小学数学五年级下册《环形行程问题》奥数专题教学设计

小学数学五年级下册《环形行程问题》奥数专题教学设计

一、教学基本信息

（一）学科与学段：小学数学，五年级下册。

（二）教材版本：人民教育出版社五年级下册数学教材，奥数拓展模块，整合《小学奥数系统总复习》《高思学校竞赛数学导引》等优质资源。

（三）课题定名：环形行程问题——相对运动、周期规律与模型迁移。

（四）课型属性：奥数专题深度讲练课，以问题链为驱动，凸显思维可视化与模型建构。

（五）课时规划：2课时连排，共计90分钟。第1课时直击“同地出发”基本模型与核心公式；第2课时攻坚“不同地出发”及多对象、多圈数复杂情境。

（六）设计哲学：严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》“三会”总目标，以真实问题为载体，以几何直观为支点，以代数推理为进阶，实现从“题型模仿”向“素养内化”的跃迁。【核心理念：模型意识、几何直观、推理意识、应用创新】

二、教学内容深度解构

（一）知识谱系锚点

1.前驱知识：速度×时间＝路程；直线相遇路程和＝速度和×相遇时间；直线追及路程差＝速度差×追及时间；长方形、正方形周长；因数倍数初步。

2.核心新知：封闭环形中，反向运动首次相遇路程和＝环形周长一圈；同向运动首次追及路程差＝环形周长一圈；多次相遇、追及时，路程和/差＝n圈周长（n为自然数）。

3.后续延展：初中物理匀速圆周运动相对速度；高中周期函数与振动；数论中的余数问题与环形相遇周期。【非常重要】【高频考点】

（二）本专题核心要素全罗列【应列尽罗】

[1]环形路线的本质：起点与终点重合的封闭曲线。

[2]运动方向分类：反向（相向）、同向。

[3]出发地点分类：同地出发、不同地出发（含相距特定距离）。

[4]基本等量关系：反向→路程和＝圈数×周长；同向→路程差＝圈数×周长。

[5]相遇条件：两物体位于环形同一点（不考虑交错瞬间）。

[6]追及条件：快者比慢者多走整数圈。

[7]时间周期性：每次相遇/追及的时间间隔固定（速度和/差不变时）。

[8]比例法应用：速度比固定，路程比等于速度比，结合圈数整除关系。

[9]方程建模：设未知圈数n，列方程求解。

[10]画图策略：圆弧展开法、线段截取法、动态示意图。【难点】【易错点】

[11]变速与间歇：分段处理，引入平均速度。

[12]多人环形：转化为多组两两相对运动。

[13]环形上的“中点”或“对称点”问题：需借助位置分数。

[14]发车间隔与环形公交：视作动态起点问题。

三、学情立体画像

五年级学生已熟练掌握基本行程三量关系，能够解决直线型相遇追及，并具备初步的方程思想。然而，面对环形结构，常见迷思如下：

（一）空间想象断层：将环形等同于直线，忽略“同一位置”的周期性。

（二）圈数意识缺失：认为第一次追及后运动停止，不理解多次追及的条件。

（三）方向混乱：反向与同向公式混淆，尤其是不同地出发时初始距离处理错误。

（四）符号恐惧：对引入字母n表示圈数感到抽象，抵触代数建模。【重要】

基于上述学情，本设计以“手势模拟＋动画拆分＋表格结构化”三维支架突破难点，将抽象周期具体化为可数的“整圈数”。

四、教学目标分层预设

（一）知识与技能

1.准确复述环形行程问题中反向相遇、同向追及的核心数量关系。

2.能针对同地、不同地出发两类情境，正确列出路程和/差与圈数的方程。

3.会借助线段图或环形展开图分析复杂环形问题，独立求解多圈数、多对象问题。

（二）过程与方法

4.通过操作学具、动态演示，经历从具体环形运动抽象出“整圈数模型”的全过程。

5.运用列表法整理速度、时间、路程、圈数，发展结构化思维。【高频考点】

6.在变式训练中体会类比、转化、数形结合的思想价值。

（三）情感态度价值观

7.感受数学内部逻辑的和谐统一（直线与环形的统一公式）。

8.在挑战性任务中获得高峰体验，增强攻克复杂问题的意志品质。

9.通过环形问题的跨学科链接（体育跑道、天体运行），体会数学的广泛应用。

五、教学重难点精准定位

（一）教学重点【非常重要】

1.建立“反向相遇路程和＝圈数×周长”“同向追及路程差＝圈数×周长”的普适模型。

2.运用方程或比例解决环形一周及多周的实际问题。

（二）教学难点【难点】

3.不同地出发时，初始距离在路程和/差中的正确处理（是加还是减，是否包含在首圈内）。

4.多次相遇/追及中圈数n的整数性约束，以及与时间、速度的联立推理。

六、教学方法与媒介矩阵

（一）教法：问题链导学法、变式对比法、建模教学法。

（二）学法：动手模拟法、表格归纳法、合作辩证式讨论。

（三）技术媒介：GeoGebra动态环形轨迹演示、交互式白板、环形磁贴学具、学习单（含预学单、共学单、续学单）。

（四）跨学科渗透：体育（400米标准跑道起跑线差）、地理（时区与经度环形）、物理（卫星轨道周期）。【热点】

七、教学准备清单

（一）教师：环形跑道动态课件（分速度可调、轨迹可追踪）、磁性黑板贴圆形跑道模型、红蓝两色动物磁贴、预学作业批改分析报告。

（二）学生：圆形纸片（直径15cm）、双色水彩笔、直尺、预学单（包含直线相遇追及回顾题及环形试水题）。

八、教学实施过程（核心篇幅）

（一）第1课时：同地出发——奠基模型，解锁周期

1.唤醒经验，制造认知冲突（8分钟）

【环节1】呈现标准400米环形跑道航拍图，提问：张华和李明从同一地点出发，张华速度5米/秒，李明速度3米/秒。反向跑，多久第一次碰面？同向跑，多久第一次追上？

学生脱口而出直线公式，教师微笑不语，邀请两名学生上讲台用磁贴演示。当反向跑磁贴在圆上碰面时，学生发现：路程和正好是跑道一圈400米，时间＝400÷（5+3）＝50秒。同向追及时，路程差＝400米，时间＝400÷（5-3）＝200秒。

教师立即板书两个核心公式：

同地反向相遇：S和＝1圈→T＝C÷（V₁+V₂）

同地同向追及：S差＝1圈→T＝C÷（V₁－V₂）【非常重要】【高频考点】

此时故意追问：为什么不是2圈、3圈？学生顿悟——第一次相遇/追及恰好只多走一圈。教师顺势定义“整圈数n”，初步渗透n＝1的特例。

2.深度建模，构建周期通式（15分钟）

【环节2】变式：如果两人继续按原方向跑，第二次相遇在何处？第三次呢？

小组利用圆形纸片，红蓝笔分别描画轨迹，每相遇一次做一个记号。汇报发现：反向每合走一圈碰一次，时间间隔固定50秒；同向每多跑一圈追上一次，时间间隔固定200秒。【重要】

教师投影GeoGebra动态轨迹，圈数逐次累加，学生脱口而出：反向相遇n次，路程和＝n×C；同向追及n次，路程差＝n×C。

板书升华：

环形同地出发

反向：S₁＋S₂＝n×C（n＝相遇次数）

同向：S₁－S₂＝n×C（n＝追及次数）

【核心结论】【必记】

3.三层进阶，即时反馈（12分钟）

【任务A】基础应用（独立完成，全班核对）

甲乙在周长为300米的环形跑道同地出发，甲速6m/s，乙速4m/s。反向跑，第3次相遇需多长时间？

解：n＝3，S和＝3×300＝900m，T＝900÷（6+4）＝90秒。【一般】

【任务B】逆向求速度（同桌互助）

甲乙同地反向跑，50秒后第一次相遇，已知跑道长400米，甲速5m/s，求乙速。

乙速＝400÷50－5＝3m/s。【重要】

【任务C】圈数n的整数性辨析（易错点预警）

小张小李同地同向，张速7m/s，李速5m/s，跑道500米。张第一次追上李用时250秒。若问第几次追上时时间为750秒？

750÷250＝3，所以n＝3。【热点】学生常误用750×速度差÷周长，此处强调先求单次追及时间，再倍比。

4.首课小结与悬疑（5分钟）

师生共填表格：同地反向、同地同向的S和/差、T、n关系。抛出问题条：如果两人不是从同一地点出发，而是先后站在环形的不同位置，公式还能直接用吗？下节课揭秘。——学生带着好奇结束第1课时。

（二）第2课时：不同地出发——破除定势，灵活迁移

1.温故引新，剥离本质（5分钟）

快速口答同地出发基本题，教师板书旧知。继而出示环形跑道，A在起点，B在A后方80米（即A、B相距80米，沿跑道顺时针量度），同向而行，问第一次追上时路程差是多少？

部分学生脱口而出“1圈400米”，立刻有学生反驳：“B本来就在后面80米，追上只需要多走80米就够了，不用走一整圈！”【非常重要】

教师立即用磁贴演示：B在A后方80米，快者A要追上B，只需比B多走这80米，此时路程差＝初始距离差，不是周长。但若继续追第二次，才需要再比B多走一圈。

全场恍然，板书关键：

不同地出发——第一次追及：S差＝初始距离差（取绝对值）

第一次相遇（反向）：S和＝初始距离和（两人面对面前的距离）

从第二次开始，每追及一次需多走一圈，每相遇一次需合走一圈。【难点】

2.分类构建，全谱覆盖（20分钟）

【情形A】不同地，反向而行（同向或反向必须严格区分）

例：跑道400米，甲在起点，乙在甲前方100米（逆时针量乙在甲前），两人同时反向跑，甲速5m/s，乙速3m/s。第一次相遇，路程和是多少？

画圆弧展开图：将环形从甲处剪开展成直线，甲在0米，乙在100米（因反向跑，乙面对甲方向运动）。两人实际相距100米（面对面），所以第一次相遇S和＝100米。

学生顿悟：反向不同地，首次相遇路程和＝初始面对面距离，不是一整圈。以后每相遇一次，多合走一圈。

板书：不同地反向首次：S和＝L初始，第二次S和＝L初始＋C，第三次S和＝L初始＋2C……

【情形B】不同地，同向而行

例：同上数据，同向跑（都顺时针），甲在后？还是在前？需统一规定：快者追慢者，初始距离差＝快者落后慢者的距离（沿运动方向量）。若快者在后，首次路程差＝落后距离；若快者在前，则首次需多走一圈减去领先距离？此乃最高频易错点。【高频考点】【易错点】

详细辨析：

设定环形周长为C，两点沿运动方向距离为d（0≤d＜C）。

若快者A在慢者B后方d米，则第一次追上需多走d米；

若快者A在慢者B前方d米，则A要追上B，必须先比B多走(C－d)米（因为A在B前面，B落后A，实际上是B追A，但题目往往指定谁追谁，要统一转化为快追慢）。

教师以“快者看慢者”为视角：快者必须比慢者多跑一段距离，这段距离等于两者沿运动方向的最短路径（考虑环形闭合）。此部分需GeoGebra反复演示三种位置，直到学生能口头描述：“要看快者落后慢者多少米，若快者在后面，就差这么多；若快者在前面，就差一圈减这么多。”【难点】

最终归纳通式：

不同地同向，第n次追及：S差＝初始距离差＋（n－1）×C。

不同地反向，第n次相遇：S和＝初始距离和＋（n－1）×C。

3.综合应用，思维升维（15分钟）

【例题1】（经典中难度）周长为600米的圆形花坛，小红和小明分别从相距120米的A、B两点同时出发（沿环形较短弧距离120米，小红在顺时针方向落后小明120米），小红速度4m/s，小明速度6m/s。问：若两人同向跑，小明第一次追上小红需多久？第二次追上需多久？

解：小明快，小红慢。沿运动方向，小明在小红前方120米（因为小红落后小明120米），快者在前，所以第一次追及路程差＝600－120＝480米，时间＝480÷（6-4）＝240秒。第二次追及，路程差＝480＋600＝1080米，时间＝1080÷2＝540秒。

教师强调：必须画图确定初始位置关系，切忌背公式。【重要】

【例题2】（高频考题）甲、乙在周长为800米的环形跑道从相距200米的M、N两点同时出发反向而行，甲速6m/s，乙速4m/s。问第3次相遇时两人共跑多少米？

解：第一次相遇路程和＝200米，时间＝20秒。以后每相遇一次加一圈800米。第3次相遇，n＝3，路程和＝200＋(3-1)×800＝1800米。也可直接用S和＝200＋2×800＝1800米。

【拓展】此时甲跑了多少米？由速度和10m/s，总时间1800÷10＝180秒，甲路程＝6×180＝1080米。【一般】

4.多圈数、多对象高阶挑战（10分钟）

呈现五星级奥数真题变形：A、B、C三人环行，场地周长300米，A、B同地同向，C与A、B反向。A速5m/s，B速3m/s，C速4m/s。C与A第一次相遇后继续跑，问C与B第一次相遇在出发后多少秒？

学生需分层处理：先求C、A相遇时间（同地反向，首次S和＝300，T＝300÷9≈33.33秒）；再求C、B关系——B与C并非同地出发，因33.33秒时B已跑33.33×3＝100米，B位置在出发点前100米，C在A处即出发点（因与A相遇），此时C与B相距100米（沿C前进方向看？需具体方向）。此题旨在训练动态起点思维，不要求全班全解，但作为思维巅峰挑战，由兴趣小组展示思路。【热点】【选学】

（三）全课总结与模型回归（5分钟）

师生合作绘制“环形行程问题思维脑图”：中心是“圈数n”，两条主干——反向、同向；再分同地、不同地；叶子节点附着公式、易错点、比例技巧。教师强调：所有公式均为“路程和/差＝初始相关距离＋（n-1）×周长”，初始相关距离：同地为0，反向不同地为初始面对面距离，同向不同地为沿运动方向快者落后慢者距离（0~C）。【非常重要】

（四）课堂检测与即时反馈（8分钟）

发放5分钟限时小测，含2道必做题、1道选做题，题型覆盖：

1.同地反向求n次相遇时间。

2.不同地同向求首次追及时间并画位置图。

3.*环形上三台机器人，给出速度比，求相遇周期。

教师巡视，面批面改，针对“初始距离正负混淆”进行一对一纠正。

九、板书设计精要（黑板分区实录）

左侧主板书：

环形行程模型

一、同地

反向：S和＝n·CT＝nC÷V和

同向：S差＝n·CT＝nC÷V差

二、不同地

反向：S和＝L初＋(n-1)·C

同向：S差＝L差＋(n-1)·C

*L初：首次迎面距离；L差：快者落后距离（0~C）

右侧副板书：

典型错例警示

不同地同向，快在前：首次追及多跑C－L差

不同地反向，首次合走L初（非C）

中间动态板贴：学生现场绘制的环形展开线段图两份。

十、作业设计体系

（一）基础巩固（必做）

教材改编题3道，直接套用公式，标注每道题属于哪类模型，强化模式识别。

（二）拓展探究（选做）

1.生活调查：测量学校操场一圈长度，设计一个两人环形相遇游戏，并计算出确保每30秒相遇一次的速度组合。

2.跨学科小论文：查找资料，说明地球同步卫星轨道周期与地球自转周期的关系，用环形追及模型解释。【跨学科】【热点】

（三）思维挑战（学有余力）

环形跑道，