12.4.1 复数的三角形式 教学课件 2025-2026学年苏教版2019高中数学必修第二册_第1页
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第十二章复数12.4.1复数的三角形式1.了解复数的三角形式及相关概念；2.会进行复数三角形式与代数形式的互化.回顾：复数的几何意义是什么？abZ:a+bi复数

z=a+bi

一一对应一一对应一一对应复平面内的点

Z(a，b)平面向量

问题1：向量可以由它的大小和方向唯一确定，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？abZ：a+bir方向：以

x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线

OZ为终边的角

θ来刻画

的方向.大小：向量的大小可以用模来刻画θ，其中所以则如图，角

θ

称为复数

z=a+bi的辐角，思考：当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？复数

z=a+bi代数形式复数

z=r

(cosθ+isinθ)辐角复数的模三角形式

abZ：a+birθ复数的三角形式练一练：观察复数

是三角形式吗？说明理由.复数的三角形式条件z=r(cosθ+isinθ)：①

r≥0；②

θ前后一致；③

cosθ在前，sinθ在后；④

cosθ与

isinθ之间用“+”连接.复数

，不符合条件

①，所以不是复数的三角形式.问题2：一个复数的辐角的值可以有多少个？规定：0≤θ<2π的辐角值为辐角的主值，记作

argz，即

0

≤

argz

<2π.①每个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主之唯一确定；②两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.问题3：任一非零复数的辐角适合于0≤θ<2π的有几个？任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍；复数0的辐角也是任意的.例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.θ于是因为与

对应的点在第一象限，所以解：（1）复数

对应的向量如图所示，则（2）复数1-i对应的向量如图所示，于是因为与

1

-

i

对应的点在第四象限，所以则θ注意：把一个复数表示成三角形式时，辐角

θ不一定取主值.例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.把复数

z=a+bi的代数形式转化成三角形式的基本步骤：（1）求复数的模

r：（2）求复数的辐角的主值

θ：（3）写出复数的三角形式：例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.所以解：（1）复数

的模

r=1，一个辐角θ=π，对应的向量如图所示.所以（2）复数

的模

r=6，一个辐角对应的向量如图所示.问题4：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？

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