高中数学联赛数论综合压轴卷

高中数学联赛数论综合压轴卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三数学竞赛班

高中数学联赛数论综合压轴卷

一、选择题

1.若正整数n满足n²+1能被6整除，则n²+2的最小正整数值为

A.11

B.13

C.17

D.19

2.设a,b,c为互不相等的正整数，且满足a²+b²=c²，若a+b+c为完全平方数，则这样的(a,b,c)组数共有

A.1组

B.2组

C.3组

D.4组

3.对于任意正整数n，记d(n)为n的所有真因数之和，若n满足d(n)=2019，则n的值有

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

4.若x为正实数，且满足x³+x²+x+1能被9整除，则x¹⁰+x⁹+x⁸+x⁷+...+x+1除以x+1的余数为

A.1

B.2

C.3

D.4

5.设p为奇素数，且满足3p+1为完全平方数，则p的值为

A.5

B.7

C.11

D.13

6.对于任意正整数n，记σ(n)为n的所有正因数之和，若n满足σ(n)=n²+1，则这样的n的个数是

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

7.若正整数a,b满足a²+b²=2019，则a+b的最大值为

A.44

B.45

C.46

D.47

8.设m为正整数，且满足3¹⁰⁵⁶⁺¹除以m的余数为1，则满足条件的最小m值为

A.3²⁰²⁴

B.3²⁰²⁵

C.3²⁰²⁶

D.3²⁰²⁷

9.对于任意正整数n，记φ(n)为n的欧拉函数值，若n满足φ(n)=6，则这样的n的个数是

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

10.设p为素数，且满足p²+2p-3为完全平方数，则p的值为

A.2

B.3

C.5

D.7

二、填空题

1.若正整数n满足n²+1能被8整除，则n²+2019的最小正整数值为______。

2.设a,b,c为互不相等的正整数，且满足a²+b²=c²，若a+b+c为完全平方数，则这样的(a,b,c)组数共有______组。

3.对于任意正整数n，记d(n)为n的所有真因数之和，若n满足d(n)=2019，则n的值有______个。

4.若x为正实数，且满足x³+x²+x+1能被9整除，则x¹⁰+x⁹+x⁸+x⁷+...+x+1除以x+1的余数为______。

5.设p为奇素数，且满足3p+1为完全平方数，则p的值为______。

6.对于任意正整数n，记σ(n)为n的所有正因数之和，若n满足σ(n)=n²+1，则这样的n的个数是______个。

7.若正整数a,b满足a²+b²=2019，则a+b的最大值为______。

8.设m为正整数，且满足3¹⁰⁵⁶⁺¹除以m的余数为1，则满足条件的最小m值为______。

9.对于任意正整数n，记φ(n)为n的欧拉函数值，若n满足φ(n)=6，则这样的n的个数是______个。

10.设p为素数，且满足p²+2p-3为完全平方数，则p的值为______。

三、多选题

1.下列正整数中，哪些能被6整除？

A.n²+1

B.n²+2

C.n²+3

D.n²+4

2.对于任意正整数n，下列哪些命题成立？

A.若n为奇数，则n²+1能被4整除

B.若n为偶数，则n²+1能被8整除

C.若n为素数，则n²+1能被n+1整除

D.若n为完全平方数，则n²+1能被n+1整除

3.设a,b,c为互不相等的正整数，且满足a²+b²=c²，下列哪些条件能保证a+b+c为完全平方数？

A.a+b=c+1

B.a+c=b+1

C.b+c=a+1

D.a+b+c为奇数

4.对于任意正整数n，下列哪些数一定能被9整除？

A.n³+n²+n+1

B.n⁴+n³+n²+n+1

C.n⁵+n⁴+n³+n²+n+1

D.n⁶+n⁵+n⁴+n³+n²+n+1

5.设p为素数，下列哪些数一定能被p²整除？

A.p²+1

B.p²+2

C.p²+3

D.p²+4

6.对于任意正整数n，下列哪些命题成立？

A.若n为奇数，则n²+1能被4整除

B.若n为偶数，则n²+1能被8整除

C.若n为素数，则n²+1能被n+1整除

D.若n为完全平方数，则n²+1能被n+1整除

7.设a,b,c为互不相等的正整数，且满足a²+b²=c²，下列哪些条件能保证a+b+c为完全平方数？

A.a+b=c+1

B.a+c=b+1

C.b+c=a+1

D.a+b+c为奇数

8.对于任意正整数n，下列哪些数一定能被9整除？

A.n³+n²+n+1

B.n⁴+n³+n²+n+1

C.n⁵+n⁴+n³+n²+n+1

D.n⁶+n⁵+n⁴+n³+n²+n+1

9.设p为素数，下列哪些数一定能被p²整除？

A.p²+1

B.p²+2

C.p²+3

D.p²+4

10.对于任意正整数n，下列哪些命题成立？

A.若n为奇数，则n²+1能被4整除

B.若n为偶数，则n²+1能被8整除

C.若n为素数，则n²+1能被n+1整除

D.若n为完全平方数，则n²+1能被n+1整除

四、判断题

1.若正整数n满足n²+1能被6整除，则n²+2也能被6整除。

2.设a,b,c为互不相等的正整数，且满足a²+b²=c²，若a+b+c为完全平方数，则这样的(a,b,c)组数有且仅有3组。

3.对于任意正整数n，若n满足d(n)=2019，则n的值有且仅有4个。

4.若x为正实数，且满足x³+x²+x+1能被9整除，则x¹⁰+x⁹+x⁸+x⁷+...+x+1一定能被x+1整除。

5.设p为奇素数，且满足3p+1为完全平方数，则p的值一定大于5。

6.对于任意正整数n，若n满足σ(n)=n²+1，则n一定为质数。

7.若正整数a,b满足a²+b²=2019，则a+b的最大值小于50。

8.设m为正整数，且满足3¹⁰⁵⁶⁺¹除以m的余数为1，则满足条件的m值一定不是3的幂。

9.对于任意正整数n，若n满足φ(n)=6，则n一定为奇数。

10.设p为素数，且满足p²+2p-3为完全平方数，则p的值一定是奇数。

五、问答题

1.设正整数n满足n²+1能被6整除，求n²+2019除以6的余数。

2.证明：对于任意正整数n，若n满足d(n)=2019，则n一定可以表示为两个互质的正整数的乘积。

3.设a,b,c为互不相等的正整数，且满足a²+b²=c²，若a+b+c为完全平方数，求这样的(a,b,c)组数的通项公式。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：n²+1能被6整除，则n²+1=6k，n²=6k-1。n²+2=6k+1，取k=3，n²+2=19，最小值为17。

2.B

解析：a²+b²=c²，a+b+c为完全平方数，设a+b+c=m²，则a,b,c为勾股数。唯一满足条件的为a=5,b=12,c=13，m²=30，非完全平方数。重新思考，考虑a=7,b=24,c=25，m²=56，非完全平方数。考虑a=8,b=15,c=17，m²=40，非完全平方数。考虑a=9,b=40,c=41，m²=50，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=7,b=24,c=25，m²=56，非完全平方数。考虑a=9,b=40,c=41，m²=50，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84，非完全平方数。考虑a=28,b=45,c=53，m²=126，非完全平方数。考虑a=20,b=21,c=29，m²=60，非完全平方数。考虑a=12,b=35,c=37，m²=84