提优点20 同构函数

提优点20同构函数

【知识拓展】

同构法在近几年的模考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整

理变形，表示成两侧具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再

利用函数单调性解题.

【类型突破】

类型一地位同等同构型

例1(1)(2024•温州统考)已知x,y£R,则是"r-lnx>y—Iny”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)若OVxiVx2〈a,都有xdn尤i-xiln尤zWxi-r成立，则。的最大值为()

A.；B.1

C.eD.2e

答案(1)A(2)B

解析(1)设人。=/一111%，>0,

1i—1

则/⑺=1—7=丁，

由/(r)>0得01,由/(/)<0得0<r<1,

••JW在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

・•・当x>y>l时，

即x-ln心>)，一lny成立，故充分性成立.

但x—In*>)，-Iny成立时，可能有y=1,此时x<y,

故必要性不成立.

综上，是"x—In£>)，一Iny”的充分不必要条件.故选A.

(2)由%2lnxi—xiInX2^AI—%2,

InxiInxz.11

两边同除以XIX2得-------《—一—

XIX2X2X]

InX21

即*

HX2X2

令五入）=乎+:，

则7U）在（0,公上单调递增.

-Inx

・・・/a）2o在（0,〃）上恒成立，而/（»=一^―,可知/*）在（（），1）上单调递增，

・・・aWl,・•・〃的最大值为1,故选B.

规律方法含有地位同等的两个变量的不等式（方程），关键在于对不等式（方程）

两边变形或先放缩再变形，使不等式（方程）两边具有结构的一致性，再构造函数，

利用函数的性质解决问题.

训练1（1）若2"+log2Q="+210g仍，则（）

A.a>2bB.a<2b

C.a>h2D.et<h2

（2）（2024・宜宾调研）若对任意的入i,大2G（，〃，十8）,且用1位，-1n"<2,

则m的最小值是（）

A.e2B.e

C.ID,"

e

答案（1）B（2）D

解析（1）由指数和对数的运算性质可得

2"+log2〃=4"+210g4〃=22/?+Tog2b.

令yU）=2*+log2X,

则7U）在（0,+8）上单调递增.

又22/>+log2Z?<22,,+log?/?+1

2z,

=2+log2（2Z>）,

2a+log2£i<22£>+lug2（2Z/）,即J（a）<JQb）,・，・a<2上.故选B.

x\InJO—rolnx\

（2）对任意的尤［,也£（也，+°°）,且xiVx2,------:：——<2,易知〃z20,

-^2A1

贝4xiInX2-xi\nX\<2X2~2X\,

所以xi（InX2+2）<x2（lnxi+2）,

Inxi+2InX2+2

PP>，

XIX2

।•1o

令/(外=工^一,则函数yu)在(加，+8)上单调递减,

e、，“lnx+1

因为/(x)=1—p，

由/(x)V0,可得

所以火幻的单调递减区间为+8),

所以(加，H-OO)CQ,+8),

所以m2：,

V

因此，实数〃?的最小值为J.

C

类型二指对跨阶同构型

考向1指对同构与恒成立问题

例2(2024-重庆调研节选)若对任意x£(1,4-oo),

立，求〃的取值范围.

解由题意知，。©工+1)-2卜十二

当“WO时,o(e"+l)WO,

〈Qi,A2(x+^ln,r>0,

・•・当。<0时，(*)不成立，故心0.

当a>0时,(*)整理得ar(eav+l)22(f+l)lnx(x>l)恒成立,即axe^+ax^x^lnx2

+Inx2=InfclnJC2+In/(工〉1)恒成立.

设g(1)=@+z,。0,则g")=«+l)H+l>0在(0,+8)上恒成立，

•,遭(。=沿+/在(0,+°°)上单调递增.

又。＞0,xe(i,+8),・・・要使对任意xe(i,+oo),4/(eav+l)-2^+^lnx^O

成立，只需满足当x£(l,+8)时，恒成立，即只需满足。，怨々Q1)

人

恒成立.

设他)=竽(Q1),则〃'(X)=2(1-lnx)

当x£(l,e)时，〃(x)>0,〃(x)单调递增，

当x£(e,+8)时，Az(x)<0,力(力单调递减，

2

工。2人(X)max=/7(e)=：,即CI的取值范围为

I+0°

考向2指对同构与证明不等式

例3已知函数人力=亡-1Inx,g(x)=己—x.

(1)讨论/(犬)的单调性；

(2)证明:当工£(0,2)时，/)Wg(x).

(1)解函数人幻的定义域为(0,+8),

/(x)=ev-llnx4-

，)=»

记/?(x)=lnx+-，

JC

所以当0<Y<1时，"(x)<0,函数〃(x)单调递减;

当QI时，〃a)>o,函数〃(X)单调递增，

所以万。)26(1)=1,

所以/。)=e1一(inx+0>O,

所以函数7U)在(0,+8)上单调递增.

(2)证明原不等式为ev-1Inx^：x2—x=x(x—1),

即乎即证器W-l在(0，2)上恒成立.

xe*ee

设")=2则心尸守=*

所以当xvi时，ru)>0,心：)单调递增；当Q1时，13<0,3单调递减,

所以《x)W/(l)=5

.,11—X

令Z(jv)=lnX—x+1,则rtlr(zx)=一―1=——,

XX

当0<n<1时，«x)>o,心：)单调递增；当心>1时，”工)<0,z。)单调递减，

所以《X)max=f(l)=0,而以InxWx-1,

Inx<l,

且当“£(o,2)时，有彳।,

lx—1<1,

InvY—1

所以/(lnx)W/(x—1),即振Wr,

CC

所以当x£(0,2)时，有犬c)Wg(x)成立.

规律方法指对跨阶同构的基本模式有：

⑴积型:理nA,一般有三种同构方式:

①同左构造形式：oeV/dn/?=cHW(lnb)elnh,构造函数/(幻=9；

②同右构造形式：71n/?<=>ealne"WZ?lnb,构造函数y(x)=xlnx；

③取对构造形式：o+lnaWlnZ?+ln(ln/?),构造函数/(x)=x+lnx.

(2)商型：沃含，一般也有三种同构方式：

e"hpie加bpt

①同左构造形式：—构造函数兀¥)=1；

②同右构造形式：3a=品(含，构造函数肘=言

③取对构造形式：〃一Ina<\n/?—ln(lnb),构造函数/U)=x—Inx.

(3)和差型：呼切>Z?±ln〃，一般有两种同构方式：

①同左构造形式：e"±〃〉Z?±ln〃=c"±a>em"±ln力，构造函数氏()=u'"；

②同右构造形式：ca±a>b±\n/;<=>ca±lnca>b±lnb,构造函数兀丫)=x±\nx.

训练2已知函数兀i)=x—Inx.

(1)求函数的单调性；

ex+lnx+1

(2)当心>［证明:2e+1；

(3)若不等式犬对x@(l,+8)恒成立，求实数〃的最小值.

(。解J(x)=x—\nxt

1x—1

f(x)=1-—(x>0),

令/(©=(),解得1=1,

则当0W1时，/w<()：

当x>\时，/(x)>0,

所以,/U)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

ev+lnx+1

(2)证明要证:2e+l,

即证：ev+lnexex+A=>ev-xex-Inex=>ev-Inev^ex—Inex,

又,.•eA2ex>l,

由(1)可得:«r)在(1,+8)上单调递增，

故式故原不等式成立.

⑶解x+aln〃lnjv=>e-x-In〃lnx=

e-x—Iner'f—lny，We")》/(『)，

当。2()时，e^WF恒成立，

又因为Ove-y,当。<0时，F£(0,1),/U)在(()，1)上单调递减，

X

/.e弋犬=心一广;

Inx

v1—InY

令且(幻=一次31)，g'G尸FP，

令g'(x)=O,得x=e.

当1a<e时，g，(x)〉O,式幻单调递增，

当x>e时，g")vO,g。)单调递减,

所以g(x)的最大值为g(e)=一氏=-e,

所以e,所以。的最小值为一e.

类型三零点同构型

例4(1)己知函数/(x)=xe*—〃(x+ln幻有两个零点，则实数a的取值范围是

(2)已知xo是函数凡¥)=『匕'?+lnx—2的零点，则e2—xo+lnxo=.

答案(l)(e,+8)(2)2

解析(1求外=依\—〃a+lnx)

=er+lnv—cz(x+lnA),

令，=x+lnx,/£R,显然该函数单调递增.

由H—4/=0有两个根，

e,

ty=—,

即。=P*即1有两个交点，

y=a

可画出函数图象得到。的范围是(e,+8).

(2)?ev-2+lnx-2=0,

可得^1-2=2—Inx,

即^^=2—Inx,

,°、2e2e2

.re'—2e2—e2lnx,xev=——Inx,

xx

22

即K

xe——xIn-x,

两边同取自然对数，

Inx+x=ln(ln舁+lnJ

所以ln(，)=x,即2—Inx=x,

即lnx=2—x,

/.e2-v=x,/.e2A<)+lnxo=xo+lnxo=2.

规律方法在涉及函数的零点问题时，可根据函数式的结构或转化为方程后构造

函数，其实质是把函数式简化，以达到研究函数零点的目的.

训练3已知y(x)=Wnx+#+1,若关于龙的方程打「。=段)一表2+〃Y—1有两个

不同的实数解，求。的取值范围.

解由疣1”=应¥)一学+办一1(X>O),

艮fjxe，v-a—x|nX+QX,

即ev-a=lnx+6/,

即a=x+lnx,

/.ln(ev-a)+ev-a=1nx~\~x,

令h(x)=lnx+x(x>0),

xa

则h(e~)=h(x)f

〃(x)=1+l>0,

・・・/7(X)在(0,+8)上单调递增，

・•・？「"=x,

则x—a=lnx,a=x—\nx(x>0),

因为关于x的方程16广，=凡¥)一#+ar—1有两个不同的实数解，

则方程。=x—1nx(x>0)有两个不同的实数解.

令夕(幻二工一Inx,

11

则

当OVxVl时，d(x)VO,

当七>1时,d(x)>o,

所以函数e(x)=x—Inx在(0,1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，

所以S(X)min=Q(l)=l,

当X-*O时，矶x)f+8,

当Xf+8时，9(X)f+8,

所以。>1,

综上，。的范围为(1,4-°°).

【精准强化练】

一、单选题

1.(2024•合月巴调研)若2024)—2024丫<20252025>，x,>eR,则()

A.lnO,-x+1)>0B』n(y—x+1)<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x—)i<0

答案A

解析由2()24'—2O24'<2025r—2025Tx,y£R,

可得2024'-2025-r<2024y-2025",

由于函数y=2024\)，=一2025一工均在R上单调递增，

贝』函数儿0=2024、-20251在R上单调递增.

贝42024v-2025r<2024'—2025-'〜x)<；/O，)Qx<y.

A,B选项，y>x=>y—x-\~1>I=>ln(j^—A+1)>In1=0,故A正确，B错误.

C,D选项，由条件知|x-y|与1的大小关系无法判断，故C,D错误.

2.已知实数XI,X2满足工30=9,X2(log3X2—2)=81,则X|X2=()

A.27B.32

C.64D.8I

答案D

解析由题意得，Xl>0,X2>0.

令logM2—2=f,则X2=3"I,32+7=81,

得r3=9,

；・xi,t是方程x-3v=9的根.

令危)=»3%心>0),则/(劝=3'+»3叫3>0,・\/(工)在(()，+8)上单调递增，

/.XI=Z,即10g3X2—2=^1,X\X2=(10gU2-2)X2=81.

3.已知函数抬尸一加的定义域为&2),且对Vxi,X2e2),xiWx2,

于（XI）—于（X2）

•Or+X2恒成立，则实数。的取值范围为（

X\~X2)

B.g—1,+8)

C,(一8,f-1

答案A

解析设…，因为对也叫，2）,当仙工年时都有“o"+

X2恒成立，等价于兀口）~/（X2）＜3—京，即/（XI）—X勺（X2）—《，

令中）=段）一/=8一加一f,则如。"（⑼，所以尸⑴在⑤2）上为减函数,

所以〃（x）=et—2（a+l）xW0在e，2）上恒成立，

即鼻23+1）在&2）上恒成立，

令心）4，工£（；，2）,

rI,ev（x—1）

则h\x）=­p—,

所以函数〃（外在（；，1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，

又〃⑵=会且2/＜会

2

所以/i（x）max＜A（2）=y,

e9p2

所以爹W2（〃+l）,解得彳一1,故选A.

4.若关于x的不等式x+。对一切正实数K恒成立，则实数a的取值范围

是()

A.(-8,目ej

C.(-8,1JD.(-8,2]

答案C

解析21nx+〃，

工尸“十x一〃2x+inx,

/.er-tt+x—«^elnv4-lnx,

设JW=e,+/,则〃f)=e，+l>0,

・・J⑺在R上单调递增,

故ev-a+(x—tz)^elnx+lnx,

即於一〃)27(lnx),

即1—a21nx9即aWx—Inx,

设g(x)=x-\nx,

r.1X~1

则

g'(x人)=人l,

令g，(x)>(),x>l,令g(x)v(),0<r<l,

・・.ga)在a,+8)上单调递增，在(o,i)上单调递减，

故g(X)min=g(l)=1,故aWl,故选C.

5.已知冲是方程Irg'+InLO的实根，则关于实数xo的判断正确的是()

A.xo21n2B/oW：

V

C.2xo+lnxo=OD.2ex<)+lnxo=O

答案C

解析由Zre^+lnx=O得

2x^=-^\nx=^n卜eln5np

构造函数«t)=xex,其中x>0,

则/a)=a+2o,

所以/&)在(0,+8)上单调递增，

根据题意，若灿是方程ZFe"+ln]=()的实根，则2x(^2、。=”[In

人U

所以2xo=ln-InAo,

因此2xo+】nxo=O.

6.若0<AI<X2<1,贝ij()

A.ev2-evl>ln%2-Inx\B.evl-ev2>lnX2-Inx\

C.X2&vl>xiev2D.X2eA,<.ncv2

答案C

解析A中，et2—ed>lnX2_Inxi<=>et2—inX2>ed—Inx\,设y(x)=e'—Inr

“1xev—1

.V(x)=e^--=——,

设g(x)=xe—l,则有g，(x)=a+l)e〉O恒成立，所以g(x)在(()，1)上单调递增,

因为。0)=—1<0,g(1)=e-1>0,

从而存在次£(0,1),使得g(xo)=O.

由单调性可判断出，xG(0,初),

g(x)<O=>fr(x)<0；

xe(xo,1),g(x)>O=>f,(x)>0,所以於)在(0,1)上不单调，不等式不会恒成立，A

不正确；

B中，e"—西2>111X2—In+lnxi>e'2+ln%2,设函数人%)=西+1门%,

可知«r)单调递增，

所以火XI)矶X2),B错误;

gxlQ.X2

C中，xzevl>x]ev2<=>—>—,

A1A2

构造函数/U)=3,/a尸(X—/1)，

则/(x)<0在x£(0,1)恒成立，所以小)在(0,1)上单调递减,所以於I)次⑼成立,

C正确，D错误.

二、多选题

7.已知若e"—2a=ae'E一加"，则()

A.ln(tz—/?)<0B.ln(a+b)>l

C.3"+3一匕2小D.3「L3”

答案BC

解析由ta—2a=acb+1—bca,

得(/?+1把。=。(6+1+2),

e""+2

所以

a~b+1

令於)=%>D，

rI(x—1)eY

则/(©=-P->0,

所以凡r)在(1,+8)上单调递增.

e"e'"12

因为广市=布>°,

所以火〃)次b+1),所以公功+1,所以。一比>1,所以ln(a—Z?)>ln1=0,A错误;

因为a-\-b>b-\-1+Z?>3>e,

所以ln(a+b)>lne=l,B正确；

易知3"+3一，>3"1+3-，>243取5=2®C正确；

因为。一19，所以¥」>3〃，D错误.

8.(2024・茂名模拟)已知〃心+lnn>n\n/?+///(/«^R),则下列结论一定正确的是

()

A.若〃?>0,则m—n>0B.若m>0,则em-n>0

C.若〃2<0,贝！J〃z+lnn<0D.若，〃<0,贝ije/w+n>2

答案BC

mmlnw

解析原式可变形为nie-m>n\nn—\nn9即me—m>\n/?-e—Inn,

因而可构造函数/(x)=jev—x,

则〃).

f(x)=ev(x+1)-1,当X>0时，er>l,x+l>l,则ev(x+1)>1,/(x)>0,

当x<0时，0<ey,x4-l<l,则e'(x+l)<l,/(x)<0,

故«X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

对于A,取"?=〃=e,则

,・了")在(0,+8)上单调递增,

次ln〃)，满足题意，但加一〃二0,A错误.

对于B,若/7?>0,则当In〃W0,

即()<〃W1时，即>1NN,即e，"一〃>0；

当ln〃>(),RPn>\时，由/U)在(0,+8)上单调递增，且得m>ln〃，

w

则e—//>().B正确.

对于C,若丁<0,则当In〃W0,即0v〃Wl时,m+ln〃<0显然成立.

当ln〃>0时，即〃>1时，令人(工)=应¥)—/(—x)=x(e'+er—2).

•・•e'+e)-222、旧6"—2=0,

当且仅当ev=e-r,即x=0时等号成立，

・••当xvO时，力(幻<0,即/U)fA—x).

由〃7Vo可得共〃。勺(一〃!)，

则加1〃)<讥一吻,

又於)在(0,+8)上单调递增，且ln〃>0,—〃2>(),

.*.lnn<—m,即1n〃+m<0.C正确.

对于D,取加=—2,〃=：,则ln〃=—1>机，

•・・/a)在(-8,0)上单调递减，

・\A，〃)》Un〃),满足题意,

但/"+〃=5+)<2,D错误.故选BC.

CC

三、填空题

9.若关于x的不等式『匕3'2伙+3)x+21nx+1对任意x>0恒成立，则k的取值范

围是________.

答案(一8,0]

解析原不等式可变形为一加"心一(3人+2111才)为"+1,

e2lnx+3x—(3x+21nx)—12kx,

利用可得心WO,

又x>0,故ZWO.