高中数学联赛二试图论基础专题卷

高中数学联赛二试图论基础专题卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三数学竞赛班

高中数学联赛二试图论基础专题卷

一、选择题

1.在图G中，如果每个顶点的度数至少为k，那么G中至少有多少条边？

A.k*n/2

B.k*n

C.(k*n+1)/2

D.k*n-1

2.如果一个图G有n个顶点和m条边，且G是连通的，那么m的最小值是多少？

A.n-1

B.n

C.n+1

D.2n-1

3.在图G中，如果存在一个顶点u，使得从u到其他所有顶点都有唯一的路径，那么u被称为G的什么？

A.极点

B.中心

C.轴心

D.根

4.如果一个图G是欧拉图，那么G中所有顶点的度数有什么性质？

A.都是偶数

B.都是奇数

C.一奇一偶

D.无关

5.在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的什么？

A.最小生成树

B.最小路径

C.最小环

D.最小割

6.如果一个图G是平面图，那么G可以画在平面上，且边之间只有公共顶点，没有公共边，那么G的顶点数、边数和面数之间有什么关系？

A.n-m+f=2

B.n+m-f=2

C.n*m-f=2

D.n/m-f=2

7.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的什么？

A.基础集

B.边集

C.点覆盖

D.独立集

8.如果一个图G是哈密顿图，那么G中是否存在一条经过所有顶点的简单回路？

A.存在

B.不存在

C.可能存在

D.无法确定

9.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点不在S中，那么S被称为G的什么？

A.基础集

B.边集

C.点独立集

D.点覆盖

10.如果一个图G是二分图，那么G的顶点集可以分成两个不相交的子集U和V，使得G中任何一条边的两个端点分别属于U和V，那么G有什么性质？

A.没有环

B.每个圈的长度都是偶数

C.每个点的度数都是偶数

D.没有奇数长度的圈

二、填空题

1.在图G中，如果G的每个连通分支都是一个树，那么G被称为什么？

2.如果一个图G有n个顶点和m条边，且G是连通的，那么G的最小生成树有什么性质？

3.在图G中，如果存在一个顶点u，使得从u到其他所有顶点都有唯一的路径，那么u被称为G的什么？

4.如果一个图G是欧拉图，那么G中所有顶点的度数有什么性质？

5.在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的什么？

6.如果一个图G是平面图，那么G的顶点数、边数和面数之间有什么关系？

7.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的什么？

8.如果一个图G是哈密顿图，那么G中是否存在一条经过所有顶点的简单回路？

9.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点不在S中，那么S被称为G的什么？

10.如果一个图G是二分图，那么G的顶点集可以分成两个不相交的子集U和V，使得G中任何一条边的两个端点分别属于U和V，那么G有什么性质？

三、多选题

1.在图G中，如果每个顶点的度数至少为k，那么G中至少有多少条边？

2.如果一个图G有n个顶点和m条边，且G是连通的，那么m的最小值是多少？

3.在图G中，如果存在一个顶点u，使得从u到其他所有顶点都有唯一的路径，那么u被称为G的什么？

4.如果一个图G是欧拉图，那么G中所有顶点的度数有什么性质？

5.在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的什么？

6.如果一个图G是平面图，那么G的顶点数、边数和面数之间有什么关系？

7.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的什么？

8.如果一个图G是哈密顿图，那么G中是否存在一条经过所有顶点的简单回路？

9.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点不在S中，那么S被称为G的什么？

10.如果一个图G是二分图，那么G的顶点集可以分成两个不相交的子集U和V，使得G中任何一条边的两个端点分别属于U和V，那么G有什么性质？

四、判断题

1.在图G中，如果一个连通图的每个连通分支都是一个树，那么G被称为森林。

2.如果一个图G有n个顶点和m条边，且G是连通的，那么G的最小生成树的边数总是n-1。

3.在图G中，如果存在一个顶点u，使得从u到其他所有顶点都有唯一的路径，那么u被称为G的中心。

4.如果一个图G是欧拉图，那么G中所有顶点的度数都是偶数。

5.在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的最小环。

6.如果一个图G是平面图，那么G的顶点数、边数和面数之间满足欧拉公式：n-m+f=2。

7.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的点覆盖。

8.如果一个图G是哈密顿图，那么G中一定存在一条经过所有顶点的简单回路。

9.在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点不在S中，那么S被称为G的点独立集。

10.如果一个图G是二分图，那么G的顶点集可以分成两个不相交的子集U和V，使得G中任何一条边的两个端点分别属于U和V，且G中没有奇数长度的圈。

五、问答题

1.请解释什么是树，并给出树的一些基本性质。

2.请描述如何找到一个连通图的最小生成树，并说明其应用场景。

3.请说明什么是欧拉图，并给出判断一个图是否为欧拉图的条件。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：根据图论中的基本知识，如果图G中每个顶点的度数至少为k，那么G中至少有k*n/2条边。这是因为每个顶点至少连接k条边，总度数至少为k*n，而每条边贡献2条度数，所以至少有k*n/2条边。

2.A

解析：一个连通图的最小边数是n-1，这是构成一棵树所需的最少边数。如果少于n-1条边，则图不可能是连通的。

3.B

解析：一个图G中的中心是指从该顶点到图中其他所有顶点的最短路径之和最小的顶点。这个顶点u被称为G的中心，因为它到其他所有顶点的路径都是唯一的且总和最小。

4.A

解析：根据欧拉图的定义，一个图G是欧拉图当且仅当它是连通的，并且所有顶点的度数都是偶数。这是欧拉回路存在的必要条件。

5.C

解析：在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的最小环。这是图论中最小权重的圈的定义。

6.A

解析：根据欧拉公式，对于一个平面图G，其顶点数n、边数m和面数f之间满足关系n-m+f=2。这是平面图的一个基本性质。

7.C

解析：在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的点覆盖。点覆盖是覆盖图中所有边的最小顶点集。

8.A

解析：如果一个图G是哈密顿图，那么G中存在一条经过所有顶点的简单回路。这是哈密顿图的定义，即图中存在一条经过所有顶点的回路。

9.C

解析：在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点不在S中，那么S被称为G的点独立集。点独立集是图中不包含相邻顶点的最大顶点集。

10.B

解析：如果一个图G是二分图，那么G的顶点集可以分成两个不相交的子集U和V，使得G中任何一条边的两个端点分别属于U和V，且G中没有奇数长度的圈。这是二分图的定义和性质。

二、填空题答案及解析

1.森林

解析：在图论中，如果一个连通图的每个连通分支都是一个树，那么这个图被称为森林。森林是树的推广，包含多个互不相连的树。

2.边数最小且连通

解析：一个连通图的最小生成树是边数最少且能保持图连通的树。最小生成树在图论中有着广泛的应用，如网络设计、最小成本路径等。

3.中心

解析：在图G中，如果存在一个顶点u，使得从u到其他所有顶点都有唯一的路径，那么u被称为G的中心。中心是图论中衡量图连通性的一个重要概念。

4.都是偶数

解析：如果一个图G是欧拉图，那么G中所有顶点的度数都是偶数。这是欧拉回路存在的必要条件，因为每个顶点在欧拉回路中都要进出一次。

5.最小环

解析：在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的最小环。最小环是图论中衡量图环路权重的一个重要概念。

6.n-m+f=2

解析：如果一个图G是平面图，那么G的顶点数n、边数m和面数f之间满足欧拉公式：n-m+f=2。这是平面图的一个基本性质，描述了顶点、边和面之间的关系。

7.点覆盖

解析：在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的点覆盖。点覆盖是覆盖图中所有边的最小顶点集。

8.存在

解析：如果一个图G是哈密顿图，那么G中存在一条经过所有顶点的简单回路。这是哈密顿图的定义，即图中存在一条经过所有顶点的回路。

9.点独立集

解析：在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点不在S中，那么S被称为G的点独立集。点独立集是图中不包含相邻顶点的最大顶点集。

10.没有奇数长度的圈

解析：如果一个图G是二分图，那么G的顶点集可以分成两个不相交的子集U和V，使得G中任何一条边的两个端点分别属于U和V，且G中没有奇数长度的圈。这是二分图的定义和性质。

三、多选题答案及解析

1.C

解析：在图G中，如果每个顶点的度数至少为k，那么G中至少有(k*n+1)/2条边。这是因为每个顶点至少连接k条边，总度数至少为k*n，而每条边贡献2条度数，所以至少有(k*n+1)/2条边。

2.A

解析：如果一个图G有n个顶点和m条边，且G是连通的，那么m的最小值是n-1。这是构成一棵树所需的最少边数，如果少于n-1条边，则图不可能是连通的。

3.B

解析：在图G中，如果存在一个顶点u，使得从u到其他所有顶点都有唯一的路径，那么u被称为G的中心。中心是图论中衡量图连通性的一个重要概念。

4.A

解析：如果一个图G是欧拉图，那么G中所有顶点的度数都是偶数。这是欧拉回路存在的必要条件，因为每个顶点在欧拉回路中都要进出一次。

5.C

解析：在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的最小环。最小环是图论中衡量图环路权重的一个重要概念。

6.A

解析：如果一个图G是平面图，那么G的顶点数n、边数m和面数f之间满足欧拉公式：n-m+f=2。这是平面图的一个基本性质，描述了顶点、边和面之间的关系。

7.C

解析：在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的点覆盖。点覆盖是覆盖图中所有边的最小顶点集。

8.A

解析：如果一个图G是哈密顿图，那么G中存在一条经过所有顶点的简单回路。这是哈密顿图的定义，即图中存在一条经过所有顶点的回路。

9.C

解析：在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点不在S中，那么S被称为G的点独立集。点独立集是图中不包含相邻顶点的最大顶点集。

10.B

解析：如果一个图G是二分图，那么G的顶点集可以分成两个不相交的子集U和V，使得G中任何一条边的两个端点分别属于U和V，且G中没有奇数长度的圈。这是二分图的定义和性质。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：在图论中，如果一个连通图的每个连通分支都是一个树，那么这个图被称为森林。森林是树的推广，包含多个互不相连的树。

2.正确

解析：一个连通图的最小生成树是边数最少且能保持图连通的树。最小生成树在图论中有着广泛的应用，如网络设计、最小成本路径等。

3.错误

解析：在图G中，如果存在一个顶点u，使得从u到其他所有顶点都有唯一的路径，那么u被称为G的根。中心是图论中衡量图连通性的一个重要概念，与根不同。

4.正确

解析：根据欧拉图的定义，一个图G是欧拉图当且仅当它是连通的，并且所有顶点的度数都是偶数。这是欧拉回路存在的必要条件。

5.错误

解析：在图G中，如果存在一个圈，使得圈上所有边的权重之和最小，那么这个圈被称为G的最小环。最小环是图论中衡量图环路权重的一个重要概念。

6.正确

解析：根据欧拉公式，对于一个平面图G，其顶点数n、边数m和面数f之间满足关系n-m+f=2。这是平面图的一个基本性质，描述了顶点、边和面之间的关系。

7.正确

解析：在图G中，如果存在一个顶点集S，使得G中任何两个顶点之间都有至少一个顶点在S中，那么S被称为G的点覆盖。点覆盖是覆盖图中所有边的最小顶点集。

8.正确

解析：如果一个图G是哈密顿图，那么G中存在一条经过所有顶点的简单回路。这是哈密顿图的定义，即图中存在一条经过所有顶点的回路。