北师大版初中数学七年级下册求线段长与面积专题教案

北师大版初中数学七年级下册求线段长与面积专题教案

一、单元整体设计与教学理念

本专题隶属于北师大版初中数学七年级下册“三角形”与“变量之间的关系”之后的综合性应用提升模块。本设计以《义务教育数学课程标准》为纲领，深入贯彻“以学生发展为本”的核心思想，旨在超越传统解题训练的窠臼，构建一个融知识溯源、思想渗透、能力进阶与素养培育于一体的深度教学体系。设计核心理念聚焦于以下三个维度：

其一，结构化认知。将散见于教材各章节中与线段长度和图形面积相关的知识点、方法与思想进行系统化梳理与整合，打破章节壁垒，引导学生构建关于“几何度量”的整体性认知网络。强调从孤立工具的使用转向策略性知识体系的建立。

其二，思维可视化与过程化。注重将分析、探究、推理的思维过程外显化，通过问题链设计、图形演化和说理表达，使学生亲历“如何思考”与“为何这样思考”的完整过程，培养其逻辑推理、直观想象与数学建模的核心素养。

其三，情境迁移与创新应用。创设从真实生活到数学内部，从经典模型到开放探究的多元情境，强调在复杂、陌生的背景中识别模型、选择策略、灵活应用的能力，实现从“解题”到“解决问题”的跨越。

二、教学前端分析与准备

教材内容深度关联分析

在北师大版七年级下册教材中，求线段长与面积的直接工具主要分布于“相交线与平行线”、“三角形”及“生活中的轴对称”等几何章节，并与“变量之间的关系”存在隐性联系。具体关联点包括：

1.线段长度的基础：线段中点、角平分线性质；平行线间的距离；轴对称中的最短路径问题。

2.三角形核心体系：三角形的三边关系；三角形的高、中线、角平分线；全等三角形的判定与性质（作为求线段长与面积的终极推理工具）；等腰三角形、等边三角形的特殊性质。

3.面积计算基础：直接运用公式计算三角形、矩形面积；通过割补法求解不规则图形面积的思想萌芽。

教材的编排呈现出工具分散化、应用局部化的特点。本专题教学的关键在于，引导学生主动建立上述知识点的内在联系，形成解决度量问题的“工具箱”和“策略库”。

学情精准诊断

七年级下学期的学生正处于从直观几何向推理几何过渡的关键期。其认知特点与潜在障碍表现为：

已有基础：熟练掌握三角形、特殊四边形面积公式；能利用刻度尺、量角器进行简单度量；理解全等三角形的概念及基本判定方法；具备初步的观察、猜想和直观说理能力。

思维瓶颈：1.策略意识薄弱，面对复杂图形时，难以洞察线段与面积之间的潜在联系，不善于主动添加辅助线构造基本模型。2.工具运用僵化，常局限于对显性条件的直接套用，对于如“等面积法”、“勾股定理（虽未正式学习，但可通过面积拼接渗透思想）”等间接转化的思想方法感到陌生。3.逻辑链条不完整，推理表达跳跃，缺乏严谨性。

发展需求：亟需在系统化的专题训练中，经历策略选择、方法对比、优化反思的思维过程，提升几何直观、推理能力和模型观念。

教学目标设定

基于核心素养导向，设定如下三维教学目标：

知识与技能：

1.系统归纳求线段长的常用方法：直接测量法、等量代换法（利用全等或等腰三角形）、等面积法、勾股定理预备思想（图形拼接感知），并能在具体情境中选择应用。

2.系统归纳求图形面积的常用方法：直接公式法、割补法（分割求和、补形求差）、等积变换法（等底等高转化）、比例关系法，并能在具体情境中选择应用。

3.深刻理解线段长度与图形面积之间的相互转化关系，掌握利用面积作为“中间桥”求高（线段长），以及利用线段关系求面积的基本策略。

过程与方法：

1.通过探究典型问题串，经历“观察图形→分析条件→联想模型→构造辅助→求解验证→归纳方法”的完整解题思维过程。

2.在解决综合性问题的过程中，体验“一题多解”的策略发散与“多题一解”的模型归纳，发展分析、比较、概括、迁移的思维能力。

3.学会用规范的几何语言进行说理和表达，提升数学交流能力。

情感态度与价值观：

1.在克服复杂问题的挑战中，培养不畏艰难的探究精神和严谨求实的科学态度。

2.欣赏几何图形结构的和谐与解法的巧妙，体会数学的理性美与简洁美。

3.通过小组合作与交流，增强团队协作意识，养成乐于分享、敢于质疑的良好学习习惯。

教学重难点研判

教学重点：

1.求线段长与面积的核心方法体系构建，特别是等面积法、割补法、全等转化法的原理与应用。

2.在复杂图形中识别或构造基本模型（如“共高三角形”、“蝴蝶模型”雏形、对称全等形）的能力。

3.将综合问题分解为若干基本问题的化归思想。

教学难点：

1.等面积法的灵活运用：理解同一图形面积的不同表达方式可以建立关于线段长的方程，并自主选择恰当的底和高进行构造。

2.辅助线的合理添加：根据问题目标与已知条件，创造性地添加辅助线，将未知量转化为已知量，或构造出可用已知方法解决的图形结构。

3.多知识点、多方法的综合与择优：在综合性问题中，统筹运用几何性质与代数方程，并在多种可行路径中评估和选择最优解法。

教学资源与技术准备

1.教具与学具：几何画板动态课件（预设图形变换、度量计算、动画演示功能）；磁性几何图形卡片（用于拼图探究）；学生用方格纸、三角板、直尺、圆规。

2.学习材料：自主编制的《探究学习任务单》，内含递进式问题组、方法归纳框架图、反思记录区。

3.技术环境：支持无线投屏的多媒体教室，便于即时展示学生作品与思维过程。

三、教学实施过程详案

第一课时：线段长度求解的通法与特法

环节一：情境启思，溯源引问

教师活动：利用几何画板呈现一个实际问题情境。“如图，为测量校园内一棵古树的高度AB，小明在距树底B点8米的C处放置一面平面镜，当他退后到距镜子2米的E处时，恰好能从镜中看到树顶A。已知小明眼睛到地面的高度DE为1.6米。我们能求出树高AB吗？”

学生活动：观察情境，识别出涉及的基本几何图形（直角三角形、相似关系），并尝试用已有知识（光的反射定律蕴含角相等，可导向三角形相似）进行分析。初步感知求不可直接测量的线段长度需要借助“转化”与“间接计算”。

设计意图：以跨学科的测量问题开篇，激发兴趣，揭示“求线段长”的现实意义，并自然引出“转化”这一核心数学思想，为后续方法学习做好心理与认知铺垫。

核心素养落点：数学建模、应用意识。

环节二：基础回溯，方法初构

教师活动：引导学生回顾七年级上册及本册已学过的与线段长度直接相关的公理、定理与性质。通过提问引导：“我们有哪些确定线段长度的‘硬工具’？”

学生活动：在教师引导下，分类回忆并口述：

1.直接度量类：线段中点（AM=MB）；角平分线上的点到角两边距离相等；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。

2.等量转移类：全等三角形的对应边相等；等腰三角形的两腰相等；轴对称图形中的对应线段相等。

3.位置确定类：平行线间的距离处处相等。

教师板书，形成“工具清单”。

设计意图：唤醒和激活学生的原有知识储备，使其结构化、清晰化，为后续综合运用奠定基础。强调“工具”意识。

核心素养落点：数学抽象、逻辑推理。

环节三：典例探究，策略生成

探究活动一：利用“全等”实现“转移”

呈现问题1：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F。若AE：ED=1：2，AF=3，求FC的长度。

学生活动：独立思考，尝试解答。普遍会遇到思维障碍：无法直接建立AF与FC的联系。

教师点拨：1.目标线段FC位于哪两个三角形中？2.已知比例AE：ED和中线AD，你能联想到什么常见的辅助线？（过点D作DG∥BF交AC于点G）。3.构造后，图中出现了哪些全等三角形或相似关系？

引导学生完成辅助线添加，证明△AEF∽△ADG，进而利用中点性质证明DG是△BCF的中位线，最终求得FC=6。

师生共同归纳方法一：全等/相似转移法。关键是通过添加平行线等辅助线，构造全等三角形或A字型、X字型相似基本图，将未知线段转移到已知条件所在或易于求解的图形链中。

核心素养落点：几何直观、逻辑推理、模型思想。

探究活动二：巧用“面积”架设“桥梁”

呈现问题2：如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD是BC边上的高。点P是AD上任意一点，求PB+PC的最小值。

学生活动：受轴对称知识影响，可能想到找C点关于AD的对称点C‘（即B点），但PB+PC=PB+PB=2PB，转而需求PB最小值，即点P到B的最短距离为垂直距离，陷入循环。

教师动态演示（几何画板）：在AD上拖动点P，实时显示PB+PC的长度变化。引导学生观察：△ABC的面积是否变化？如何用不同方式表达△BPC的面积？

学生发现：S△BPC=S△ABC−S△APB−S△APC。同时，S△BPC=(1/2)×BC×PE（若过P作PE⊥BC），但PE未知。

教师追问：PB和PC能否与高AD发生联系？能否用PB、PC和某个定角来表示△APB和△APC的面积？

引导学生得出：S△APB=(1/2)×AB×PD，S△APC=(1/2)×AC×PD。因为AB=AC，故S△APB+S△APC=(1/2)×AB×(PD+PD)？此处存疑，需修正。实际上，△APB和△APC有公共边AP吗？没有。需引导学生以AD为底边来思考。

修正思路：连接AP。则S△APB+S△APC=S△APB+S△APC=(1/2)×AB×d1+(1/2)×AC×d2（d1,d2分别是P到AB,AC的距离），此路不通。回到初始面积关系：S△BPC=S△ABC−(S△APB+S△APC)。而S△APB+S△APC=S△ABC−S△BPC，这没有进展。

教师直接引导核心方法：考虑△ABC被AD分成的两个直角三角形Rt△ADB和Rt△ADC。PB和PC分别是这两个直角三角形的斜边。能否用面积表示AD？由S△ABC=(1/2)×BC×AD，可求出AD=8。但对于求PB+PC最小值，经典解法是利用轴对称（B、C关于AD对称），PB+PC=PB+PB'（B'为C对称点），当P位于BB'与AD交点时最短，即BB'长度，利用勾股定理可求。本环节重点在于引出“等面积法”思想。

调整问题为更直接的等面积法例题：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，CD是AB边上的高。求CD的长。

学生活动：利用面积相等：S△ABC=(1/2)AC×BC=(1/2)AB×CD。先由勾股定理求AB=10，再代入得CD=4.8。

师生共同归纳方法二：等面积法。当同一图形的面积可以用两种不同的方式表示时（尤其涉及目标线段作为高或底时），便能建立一个关于该线段的方程。此法常用于求直角三角形斜边上的高、三角形内一点到各边距离之和等问题。

核心素养落点：数学运算、方程思想、转化思想。

探究活动三：感悟“勾股”思想（预备）

呈现问题3：在如图所示的方格纸中（每个小正方形边长为1），求线段AB的长度。

学生活动：尝试用刻度尺测量，但不够精确。教师引导：AB是斜放的线段，能否将其转化为直角三角形的边？引导学生过A、B两点分别作水平线和竖直线，交于点C，构造出Rt△ABC。通过数格子得到AC=4，BC=3，则AB的长度可由AC²+BC²=AB²的关系感知，为后续学习勾股定理埋下伏笔。

师生共同归纳方法三：构造直角三角形法（勾股思想预备）。在坐标网格或可通过作垂线构造直角的环境下，将斜线段转化为直角三角形的斜边，利用两直角边的平方和等于斜边的平方（可通过面积拼图实验验证）来求解。这是一种重要的转化思想。

核心素养落点：几何直观、推理能力、创新意识。

环节四：方法整合，初步应用

课堂练习：设计一组阶梯性练习题。

1.（巩固基础）如图，△ABC≌△DEF，AB=5，BC=7，∠B=50°，求DE和EF的长度。

2.（灵活转移）如图，在长方形ABCD中，E是AD中点，F是CE中点。若长方形面积为48，则△BDF的面积是多少？（此题将面积问题与中点链结合，需多次进行等底等高面积转化，为下节课铺垫，同时涉及求相关线段比）。

3.（等面积应用）如图，点P是等边△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥CA于F。若PD=2，PE=3，PF=4，求等边△ABC的边长。（提示：连接PA,PB,PC，利用三个小三角形面积之和等于大三角形面积建立方程）。

学生活动：独立或小组合作完成练习，并派代表讲解思路。教师巡视，关注不同层次学生的掌握情况，针对共性问题进行精讲点拨。

设计意图：通过即时应用，促进学生对三种核心方法的理解与内化，形成初步的策略选择能力。

核心素养落点：数学运算、逻辑推理、应用意识。

环节五：课堂小结与反思

引导学生以思维导图的形式，自主梳理本课时学习的求线段长的三大策略（全等/相似转移、等面积法、构造直角三角形），并总结每种策略适用的典型图形特征和条件标志。例如，“等面积法”常出现在有垂直条件或可求面积的三角形中；“全等转移”常需借助中点、平行线、角平分线等构造辅助线。

布置课后思考题：一个三角形三条中线的长度分别为6、8、10，求这个三角形的面积。（此题极具挑战性，综合了中线、面积、方程等知识，供学有余力者探究）。

第二课时：图形面积求解的转化艺术

环节一：温故知新，承上启下

教师活动：简短回顾上节课求线段长的核心方法，特别是等面积法。提出新问题：“等面积法是通过面积求线段长。反过来，如果我们要求一个图形的面积，当无法直接套用公式时，又该如何转化？”

呈现引例：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求四边形ABCD的面积。

学生活动：观察图形，发现这是一个不规则四边形，无法直接求面积。自然想到“转化”思想——将其转化为可求面积的规则图形。

设计意图：建立两节课之间的逻辑联系，明确本课主题“面积的转化”，强化化归思想。

核心素养落点：转化思想、几何直观。

环节二：方法体系构建与探究

探究活动一：分割与拼补——化整为零与化零为整

学生活动：针对上述引例，尝试在练习纸上画图，寻找分割或补形的方法。可能出现以下思路：

思路1（分割法）：连接AC，将四边形分割为Rt△ABC和Rt△ADC。在Rt△ABC中，已知AB=4，∠A=60°，可求BC和AC。在Rt△ADC中，已知CD=2，但AC边上的高未知？计算受阻。

思路2（补形法）：延长AD、BC交于点E。由∠A=60°，∠B=90°，可得∠E=30°。在Rt△ABE中，可求BE、AE；在Rt△CDE中，已知CD=2，∠E=30°，可求CE、DE。则S四边形ABCD=S△ABE−S△CDE。

教师组织学生比较两种思路，重点分析思路2的可行性及计算过程。让学生上台展示计算步骤。

师生共同归纳方法一：割补法。包括分割求和（将复杂图形分割成若干个可直接计算面积的简单图形）与补形求差（将复杂图形补成一个更大的规则图形，再减去多余部分）。关键在于根据图形特征和已知条件，选择使计算简便的分割线或补形方案。

核心素养落点：几何直观、数学运算、创新意识。

探究活动二：等积变换——巧移妙转，变中寻不变

呈现问题2：如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上任意一点。求证：S△ABE+S△DEC=S△AED。

学生活动：观察图形，发现△ABE、△DEC和△AED的高都与平行四边形的高有关，但底边关系复杂。尝试连接BD。

教师引导：连接BD后，观察S△ABE与S△BDE有什么关系？S△DEC与S△BDE又有什么关系？（注意△ABE与△BDE同底BE？不对，需引导更通用的方法）。

更通用的引导：过点E作EF∥AB交AD于F（或作EG⊥AD于G）。利用平行线间的距离处处相等，证明△ABE与△AEF等底等高，从而面积相等。同理，△DEC可转化为等面积的三角形。最终将两个小三角形面积和转化为大三角形AED面积的一部分。

动态演示（几何画板）：拖动点E在BC上移动，实时显示三个三角形的面积，但其和（S△ABE+S△DEC）始终保持不变，等于平行四边形面积的一半，也等于S△AED。直观验证结论。

师生共同归纳方法二：等积变换法。核心原理是“等底等高的三角形面积相等”。通过作平行线、利用中点或等比线段，将图形进行等积变形，从而将分散的、不规则的面积集中到一个易于计算的图形上。这是面积问题中最高级、最灵活的转化策略之一。

核心素养落点：逻辑推理、几何直观、模型思想。

探究活动三：比例关系——从特殊到一般的桥梁

呈现问题3：如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上一点，且BE：EC=2：1。连接AE、CD，相交于点O。求S△AOE：S四边形BDOE的值。

学生活动：此题涉及面积比，无法直接求出具体面积。需要寻找面积之间的比例关系。

教师引导：

1.从整体入手。S△ABC被分成了哪些部分？(S△AOE,S四边形BDOE,S△COE,S△AOD,S△COD…）过于复杂。

2.从关键点D、E入手。D是中点，你能得到哪些面积相等关系？（S△ADC=S△BDC，S△AOD=S△BOD？不一定，因为O不是中点）。

3.利用“等高三角形面积比等于底边比”这一核心工具。

1.连接DE。在△ABE中，D是AB中点，所以S△BDE=S△ADE。

2.在△BEC中，BE：EC=2：1，所以S△BDE：S△CDE=BE：EC=2：1（因为它们从D点看，高相同）。

3.设S△CDE=x，则S△BDE=2x，所以S△ADE=2x。

4.在△ADC中，S△AOD：S△COD=?需要知道AO：OC的比例。这可以通过梅涅劳斯定理或作平行线求得。较为复杂，适合作为选讲或探究。

调整为一个更直接的比例问题：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD：DB=1：2，AE：EC=2：3。求S△ADE：S△ABC。

引导学生利用“等高模型”逐步推导：S△ADE：S△ABE=AD：AB=1：3；S△ABE：S△ABC=AE：AC=2：5。故S△ADE：S△ABC=(1/3)×(2/5)=2/15。

师生共同归纳方法三：比例关系法。当图形中存在线段比例（如中点、分点）时，利用“等高（或同高）三角形面积之比等于对应底边之比”这一性质，进行链式比例推理，从而求出所求面积与已知面积的比值。常用于求图形面积之比或部分占整体的份额。

核心素养落点：逻辑推理、比例思想、代数运算。

环节三：综合突破，融会贯通

呈现综合性例题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O。已知AD=3，BC=6，S△AOD=2。求梯形ABCD的面积。

学生活动：小组合作探究。分析：梯形面积需求高，但高未知。已知S△AOD=2，需建立其与整体面积的联系。

教师引导点拨：

1.由AD∥BC，可得△AOD∽△COB。相似比是多少？（AD：BC=3：6=1：2）。

2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。所以S△AOD：S△COB=1²：2²=1：4。已知S△AOD=2，故S△COB=8。

3.△AOB与△AOD、△COD与△AOD有什么关系？它们等高吗？（△AOB与△AOD从A点看，底边OB与OD在一条直线BD上，但高不同）。

4.更有效的策略：利用“蝴蝶模型”结论（可由等积变换推导）：在梯形中，S△AOD=S△BOC（不一定相等，实际上是由AD∥BC推导△ABD与△ACD等底等高，从而S△ABD=S△ACD，同时减去S△AOD，得S△AOB=S△DOC）。但S△AOD与S△BOC是相似的，面积比已知。

5.设S△AOB=S△COD=x。由等高模型，在△ABD中，S△AOD：S△AOB=OD：OB。在△ABC中，S△COB：S△AOB=OC：OA=?由△AOD∽△COB，得OD：OB=OA：OC=AD：BC=1：2。

1.所以，在△ABD中，S△AOD：S△AOB=OD：OB=1：2，即2：x=1：2，解得x=4。

2.在△ABC中，S△COB：S△AOB=OC：OA=2：1，即8：4=2：1，验证一致。

1.梯形面积=S△AOD+S△AOB+S△COB+S△COD=2+4+8+4=18。

教师引导学生比较不同思路，优化解法。总结此类“梯形对角线模型”中的面积关系规律。

设计意图：本题综合运用了相似、等高模型、等积变换、方程思想，是检验学生方法融合与问题分解能力的绝佳范例。通过小组探究与教师精讲，提升解决复杂几何问题的信心与能力。

核心素养落点：逻辑推理、数学运算、模型思想、综合应用。

环节四：变式训练，能力分层

课堂练习：

1.（基础巩固）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、BF交于点G。求四边形CEGF的面积。（割补法或比例法）

2.（能力提升）如图，在△ABC中，D、E、F分别是三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于一点O。若BD：DC=2：1，CE：EA=1：3，求S△AOF：S△BOD的值。（塞瓦定理与等高模型的综合，极具挑战性，供选做）。

学生活动：分层完成。教师巡视，对基础题确保人人过关，对提升题进行思路点拨，鼓励学生合作攻克。

设计意图：通过分层练习，满足不同学生的学习需求，让每个学生都能在最近发展区内获得提升。

核心素养落点：数学运算、逻辑推理、创新思维。

环节五：总结升华，构建网络

引导学生绘制“图形面积求解方法”的思维导图，将割补法、等积变换法、比例关系法作为三大主干，并细化每种方法下的常见子类型、典型图形特征和关键辅助线作法。强调所有方法的本质都是“转化”，即将未知转化为已知，将复杂转化为简单。

布置实践性作业：请学生寻找生活中的一个不规则平面区域（如校园一角、一片树叶的轮廓等），设计至少两种不同的方案估算其面积，并写出简要的估算报告，说明所用到的数学方法。

第三课时：线段与面积的综合应用与模型建构

环节一：模型辨识，快速启动

教师活动：开展“火眼金睛”快速反应活动。利用PPT快速闪现一系列几何图形（如“共边三角形”、“梯形中的蝴蝶形”、“直角三角形的内接正方形”、“等宽曲线下的面积”等简化图），要求学生迅速说出图形中存在的潜在面积相等关系或线段比例关系，并简要说明依据。

学生活动：抢答或集体回答。例如，看到“平行线夹两个三角形”，立刻反应“同底等高面积相等”或“面积比等于底边比”。

设计意图：通过高强度的模式识别训练，提升学生对基本几何模型的敏感度和快速反应能力，为综合解题提速。

核心素养落点：几何直观、模型思想。

环节二：经典模型深度剖析

模型一：“共高三角形”与面积方程

呈现问题：如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点。已知S△ABE=3，S△ACE=2，S△BDE=1。求S△CDE。

教师引导：观察图形，有哪些三角形共享同一条高？

1.△ABE与△DBE，从B点看向AE和DE，高相同，面积比等于AE：ED。即3：1=AE：ED。

2.△ACE与△DCE，从C点看向AE和DE，高相同，面积比等于AE：ED。即2：S△CDE=AE：ED=3：1。

3.立即可得S△CDE=2/3。

师生总结：“共高三角形”是建立面积与线段比例方程的最基本、最常用的模型。关键在于准确识别以哪条边为公共底，从哪个顶点作高。

模型二：“等宽图形”与面积守恒

探究活动：如图，直线l平行于平行四边形ABCD的边AB。求证：直线l将平行四边形分成的左右两部分图形面积相等。

学生活动：尝试证明。发现被分成的两个图形（一个可能是梯形，一个是五边形或梯形）形状不同，但面积相等。

教师引导：是否可以构造一对全等三角形？或者利用“等底等高”？

更巧妙的方法：过l与AD、BC的交点作AB的平行线。可以证明夹在两条平行线（AB和l）之间的部分，无论形状如何，只要“宽度”（平行线间的距离）相等，其面积就相等。这本质上是祖暅原理的雏形。

引申应用：求不规则图形面积时，有时可以通过“平移”、“旋转”部分图形，将其转化为等面积的规则图形，而不改变其“宽度”特性。

模型三：“弦图”与面积关系（勾股定理无字证明）

活动：给学生四个全等的直角三角形纸板（两直角边为a,b，斜边为c）和一个边长为（a+b）的正方形底板。小组合作，尝试用这4个直角三角形纸板不重叠地铺在正方形底板上，构造出不同的图形，并比较中间空白区域的形状和面积。

学生活动：动手拼接。通常能拼出两种经典弦图：一种中间空白是边长为c的正方形，另一种中间空白是边长为（b-a）的正方形（设b>a）。根据大正方形面积相等，得到关系式：c²+2ab=(a+b)²和(b-a)²+2ab=(a+b)²，均能化简得出a²+b²=c²。

师生总结：通过图形面积的割补与恒等关系，可以直观证明代数恒等式，这是数形结合的典范。此模型也常用于求以直角三角形斜边为边的正方形面积等问题。

环节三：跨学科与生活实际应用

项目式任务发布：“设计校园微花园”。

任务背景：学校有一块直角梯形空地（提供具体尺寸图），计划将其改造为一个小花园。花园内需包含一个矩形花卉种植区、一条贯穿的蜿蜒小径（可用曲线近似为折线）和一个三角形休憩区。

任务要求：

1.根据提供的比例尺图纸，计算空地总面积。

2.小组设计规划方案，在图纸上标出各区域位置与形状，并确保花卉种植区的面积是休憩区面积的2倍。

3.计算小径（近似为折线）的长度，以及铺设小径所需地砖的数量（假设每块地砖为正方形，给出边长）。

4.撰写简要设计说明，阐述设计理念和所用到的数学知识。

学生活动：小组合作，完成测量、计算、设计、绘图与报告撰写。教师提供咨询与指导。

设计意图：创设真实、复杂、开放的问题情境，将求线段长、求面积的知识与技能融入一个完整的项目实践中。学生需要综合运用测量、比例、计算、估算、规划等多种能力，并体验数学在规划设计中的实际价值。

核心素养落点：数学建模、应用意识、创新意识、合作交流。

环节四：单元总结与评价

1.知识方法体系重构：师生共同完成一幅大型的单元知识网络图，以“几何度量（线段长、面积）”为中心，向外辐射“方法策略”、“核心工具”、“思想理念”、“典