12.1 复数的概念 教学课件 2025-2026学年苏教版2019高中数学必修第二册

第十二章复数12.1

复数的概念1.

了解引进虚数单位的必要性；2.

理解复数的有关概念和表示，能正确对复数进行分类；3.

理解复数相等的充要条件，并能进行简单运用.

如何引入新的数扩充数系使方程变得可解呢？思考：对于情境：一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做个数系.当问题在当前数系下无法解决时，数学家们会尝试引入新的数扩充数系使问题变得可解.自然数负数分数有理数无理数实数计数整数扩充扩充扩充虚数单位：为了解决方程

x2+1=0

这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数

i，叫做虚数单位，并规定：（1）i2

=-1；（2）实数与

i进行四则运算，且原有的加法、乘法运算律仍然成立.如：实数

a

与

i

相加，结果记作

a

+

i；实数

b

与

i

相乘，结果记作

bi；实数

a

与实数

b

和

i

相乘的结果相加，结果记作

a

+

bi.根据加法和乘法的运算律，这些运算的结果都可以写成

a

+

bi

(a，b∈R).实部虚部复数的概念：形如

a+bi(a，b∈R)的数叫作复数，复数通常用字母

z表示，即

z=a+bi(a，b∈R).注意：对于复数

z=a+bi，①

当且仅当

b=0时，

z

是实数

a；②

当且仅当

a=b=0时，它是实数0；③

当

b≠0时，叫作虚数；④

当

a=0且

b≠0时，叫作纯虚数.全体复数所构成的集合称为复数集，记作

C.（R⫋C）复数

a+bi(a，b∈R)实数(b=0)；虚数(b≠0).(当a=0时为纯虚数)问题1：写出自然数集

N、整数集

Z、有理数集

Q、实数集

R

和复数集

C

的关系，并用Venn图表示.N⫋Z⫋Q⫋R⫋C例1：写出复数4，2-3i，0，

，

，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数复数分类实数虚数实部虚部402-3i6i40002-3506练一练1：判断下列命题是否正确：（1）复数

2+3i的虚部是

3i；

（

）（2）若

a、b为实数，则

z=a+bi为虚数； （

）（3）如

a+bi(b∈R)的数一定是虚数；

（

）（4）若

b为实数，则

z=bi必为纯虚数； （

）（5）若

a为实数，则

z=a一定不是虚数. （

）√××××解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；例2：实数m取何值时，复数

z=m(m-1)+(m-1)i是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.（3）当m(m-1)=0，且

m-1≠0，即m=0时，复数z是纯虚数.分析：由

m∈R可知

m(m-1)，(m-1)都是实数，根据复数a+bi是实数、虚数或纯虚数的条件可以分别确定

m

的值.思考：a=0是复数z=a+bi为纯虚数的充分条件吗？复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果

a，b，c，d

∈R，那么注意：①两个复数相等的充要条件数它们的实部和虚部分别相等.例3：已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求实数

x，y的值.解：根据两个复数相等的充要条件，可得方法总结：已知两个复数相等，可根据复数相等的充要条件将其转化为方程（组）来求解.

当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等.解得练一练2：已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x、y∈R，求x与y的值.解：根据复数相等的定义，得方程组解得分析：根据两个复数相等的充要条件