高中奥数极端原理专项卷

高中奥数极端原理专项卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三奥数班

高中奥数极端原理专项卷

一、选择题

1.在一个集合S中，元素的最小值与最大值之差为10，则集合S中元素个数的最大值是

A.10

B.11

C.12

D.13

2.已知a，b，c为实数，且a+b+c=0，ab+bc+ca=3，则a，b，c中最大数的最大值是

A.3

B.2

C.1

D.-1

3.在一个凸n边形中，任意两个顶点之间的距离都不相等，则其最短的对角线长度不可能是

A.1

B.2

C.3

D.4

4.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx+1}，若A与B有且仅有两个交点，则m的取值范围是

A.(-√2,√2)

B.(-√3,√3)

C.(-2,2)

D.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)

5.在一个无序的n元集合中，任意两个不同的子集的交集大小都不相等，则n的最大值是

A.4

B.5

C.6

D.7

6.在一个实数数列{a_n}中，若对于任意的正整数k，都有a_1+a_2+...+a_k≤k²，则a_n的最大可能值是

A.n-1

B.n

C.n+1

D.n²

7.在一个凸四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=2，BO=3，CO=4，DO=5，则四边形ABCD的面积最大值是

A.24

B.30

C.36

D.42

8.在一个有限数列{a_1,a_2,...,a_n}中，若对于任意的正整数k，都有a_1+a_2+...+a_k≤k³，则a_n的最大可能值是

A.n²

B.n³

C.n²+n

D.n³+n

9.在一个凸n边形中，若其所有对角线的长度都不相等，则其最长的对角线长度不可能是

A.n-1

B.n

C.n+1

D.n+2

10.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx²+1}，若A与B有且仅有三个交点，则m的取值范围是

A.(-∞,-2)∪(2,+∞)

B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

二、填空题

1.在一个集合S中，元素的最小值与最大值之差为5，则集合S中元素个数的最大值是__________。

2.已知a，b，c为实数，且a+b+c=0，ab+bc+ca=4，则a，b，c中最大数的最大值是__________。

3.在一个凸五边形中，任意两个顶点之间的距离都不相等，则其最短的对角线长度不可能是__________。

4.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx+2}，若A与B有且仅有两个交点，则m的取值范围是__________。

5.在一个无序的n元集合中，任意两个不同的子集的交集大小都不相等，则n的最小值是__________。

6.在一个实数数列{a_n}中，若对于任意的正整数k，都有a_1+a_2+...+a_k≤k²，则a_n的最大可能值是__________。

7.在一个凸四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=3，BO=4，CO=5，DO=6，则四边形ABCD的面积最大值是__________。

8.在一个有限数列{a_1,a_2,...,a_n}中，若对于任意的正整数k，都有a_1+a_2+...+a_k≤k³，则a_n的最大可能值是__________。

9.在一个凸六边形中，若其所有对角线的长度都不相等，则其最长的对角线长度不可能是__________。

10.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx²+3}，若A与B有且仅有三个交点，则m的取值范围是__________。

三、多选题

1.在一个集合S中，元素的最小值与最大值之差为8，则集合S中元素个数的可能值是

A.9

B.10

C.11

D.12

2.已知a，b，c为实数，且a+b+c=0，ab+bc+ca=5，则a，b，c中最大数的可能值是

A.3

B.2

C.1

D.-1

3.在一个凸四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，BO=2，CO=3，DO=4，则四边形ABCD的面积可能值是

A.6

B.8

C.10

D.12

4.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx+1}，若A与B有且仅有两个交点，则m的可能取值范围是

A.(-√2,√2)

B.(-√3,√3)

C.(-2,2)

D.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)

5.在一个有限数列{a_1,a_2,...,a_n}中，若对于任意的正整数k，都有a_1+a_2+...+a_k≤k²，则a_n的可能最大值是

A.n-1

B.n

C.n+1

D.n²

6.在一个凸n边形中，若其所有对角线的长度都不相等，则其最长的对角线长度可能值是

A.n-1

B.n

C.n+1

D.n+2

7.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx²+2}，若A与B有且仅有三个交点，则m的可能取值范围是

A.(-∞,-2)∪(2,+∞)

B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

8.在一个无序的n元集合中，任意两个不同的子集的交集大小都不相等，则n的可能值是

A.4

B.5

C.6

D.7

9.在一个凸五边形中，任意两个顶点之间的距离都不相等，则其最短的对角线长度可能值是

A.1

B.2

C.3

D.4

10.在一个凸四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=2，BO=3，CO=4，DO=5，则四边形ABCD的面积可能值是

A.12

B.15

C.18

D.21

四、判断题

1.在一个集合S中，若元素的最小值与最大值之差为0，则集合S中元素的个数一定为1。

2.已知a，b，c为实数，且a+b+c=0，ab+bc+ca=4，则a，b，c中最大数的最大值一定为2。

3.在一个凸n边形中，若其所有对角线的长度都不相等，则其最长的对角线一定连接着不相邻的两个顶点。

4.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx+1}，若A与B有且仅有两个交点，则m的值一定不为0。

5.在一个无序的n元集合中，若任意两个不同的子集的交集大小都不相等，则n的值一定大于等于4。

6.在一个实数数列{a_n}中，若对于任意的正整数k，都有a_1+a_2+...+a_k≤k²，则a_n一定小于等于n。

7.在一个凸四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD一定是正方形。

8.在一个有限数列{a_1,a_2,...,a_n}中，若对于任意的正整数k，都有a_1+a_2+...+a_k≤k³，则a_n一定小于等于n²。

9.在一个凸六边形中，若其所有对角线的长度都不相等，则其最长的对角线一定不与任何边重合。

10.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx²+3}，若A与B有且仅有三个交点，则m的值一定为负数。

五、问答题

1.设a，b，c为实数，且a+b+c=0，ab+bc+ca=4，求a，b，c中最大数的最小可能值。

2.在一个凸五边形中，已知其所有对角线的长度都不相等，求其最长的对角线长度与最短的对角线长度的差的最小可能值。

3.在一个平面直角坐标系中，点集A={(x,y)|x²+y²≤1}，点集B={(x,y)|y=mx+1}，若A与B有且仅有两个交点，求m的取值范围。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：设集合S的最小值为m，最大值为M，则M-m=10。要使集合S中元素个数最大，应使元素尽可能多地取整数值。当m=0时，M=10，S={0,1,2,...,10}，元素个数为11；当m=-1时，M=9，S={-1,0,1,2,...,9}，元素个数为10；当m=-2时，M=8，S={-2,-1,0,1,2,...,8}，元素个数为9。因此，元素个数的最大值为12，即m=-1，M=11，S={-1,0,1,2,...,11}。

2.B

解析：因为a+b+c=0，所以c=-a-b。代入ab+bc+ca=3，得ab-b(a+b)+a(a+b)=3，即ab-ab-b²+a²+b²=3，化简得a²+b²=3。设a，b，c中最大数为x，则x=a或x=b。若x=a，则a≥0，b²=3-a²，因为a²+b²=3，所以b²=3-a²=3-a²，即b²=3-a²。因为a²+b²=3，所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²=3。所以a²+b²