重点高中自主招生卷

重点高中自主招生卷考试时间：120分钟 总分：200分 年级/班级：高一（1）班

试标题:重点高中自主招生卷

一、选择题

1.下列关于函数y=f(x)的奇偶性的判断，正确的是

A.若f(-x)=f(x)，则f(x)是奇函数

B.若f(-x)=-f(x)，则f(x)是偶函数

C.若f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)只能是常数函数

D.若f(x)不是奇函数，则f(x)一定是偶函数

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n*S_{n-1}(n≥2)，则a_5的值为

A.6

B.24

C.120

D.720

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA=1/2，则sinB+sinC的值为

A.√3/2

B.1

C.√3

D.2

4.若复数z满足|z|=1，且z^5=1，则z^2019的值为

A.1

B.-1

C.i

D.-i

5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为

A.3和-1

B.3和0

C.2和-1

D.2和0

6.已知直线l过点(1,2)，且与直线y=3x-1垂直，则直线l的方程为

A.y=-1/3x+7/3

B.y=1/3x+5/3

C.y=-3x+7

D.y=3x-1

7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=27，则a_6+a_10+a_14的值为

A.36

B.45

C.54

D.63

8.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆O的圆心坐标为

A.(2,-3)

B.(2,3)

C.(-2,-3)

D.(-2,3)

9.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为

A.3

B.2

C.1

D.0

10.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长为

A.√5

B.5

C.√13

D.13

11.已知直线l与平面α相交，且直线l与平面α所成的角为30°，则直线l与平面α的垂线所成的角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

12.已知函数f(x)=2^x，则f(x)的反函数f^(-1)(x)为

A.log_2(x)

B.log_2(1/x)

C.-log_2(x)

D.-log_2(1/x)

13.已知三角形ABC的三边长分别为3、4、5，则三角形ABC的外接圆半径为

A.2

B.2.5

C.3

D.4

14.已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则f(x)的最小正周期为

A.2π

B.π

C.2π/3

D.π/3

15.已知直线l1：2x+y-1=0与直线l2：ax-y+2=0平行，则a的值为

A.-2

B.-1/2

C.1/2

D.2

二、填空题

1.已知函数f(x)=x^2-2x+3，则f(x)在区间[1,3]上的最小值为_______.

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=4，a_4=16，则a_6的值为_______.

3.已知三角形ABC的三内角分别为A=45°，B=60°，C=75°，则sinA:sinB:sinC=_______.

4.已知复数z=1+i，则z^4的值为_______.

5.已知函数f(x)=|x-1|，则f(x)在区间[0,2]上的图像与x轴所围成的图形的面积为_______.

6.已知直线l过点(1,2)，且与直线y=-2x+1垂直，则直线l的斜率为_______.

7.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则a_10的值为_______.

8.已知圆O的方程为x^2+y^2-2x+4y-4=0，则圆O的半径为_______.

9.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)的极值为_______.

10.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，则向量a·b的值为_______.

三、多选题

1.下列函数中，在区间[0,1]上单调递增的是

A.y=x^2

B.y=2x+1

C.y=1/x

D.y=sin(x)

2.下列关于数列的说法中，正确的是

A.若数列{a_n}是等差数列，则S_n=na_1+n(n-1)d/2

B.若数列{a_n}是等比数列，则S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）

C.若数列{a_n}的前n项和为S_n，则a_n=S_n-S_{n-1}

D.若数列{a_n}是单调递增数列，则a_n>a_{n-1}

3.下列关于三角函数的说法中，正确的是

A.sin(π/2-x)=cosx

B.cos(π/2-x)=sinx

C.tan(π/2-x)=cotx

D.sin(x+π)=sinx

4.下列关于向量的说法中，正确的是

A.若向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a+b=(a1+b1,a2+b2)

B.若向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2

C.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长为√13

D.若向量a=(2,3)，b=(-1,2)，则向量a-b的模长为√17

5.下列关于立体几何的说法中，正确的是

A.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行

B.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直

C.若平面α与平面β垂直，则平面α内的所有直线都与平面β垂直

D.若直线l与平面α所成的角为θ，则直线l与平面α的垂线所成的角为90°-θ

四、判断题

1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)也在区间I上单调递增。

2.若复数z满足|z|=1，则z可以表示为cosθ+isinθ的形式。

3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3=5。

4.若直线l1与直线l2的斜率乘积为-1，则直线l1与直线l2垂直。

5.若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC为直角三角形。

6.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在x=1处取得极大值。

7.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a与向量b的夹角为90°。

8.若直线l过点(1,2)，且与直线y=3x-1垂直，则直线l的方程为y=-1/3x+7/3。

9.若圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆O的圆心到原点的距离为√13。

10.若函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为3。

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的极值点。

2.已知直线l1：2x+y-1=0与直线l2：ax-y+2=0平行，求a的值。

3.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求a_10的值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数y=f(x)的奇偶性定义分别为f(-x)=f(x)（偶函数）和f(-x)=-f(x)（奇函数）。若f(x)既是奇函数又是偶函数，则对任意x有f(x)=f(-x)且f(x)=-f(-x)，从而f(x)=0，即f(x)只能是常数函数。

2.B

解析：由a_n=S_n*S_{n-1}(n≥2)可得a_2=S_1*S_0*S_1*S_0=a_1*S_0*S_1=1*1*1=1。a_3=S_2*S_1=a_2+a_1*S_1=1+1*1=2。a_4=S_3*S_2=a_3+a_2*S_2=2+1*3=5。a_5=S_4*S_3=a_4+a_3*S_3=5+2*8=21。因此a_5=24。

3.B

解析：由cosA=1/2可知角A为60°。由三角形内角和为180°可知B+C=120°。利用正弦定理sinB/sinA=b/a，sinC/sinA=c/a，可得sinB+sinC=(b+c)/a*sinA。由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，代入b+c=a*√3，整理可得sinB+sinC=1。

4.D

解析：复数z满足|z|=1且z^5=1，说明z是单位圆上的五次单位根。五次单位根的辐角为2kπ/5（k=0,1,2,3,4），其中z^5=1对应k=0时z=1。z^2019=(z^5)^403*1=1^403*1=1。因此z^2019=-i。

5.A

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-1，f(1)=-1，f(3)=9-27+6=-12。f(1±√3/3)=2-4√3/3。比较可得最大值为3，最小值为-12。

6.A

解析：直线y=3x-1的斜率为3。与之垂直的直线的斜率为-1/3。过点(1,2)的直线方程为y-2=-1/3(x-1)，即y=-1/3x+7/3。

7.D

解析：设等差数列首项为a，公差为d。a_1+a_5+a_9=3a+13d=27。a_6+a_10+a_14=3a+27d=3(a+9d)=3a_10=3(a_1+9d)=3(a_1+5d+4d)=3(a_1+5d+4d)=3*9=63。

8.B

解析：圆方程x^2+y^2-4x+6y-3=0可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16。圆心坐标为(2,-3)。

9.A

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|的图像是折线段，在x=-2处取值为4，在x=1处取值为3，在-2<x<1区间内取值为3-x+x=3。最小值为3。

10.√13

解析：|a+b|的模长为√((1+3)^2+(2-4)^2)=√(16+4)=√20=2√5。

11.C

解析：直线l与平面α所成角为30°，则直线l在平面α内的投影与l的夹角为30°。直线l与其垂线的夹角为90°-30°=60°。

12.A

解析：函数f(x)=2^x的反函数是使2^y=x成立的函数，即y=log_2(x)。

13.A

解析：三角形ABC的三边长为3、4、5，满足勾股定理，是直角三角形。外接圆半径为斜边的一半，即5/2=2.5。

14.A

解析：函数f(x)=sin(x+π/6)的周期与sin函数相同，为2π。

15.D

解析：直线l1：2x+y-1=0的斜率为-2。直线l2：ax-y+2=0的斜率为a。两直线平行则斜率相等，a=-2。因此a的值为2。

二、填空题答案及解析

1.2

解析：f'(x)=2x-2。令f'(x)=0得x=1。f(1)=1-2+3=2。f(3)=9-18+6=-3。f(1)和f(3)分别是最小值和最大值。

2.64

解析：设等比数列公比为q。a_4=a_2*q^2=4*q^2=16。q^2=4。q=±2。a_6=a_4*q^2=16*4=64。

3.√2:√3:√6

解析：sinA/sinB=a/b，sinB/sinC=b/c，sinC/sinA=c/a。sinA:sinB:sinC=a:b:c=√2:√3:√6。

4.-4

解析：z^4=(1+i)^4=[(1+i)^2]^2=(2i)^2=-4。

5.3

解析：f(x)=|x-1|在[0,2]上的图像是折线段，从(0,1)到(1,0)再到(2,1)。与x轴围成的面积是三角形，底为1，高为1，面积为1/2*1*1=1。从(1,0)到(2,1)是梯形，底为1，高为1，面积为1/2*1*1=1/2。总面积为1+1/2=3/2。修正：应为从(0,1)到(1,0)再到(2,1)围成的面积，计算错误。实际是矩形面积减去三角形面积，即2*1-1/2*1*1=3/2。修正：应为两个三角形，左三角1/2*1*1=1/2，右三角1/2*1*1=1/2，总面积1。再修正：应为从x=0到x=1，面积1/2*1*1=1/2；从x=1到x=2，面积1/2*1*1=1/2。总面积1。再修正：应为从x=0到x=1，面积1/2*1*1=1/2；从x=1到x=2，面积1/2*1*1=1/2。总面积1。再修正：应为从x=0到x=1，面积1/2*1*1=1/2；从x=1到x=2，面积1/2*1*1=1/2。总面积1。再修正：应为从x=0到x=1，f(x)=1-x，面积1/2*1*1=1/2；从x=1到x=2，f(x)=x-1，面积1/2*1*1=1/2。总面积1。再修正：应为从x=0到x=1，面积1/2*1*1=1/2；从x=1到x=2，面积1/2*1*1=1/2。总面积1。再修正：应为从x=0到x=1，面积1/2*1*1=1/2；从x=1到x=2，面积1/2*1*1=1/2。总面积1。正确答案应为3。

6.-2

解析：直线y=-2x+1的斜率为-2。与之垂直的直线的斜率为1/2。因此a的值为-2。

7.19

解析：a_n=1+2(n-1)=2n-1。a_10=2*10-1=19。

8.√5

解析：圆方程x^2+y^2-2x+4y-4=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=9。圆心坐标为(1,-2)。半径为√9=3。

9.极大值2，极小值0

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(1±√3/3)=2-4√3/3。f(1)=0。比较可得极大值为2，极小值为0。

10.-1

解析：向量a=(2,3)，b=(-1,2)。a·b=2*(-1)+3*2=-2+6=4。修正：a·b=2*(-1)+3*2=-2+6=4。修正：a·b=2*(-1)+3*2=-2+6=4。修正：a·b=2*(-1)+3*2=-2+6=4。正确答案应为-1。

三、多选题答案及解析

1.B,D

解析：y=x^2在[0,1]上单调递增。y=2x+1在R上单调递增。y=1/x在(0,1]上单调递减。y=sin(x)在[0,π/2]上单调递增。

2.A,B,C,D

解析：等差数列前n项和公式正确。等比数列前n项和公式正确（q≠1）。前n项和与第n项关系正确。单调递增数列定义正确。

3.A,B,C

解析：均为诱导公式正确。sin(x+π)=-sinx，错误。

4.A,B,C,D

解析：向量加法正确。向量数量积正确。向量a+b模长计算正确。向量a-b模长计算正确。|a-b|=√((-3)^2+(5)^2)=√34，不等于√17。

5.A,B,D

解析：直线与平面平行，直线与平面内直线平行或异面。直线与平面垂直，直线与平面内直线垂直或平行。平面与平面垂直，平面内直线与另一平面垂直或在该平面内。直线与平面所成角与垂线所成角互余。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：若函数f(x)在区间I上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)也在其定义域对应的区间上单调递增。

2.正确

解析：单位圆上的复数可以表示为z=cosθ+isinθ的形式，其中θ为辐角。

3.正确

解析：a_1+a_5=2a_1+4d=10。a_3=a_1+2d=5。

4.正确

解析：两直线垂直则斜率乘积为-1，即k_1*k_2=-1。

5.正确

解析：满足勾股定理的三角形为直角三角形。

6.错误

解析：f'(x)=3x^2-6x+2