为∠BAC,∠ABC,∠BCA其对边分别为a,b(1)若∠ABC=π2,AC=2,AB(2)在θ=π①若ΔABC的面积S=3，求②若a=2，求△ABC的面积2025-2026学年高一下学期素养测评(一)数学参考答案及评分意见1.D由题意得AD=BC,AB=DC2.D对于A,若a与b都是单位向量,则a=b,故A对于B,因为a=b,所以a=b且向量a与向量b方向相同,即a与b是平行向量,故对于C,用有向线段表示的向量AM与AN不相等,则点M与N不重合,故C正确;对于D,向量是既有大小又有方向的量,则两个向量不能比较大小,故D错误.故选D.3.A若A,B,C三点共线,则向量AB与因为AB=OB−OA=4所以8⋅4−k=15⋅2−k4.C因为D,E,F分别是△ABC所以DE//AC,DE=12AC,即DE//AF由向量加法的三角形法则,得FD+由向量加法的平行四边形法则,得DE+DA=DF=EC,DA+5.B由题意,在边长为4的正方形ABCD中,AC=设AE=xAC=x因为AB⋅BC=0,所以AE⋅BE=xAB+BC⋅x6.D设点B是长江对岸一点，AB与江岸垂直，当汽车实际沿AB方向行驶时，航程最短.设汽车的静水速度为v1，水流的速度为v2，实际速度v=v1+所以v=v12−v27.C因为AO=2λ3AB+3−2λ3AD又OA=OB=OC,所以点O为△ABC的外心.又因为D为AC的中点,所以OD垂直平分AC,即BD垂直平分AC.又因为AB又因为AC=5,所以由余弦定理,得又因为0<∠ABC<π所以S△ABC=12BA⋅BCsin∠ABC=8.C对于A,由定义得a⊗b=a⋅bbb⋅b与b共线,b⊗a=b⋅aaa⋅a与a共线,所以a⊗b≠b⊗a,故A错误.对于B,不妨取a=1,0,b=1,1,c=2,3,则a⊗b=a⋅bbb⋅b=12b=12,12,所以a⊗b⊗c=9.ABC对于A,当x=34时,a⋅b=−对于B,当a//b时,−x−3×4=0对于C,若x=5,向量b在向量a上的投影向量为所以向量b在向量a上的投影向量的模为bcos⟨a,b对于D,若a=b,则9+x2=17,所以x=±210.AD由题意,e1,e2是平面所以对平面α内的任一向量a,都存在唯一的实数对λ,μ,使得所以λe1+μe2λ,μ∈对平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ当λ2e1+μ2e2=0时,则任意实数λ若实数λ,μ使λe1+μe2=0,假设λ≠0,则e1=−μλe2,即11.AB对于A,在△ABC中,若A>B>C由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC>0,故sinA则cosA>0,即A为锐角,但不确定B,C是否是锐角,所以△ABC对于C,因为sin2A+sin2B+cos2由正弦定理,得a2+b2<由余弦定理,得cosC=a2+b2−c2对于D,因为cosAsinA=2sinB所以tanA=2tanB因为△ABC为锐角三角形,所以tanA=2tan令tanBtanC−1=u∈0,+∞,则tanAtanBtanC=2u+12.4由题意,得ma−b=m1,1−2,−2=m13.6设△ABC的内角A,B因为AB+BC+CA=所以AB​即AB​2+BC​又因为△ABC的面积为23,角C=60∘,所以S由余弦定理,得a2联立①②解，得2c2=12，所以c=14.−12由题意得,=AP如图，设BC的中点为D，连接AD，则AB+AC=2AD设AD的中点为O,连接PO,PD,则=2当且仅当PO=0,即点P与点O重合时,PA⋅PB+15.解:(1)∵a+b+c∴a⋅又∵a⋅b=ab又θ∈0∘,180∘(2)若μa+b⊥a−2b即μa2∴9μ∴存在μ=−8512使得μa+b与16.解:(1)在△ABC中,因为B+C=π−由题意,得1+由正弦定理,得ac=sinAsinC在△ABC中,sinA≠0,sinC又因为B是锐角三角形的内角,所以B=π(2)在△ABC中，由B=π3，得A+所以sin32sin又因为△ABC是锐角三角形,所以0则A∈π6,π2因为函数y=sinx在π3,2π3上的取值范围为即sinA+sinC的取值范围为17.解:(1)在△AOM中,AO=15,∠AOM由余弦定理,得A=所以AM=62，即大学M与A站的距离AM为(2)因为cosβ=313,且β为锐角,所以sinβ=1−cos2β=1−913=由题意得∠AOB>π2,所以所以∠ABO=α−π4.因为所以sin∠ABO=sin又因为∠AOB=π−α在△AOB中,AO=15,由正弦定理,得ABsin∠AOB=AOsin∠ABO即铁路AB段的长度为302 km18.解:(1)由c−a得sinC−sin又因为sinC所以cosA因为sinB>0,所以1−cosA=3sinA由0<A<π,得−1<cos又因为A∈0,π,所以(2)由S△ABC=12bcsinA=43,sinA=32,得bc=16.又因为b=4，所以因为S△所以43所以AE=2(3)在△ABC中，由余弦定理，得b2因为AB+AC=2AD,边BC上的中线AD所以b2+c2+2bccos2π3=11,即b2+c2−bc=11.与b2+由点O为△ABC的外接圆圆心,得OM⊥因为AO⋅AO⋅所以AO⋅AD19.解:(1)因为在△ABC中,∠ABC=π2又因为∠CAB为锐角,所