2025-2026学年人教A版高中数学必修第二册 第6章 平面向量及其应用 单元检测

第6章平面向量及其应用

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.若市=(-1,2),而二(1,-1),则荏=()

A.(-2,3)B.(0,l)

C.(・1,2)D.(2,-3)

2.已知向量。=(3,2)力=(2,-l),a_L上则实数k的值为()

A.--B.-

22

C.6D.2

3.已知向量a,b满足〃6=0,|。|=1加|=2,则|2〃+团=()

A.2V2B.4

C.6D.8

4.己知同二4力在〃方向上的投影向量为|a,则ab=()

A.-B.-

33

C.-D.i

33

5.若M为八ABC所在平面内一点，且满足(丽-+前-2拓?)=0,则

△ABC的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

6.若a/是一组基底，向量R),则称(x,y)为向量r在基底a/b'的

坐标，现已知向量以在基底〃=(14),行(2』)下的坐标为(・2,2),则a在另一组基底

7H=(-1,1),/!=(1,2)卜的坐标为()

A.(2,0)B.(0,-2)

C.(-2,0)D.(0,2)

7.已知在△ABC中，内角A,8,。所对的边分别为a,b,c,且才./二曲,。二三，则当的

3smB

值为()

A.-B.1

2

C.2D.3

S.A71BC的内角4&C的对边分别是若8=24〃=1力=g,贝ljc=()

A.2V3B.2

C.V2D.l

二、选择题:本题共3小题,每小题6分洪18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得()分.

9.四边形都是全等的菱形,"E与CG相交于点M则下列

关系一定成立的是()

A.\AB\=\EF\

B.南与丽共线

C.前与前共线

D.反与前共线

10.已知平面向量。二(1,0)/=(1,28),则下列说法正确的是()

A.|G+)|=16

B.(〃+b)a=2

C.向量a+b与a的夹角为30°

D.向量a+b在a上的投影向量为2a

11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()

A.若而？=而+g而则点M是边BC的中点

B.若奇=2荏-元，则点M在边BC的延长线上

C.若前二-丽-雨，则点M是AABC的重心

D.若奇二x荏+)，而，且x+)弓，则AWBC的面积是△48C面积的［

三、填空题沐题共3小题,每小题5分洪15分.

12.如图，已知长方形ABCD中,为CD的中点，则宿•

BD=

13.在ZkABC中，角A,B,C所对的边分别为a,一c,已知342心+3户3〃=0,则cos

C=.

14.某湖中有一小岛C,沿该湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测

得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km到达B处后,又测得小岛在

公路的南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是km.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(13分)已知而二(-1,3),阮二(3,〃。,而二且而II~BC.

(1)求实数〃的值；

(2)若北1丽,求实数m的值.

16.(15分)已知非零向量〃力满足⑷=1,且(〃・田•(〃+〃)=；.

4

(1)求网;

⑵当。力二3时,求向量a与a+2b的央角8的值.

4

17.(15分)在△A3。中，角A,8,C所对的边分别为4力,c,已知cosC+(cosA-v^sin

A)cosB=0.

(1)求角3的大小；

(2)若〃+c=l,求b的取值范围.

18.(17分)在平面直角坐标系中,。为坐标原点，己知向量。=(-1,2),又点

A(8,0),3("),C(ksin0,i)(0<0<以.

⑴若前_La且|而|二V§|布|,求向量而；

(2)若向量彳？与向量a共线，当Q4,且rsin0取最大值4时，求a•OC.

19.(17分)在锐角三角形ABC中，角A,8,C所对的边分别为〃力了,若VSbsin

C+V3csinB=4asinBsinC.

(1)求角A的大小；

(2)若2〃sinB+2csinC=〃c+V5〃,求A4BC面积的最大值.

第6章平面向量及其应用

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.D

解析:因为瓦?=(-1,2),而=(1,-1),

所以而=OB-07=(2,-3).

2.C

解析::向量。=(3㈤/=(2,-l),a_Lb,

.•・6-k=0,解得k=6.

3.A

解析:•・•向量a、b满足0仍=0,⑷=1,网=2,

12a+b|~=(2a+b)z=4|a|2+1|2+4ab=4+4+0=8.贝U\2a+b\=2y/2.

4.B

解析:b在a方向上的投影向量为网cos6^=

•2.|72-32

..<7-f/>=-|<7|-=-x4~=y.

5.A

解析:设BC的中点为。，则丽+MC2MA-2MD2MA^2AD.

*：满足(而-MCI-(M5+MC-2AM)=0,

・••而2而=0,・,•加1.荷.

A4BC是等腰三角形.

6.D

解析:由题意得”=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).设a=.xm+yn,

则(2,4)=x(-l,l)+y(l,2)=(-x+a+2y),・•・｛：；'］；解得｛；I；'故选D-

7.C

解析:由余弦定理得/-〃二4-2。反os。=/_时=6也所以。=24所以由正弦定理

sin?lci"

F，=2.

8.B

解析:由B=2AMsinB=sin2A,

由正弦定理知就二熹，即高j/3_V3_.

sinBsin2/l2sin/lcos4,

所以cos，所以A=-,B=2A=-,^/r以C==7t-8-A=E,所以c2=fz2+Z?2=l+3=4,

2632

故c=2.

二、选择题:本题共3小题，每小题6分洪18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ABD

解析:・・•三个四边形都是菱形且全等，

A\AB\=\EF\yAB//CD//FHy

故荏与两共线.

又DCE三点共线，

，反与距共线，故A,B,D都正确.

故选ABD.

10.BD

解析:由题意，得。十4（2,2百）.对于A,\a+b\=J22+（2遍）2=4,故A不正确；

对于B,（«+Z＞）-«=2xl+2V3xO=2,B正确;对于C,

因为cos＜〃+》,“＞二丝皿=—=；所以a+b与〃的夹角为60°,故C不正确;

|Q+b||Q|4X12

对于D,向量a+b在a上的投影向量为/詈•。=2a,故D正确.故选BD.

11.ACD

解析:对于A,由向量加法的平行四边形法则可知，点M是边BC的中点，故A

正确;对于B,前一丽=万一前，即的=而，所以点M在边C3的延长线上，故

B错误;对于C,若前二丽-屈，即奇+丽+奇=0,则点M是△ABC的重心，

故C正确;对于D,若汨?二./方+），/国工+），=±可得2祠=2^^+2）；衣,2x+2y=L

设丽=2AMMAN=2xAB+2y^AC,2x+2y=1,工N,B,C三点共线.

又M为4V的中点，则△M3C的面积是△4BC面积的点故D正确.故选ACD.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.-1

解析:俞'BD=（AD+DM\（AD-AB）=（AD+^ABY（AD-AB）

=AD2--AD-AB--AB2=AD2--AB2=]--x22=-}.

2222

13-

3

解析:由3〃-2必+3层3c2=(),得»=足+%原

2222

a2+z)2.c2a+b-a-b+^ab

根据余弦定理，得COSC=

解析:如图,A5=lkm,NCAB=15°,NCB4=180°-75°=105°,

故NACB=180°-105°-15°=60°.

在△人"?中，由正弦定理，得

sin£CABsin乙4c8’

故BC=—xsin150=，'叵，km),

sin606

设点C到直线AB的距离为4,则J=BCsin75°二出且x位或=—(km).

646

四、解答题:本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.

解:因为而二(-1,3)阮二(3,相),而二(1,〃)，

所以40=AB+BC+CO=(3,3+"?+〃)，

(1)因为通||~BCy

所以设前=7近4ER,

则(FL7

(3+m+n=Am,

解得n=-3.

(2)因为前=荏+方=(2,3+〃。,丽=BC+而=(4,m-3),

又前JL苑

所以前♦丽=0,

即8+(3+，〃)。〃-3)=0,

解得)n=±1.

16

解：(1);(a-b\(a+b]=a2-b2=1-b2=-,

4

⑵・・・。仍=

4

.\a(a+2b)=a2+2ab=\-^=^,\a+2b\=J(a+2b)2=y/1-1+1=1,

1

­_a(a+2b)_2_1

•・c°s”n-丽西一言一亍

又夕£。泪，

:.e=-.

3

解：(1)由已知得-cos(A+8)+cosAcosB-V3sinAcosB=0,

即有sinAsinB-V3sinAcos3=0.

因为sinA#),

所以sinB-V5cosB=0.

又cosB#),所以tanB=W.

又8£(0,兀)，所以B=-.

3

⑵由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.

因为a+c=\,cos

所以b2=3(^a-0—

又Ovavl,于是有工Wyvl,

4

即有Xb<l.

2

18

解:⑴由题设知荏=5-8,，）,

8-z?+2r=0.

又通I瓦51=1荏I,

A5x64=(«-8)2+r2,

(8-n+2t=0,

联立得

卜九-8)2+t2=320,

解得｛；：/或ft=-8,

Atn=-8.

・••丽=(24,8)或赤=(-8,-8).

(2)由题设知彳？=(依in仇8,/),

•••彳？与a共线，

；・4-2/sin/8)=0,

.*.r=-2Z:sin9+16,/sin9=(-2Asin<9+16)sin6=-2A(sin0—^2+y.

・・・Q4,・・・0v[vl,

K

:.当sin时,/sin6取得最大值乎.