菱形的性质和判定（知识解读+例题讲义+随堂检测）解析版-2024人教版八年级数学下册

第04讲菱形的性质和判定

3"知识导航

第导航1考点清单

考点1：菱形的概念和性质

考点2：菱形的面积

考点3：菱形的判定

考点4：菱形的性质与判定综合

舟导航2重难点

重点：

（1）菱形性质的应用

（2）菱形的判定

（3）菱形性质与判定的互逆应用

难点：

（I）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。

（2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用“对角线垂直”证菱形，未先证平行四边形。

（3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题

[?知识梳理

知识点1：菱形的性质

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质

（2）且四条边都相等

（3）两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分•组对角。

注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称相。

7题型精讲

【题型1利用菱形的性质求角度】

【典例1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形48C。，中间通过螺杆连接，转

动手柄可改变N8CD的大小（菱形的边长不变）.当N8Q4=26。时，则乙4QC的度数为（）

手柄

A.26°B.52°C.128°D.154°

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键.

由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求的度数，再由菱形中乙员力+LADC=

180。即可求解.

【详解】解：在菱形4BCD中，因为乙8。4=26。，

所以NDC4=Z,BCA=26°,

UPz5CD=52°,

又因为在菱形中，BC||AD,

所以4BCO+44DC=180。，

可得44DC=180°-乙BCD=180°-52°=128%

所以乙1DC的度数为128。.

故选：C.

【变式1】如图，在菱形48G9中，40=132。，则41的度数为（）

A.132°B.66°C.48°D.24°

【答案】D

【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互

补求出4ZMB,再由菱形对角线平分对角求解即可行到答案.熟记菱形性质是解决问题的关键.

【详解】解：在菱形4BCD中，ZD=132°,^DAB=180°-132°=48°,

AC是菱形A8CD一条对角线，

••・平分/ZM8,则=底DAB=ix48°=24。，

22

故选：D.

【变式2】如图，在菱形/BCD中，连接力C,过点B作B014C.若ND4c=36。，则4。8c的度数为（）

A.36°B.54cc.56cD.64c

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质.根据菱形的性质

可得4DIIBC,推出NOCB=NZX4C=36。，结合8。14C,即可求解.

【详解】解：♦.•四边形是48CD菱形，

•••AD||BC.

:.乙OCB=Z.DAC=36。

vBO1AC,

：.乙BOC=90°,

:.Z-OBC=90°-Z-OCB=54°,

故选：B.

【变式3】如图，在菱形4BCD中，点E为对角线8。上的一点，且连接力E,若N/WC=80。，则

△4EO的度数为（）

A.40°D.50°C.70°D,00°

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出4B=4。，LABC=

Z.ADC=80°,8。平分N4BC和〃DC.再由DE=4B得出DE=4D,从而利用等腰三角形等边对等角得

出上力£7）的度数.

【详解】解：团四边形H8CD是菱形，

=AD,Z-ABC=/-ADC=80°,BD平分/ABC和心4DC,\^/.ADE=/.EDC=\LADC=40°,

乂团DE=AB,

WE=AD,

^£EAD=LAED=1（180°-NADE）=70°,

故选：C.

【题型2根据菱形的性质求线段长】

【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC与BC交于点。，若4c=8,BD=6,则该菱形ABCD的周长是（）

A.20B.24C.25D.48

【答案】A

【分析】本题考杳了勾股定理，菱形的性质；根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得8。=。》

AO=OC,在Rta/OB中，根据勾股定理可以求得力B的长，即可求菱形力BCD的周长.

【详解】解：回四边形ABC。是菱形，AC=8.BD=6,

AB=BC=CD=AD,BO=OD=3,AO=OC=4,ACLBD,

AB=y/AO2+BO2=5

故菱形的周长为4x5=20.

故选：A.

【变式1】如图，在菱形RBC。中：AB=6,LADC=120°,则对角线8。的长是（）

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键.

根据菱形的性质证明△力。8是等边三角形，即可得出答案.

【详解】解：［3菱形ABCD,

^AD=AB=6,BD平分乙4DC,

^ADB=-Z.ADC=-x120°=60°,

22

回△4）8是等边三角形，

（3BO=AB=6.

故选：B.

【变式2】如图，在菱形H8CZ）中，对角线AC与8D相交于点0,若4C=6,乙48c=60°,则8。的长为（）

A.3x/3B.6V3C.12D.6V5

【答案】B

【分析1本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等边

三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键：由题意易得AC1BD,AB=BC.BD=2OB,OA=OC=

：47=3,则有AABC是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解.

【详解】解：国四边形4BC0是菱形，AC=6,

mAC1BD,AB=BC,BD=2OB,OA=OC=-AC=3,

2

包乙ABC=60°,

团△力8C是等边三角形，

团4c=BC=6,

在RtaBOC中，由勾股定理可得：OB=7BC2-OC2=3相,

团BO=2X3遥=6V5：

故选B.

【变式3］如图，菱形A8CD的对角线AC,8。相交于点O,过点。作DH1A8于点H,连接。"，若AC=8,

菱形"BCD的周长为20,则0H的长为（）

B

【答案】A

【分析】本题主要考查勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理，菱形的

性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得AB==40=0。=5,ACJ.80,OB=

00,04=0C,然后可得BD=2x=6,进而根据直角三角形斜边中线定理可进行求解.

【详解】解：团四边形48CD是菱形，且周长为20,

^\AB=BC=AD=DC=5,AC1BD,OB=0D.0A=0C,

团4c=8,

国BD=2x乒7=6,

WH1AB,

WH=\BD=3；

2

故选A.

Ifr知识梳理

知识点2：菱形的面积（等面积求高）

菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半

殳/KtiSAUnQ

3"题型精讲

【题型3根据菱形的性质求面积】

【典例3】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢

行，并需注意行人横过马路.若测得菱形标志力8。。的对角线力C长为1.5m,BD为3m,则该标志的占地

面积为（）

A

4

A.2.25m2B.4.5m2C.6m2D.9m2

【答案】A

【分析】根据菱形的囿枳等♦力。计算即可.

本题考查了菱形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得菱形的面积等丁•力C=：xl.5x3=2.25(m2),

故选：A.

【变式1】小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗板的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着数

学知识一一菱形.喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题如下：

在菱形中，心力=60。，AB=2,则菱形力8。。的面积为()

A.百B.46C.4D.2V3

【答案】D

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点4作AH1CB交

CB延长线于“，可求出NBAH=30。，则BH=：AB=1,日勾股定理得到=由菱形的性质得

至IJBC=AD=a,则S变形.a=BC-AH=2®

【详解】解：如图所示，过点A作/1HJ.CB交延长线于H,

EZ/1=60°

R4ABC=120°,

^LABH=180°-LABC=60°,

^BAH=180°-60°-90°=30°,

EBW=-AB=1.

2

=>/ABz-BH2="

团四边形48CD是菱形,

回BC=AD=2,

团S菱形48CD=BCAH=2xy/3=2yf3,

故选：D.

【变式2】如图，在菱形4BCD中，AC.BD交于点。，DE1BC于点E,若4c=8,BD6,贝UDE等于（）

A.4.8B.5C.6D.9.6

【答案】A

【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键.

根据菱形的性质得出40=2。、AC1BD.AO=0C.OO=B0.求出＜。和OO,求出小小根据菱形

的面积公式求出即可.

【详解】解：•.•四边形48C0是菱形，

•••AD=BC、AC1BD、AO=OC、DO=BO

AC=8、BD=6

:.AO=4、OD=3

由勾股定理得；AD=5

:.BC=5

1

S菱形A8CD=爹X力。XBD=BCxDE

1

-x6x8=5xDF

解得DE=4.8.

故选:A.

【变式3】如图，菱形ABC。的边长为石，对角线AC,8。相交于点O,且04=1,则菱形48CD的面积为

()

A.5B.2V5C.2D.4

【答案】D

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到4c=2。力=2,BD=

208,AC1BD,再由勾股定理得到BD=208=4,最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进

行求解即可.

【详解】解：回菱形A8CD的边长为祈，对角线4C,80相交于点O,

^AC=20A=2,8D=20B,AC1BD,

在RtZkABO中，由勾股定理得08=7AB2-。取=2,

EBD=20B=4,

团S菱形.CD=\AC-BD=4,

故选：D.

知识梳理

知识点3：菱形的判定

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相显直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

3"题型精讲

【题型4添一条件使四边形是菱形】

【典例4］如图，^ABCD,对角线力C,BD交于点0,添加下列条件，能使形1BCD变为菱形的是（）

A.AB=CDB.AC=BDC./-ABC=90°D.AC1BD

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键.根据一组邻边相等或

对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可.

【详解】解•：回四边形48CD是平行四边形，

团当EL48co的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使图48CD变为菱形，

逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合.

故选：D.

【变式1】如图，四边形A8CD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AD=ECC.AB=BCD.AC=BD

【答案】C

【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质.由四边形4BCD的对角线互相平分，

得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等.

【详解】解：回四边形48CD的对角线互相平分，

回四边形ABCO是平行四边形，

回要使四边形48co是菱形，需添加AC1BD^.AB=BC,

故选：C.

【变式2】已知四边形力BCD的对用线"，8。互相垂直，则下列条件能判定四边形力8C0为菱形的是（）

A.DA=DCB.AC=BDC.AB||DCD.AC,8。互相平分

【答案】D

【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可得到答案.

【详解】解：A、不能判定四边形4BCD为菱形，不符合题意，选项错误；

B、不能判定四边形力8C0为菱形，不符合题意，选项错误；

C、不能判定四边形力8C0为菱形，不符合题意，选项错误；

D、能判定四边形A8CD为菱形，符合题意，选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定是解

题的关键.注意，判断菱形时.一定要明确前提条件是从“四边形〃出发的，还是从"平行四边形"出发的：

若从四边形出发的，则还需囚条边相等；若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂

直.

【变式3】如图，点。，E,F分别在△/18C的边上，ED||AB,AE=AF,添力II一个条件，使四边形AEO尸

是菱形.

【答案】4E||DF（答案不唯一）

【分析】此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理.

添加条件：AE||DF,首先证明四边形4EDF是平行四边形，然后结合AE=即可得到四边形AEDF是

菱形.

【详解】添加条件:AE||DF.

0EDIIAB,AE||DF

（3四边形4EDF是平行四边形

团4E=AF

团四边形力ED尸是菱形.

故答案为：AE||DF（答案不唯-）.

【题型5菱形的判定】

【典例5】如图，在团4"。中，连接力C,AB=AC,过点。作4c的平行线与84的延长线相交于点E,求证:

四边形力CDE是菱形.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定，掌握知识点是解题的关键.

由题意易得AEIICD，AB=DC,则有四边形ACDE是平行四边形，即可求证；

【详解】证明：团四边形是平行四边形，

团4EIIC0,AB=DC.

WEWAC,

团四边形ACDE是平行四边形，

又=AC,

^DC=AC.

回回ACDE是菱形.

【变式1】如图，在回4BCD中，点E,尸分别在40,8C上，且8E平分〃8C.若DE=6,连结EF.求证:

四边形A8FE是菱形.

【答案】见详解

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行

四边形的性质可得=3C,证明四边形49FE是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线

的性质得出N/BE=乙/EB,推出即可得证.

【详解】证明：（3四边形4BCD是平行四边形，

•.AD\\BC,AD=BC,

又♦:DE=CF,

.-.AE=BF,

国四边形力班法是平行四边形,

•••BE平分

•••LABE=乙FBE,

-ADWBC,

:.Z.AEB=乙EBF,

:.乙ABE=Z.AEB.

AB=AE,

(3平行四边形4BFE是菱形.

【变式2】如图，在A/IBC中，AB=BC,点。为AC的中点，连接B0并延长至点。，使得OB=0D,连接4。、

CD.求证：四边形H8CD是菱形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.

【详解】证明：,••点。为4c的中点，

•••AO=0C,

v0D=0B,

.••四边形48C。是平行四边形，

•・•AB=BC,

二四边形48CD是菱形.

【变式3】如图，平行四边形中已知E、F分别是BC、4。的中点，且AB14C.求证：四边形4ECr是

菱形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质可得4尸IICE,AF=CE,

可得四边形4EC户为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出4E=EC,即可得到四边形

AECr是菱形，熟知相关性质是解题的关键.

【详解】证明：•.•四边形ABCD为平行四边形,

:.AD||BC,AD=BC,

•••E、F分别是8C、的中点，

AFIICE,AF=CE,

二四边形4ECF为平行四边形，

vAB1AC

:.LBAC=90°

•.£为8c的中点，

:.BE=AE=EC,

四边形4ECF是菱形.

【题型6菱形的性质与判定综合】

【典例6】如图，在四边形4BCD中，ABWCD,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O,4c平分NBA”,过

点C作CE14B交A8的延长线于点E,连接。£

⑴求证：四边形43。。是菱形；

⑵若/18=6,BD=4,求0E的长.

【答案】（1）见解析

（2）472

【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知

识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键；

（1）先证明四边形力BCD是平行四边形，再由可得平行四边形488是菱形；

（2）根据菱形的性质得出08的长以及乙408=90。，利用勾股定理求HI0A的长，再根据直角三角形斜

边中线定理得出0E=：4C,即可解答.

【详解】（1）证明：•••

二Z-CAB=Z.DCA,

•••AC平分NBA。，

•••乙CAB=乙D4C,

.**乙DCA=Z.DAC，

:.CD=AD»

vAB=AD,

:.AB=CD.

•••御CD,

四边形ABC。是平行四边形，

AB=AD,

.•.四边形48。。是菱形；

(2)解：13四边形48co是菱形，

AC1BD,0A=0C=-AC,OB=0D=-BD=2.

22

:.LAOB=90°,

在Rt△力。8中，04=y/AB2-OB2=V62-22=472,

vCE1AB.

乙AEC=90°,

v0A=0C,

0E=-AC=0A=4V2.

2

【变式1】在四边形ABCD中,ADIIBC,点E在BC边上,AE=AD,过点。作DFIIAE,交BC的延长线于点F.

⑴求证；四边形为菱形；

(2)连接力凡DE交于点G,若AD=5,QG=VS,求49的长.

【答案】⑴见解析

(2)475

【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是

解答的关键.

(1)先证明四边形AEF。是三行四边形，再根据有•组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论：

（2）由菱形的性质得到=然后•利用勾股定理求得4G=2遍即可求解.

【详解】（1）证明：・・YD|出C,

•••4DIIEF,

-AEWDF,

・•・四边形4EFD是平行四边形.

AE=AD^

平行四边形AEFD是菱形；

（2）解：♦.♦四边形力E尸D是菱形,

AF=2AG,AFA.DE,

ALAGD=90°.

在RtAHGD中,AD=5,DG=V5,

根据勾股定理，得4G=y/AD2-DG2=2瓜

AF=2AG=4V5.

【变式2】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点0,过点。作DEII4C,过点C作CEIIBD,DE与CE

交于点E,OE=CD.

（1）求证:团力BCD是菱形；

⑵若DE=3,4。4E=30。，求BD的长.

【答案】（1）见解析

（2）BD=4V3

【分析】（1）根据平行四边形的判定结合己知证得四边形0CED是矩形，再利用的性质和菱形的判定

可得结论；

（2）根据（1）的结论得到CC=DE=3,OD=CE,NOCE=90。，再利用菱形的性质，含30。角的直角

三角形的性质和勾股定理求解.

【详解】(1)证明:WEWAC,CEWBD,

・•.四边形OCEO是平行四边形.

团0E=CD,

田平行四边形OCED是矩形，

0ZCOD=90°,

(3AC1BD,

的力BCD是菱形；

(2)解：由(1)可知，四边形OCED是矩形，

团OC=DE=3,OD=CE/OCE=90°.

回四边形力BCD是菱形，

回AC=2OC=6,BD=2OD.

12在RtAtCE中,­=30。,

团AE=2CE.

由勾股定理知：AE2-CE2=AC2,

回(2CE)2-Cf2=62,

解得CE=2V3,

EPD=2OD=2CE=45/3.

【点晴】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30。角的直

角三角形的性质和勾股定理.理解相关知识是解答关键.

【变式3】如图，在四边形力BCD中，ABWCD,过点。作的角平分线交48于点E,连接4c交DE于点O,

ACLBC,且ADIICE.

⑴求证：四边形力ECO是菱形；

(2)若力力=10,△力C。的周长为36,求CB长.

【答案】(1)证明见解析

(2)12

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股

定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键.

(1)先证明四边形4ECD是工行四边形，再根据等角对等边的性质，得到=即可证明四边形

4EC0是菱形；

(2)根据菱形的性质.得出04=之。。=8.由勾股定理可得。。=6,从而得到DE=12,再讦明四边

形BCDE是平行四边形，得到CB=DE，即可求出长.

【详解】(1)证明：-ABWCD,ADWCE,

•••四边形4ECD是平行四边形，Z.CDE=^AED,

••♦DE平分NADC,

•••乙ADE=乙CDE，

...LAED=Z.ADE,

:.AE=AD,

.•.四边形4ECD是菱形；

(2)解：・・•四边形4ECD是菱形,AD=10,

：.AD=CD=10,OD=-DE,OA=-OC,AC1DE,

22

•••△4CD的周长为36,

•••AC=16,

0/1=8,

在Rt△力。。中，OD=y/AD2-OA2=6,

:.DE=12,

•••AC1DE,AC1BC,

DE\\BC,

•••miBE,

•••四边形8CDE是平行四边形，

：•CB=DE=12.

囹随堂检测.十7t

1.菱形48CD的周长为24cm,那么菱形的边长是()

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可.

【详解】解：团菱形力BCD的四边相等，周长为24cm,

团边长=24+4=6(cm),

故选：C.

2.下列关于菱形的说法正确的是（)

A.菱形的四个内角一定相等B.菱形的对角线一定相等

C.菱形的四条边都相等D.菱形的周长和面积一定相等

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质.菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相

等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答.

【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意;

B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意；

C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意：

D、菱形的周长和面积•定相等是不正确的，故该选项不符合题意;

故选：C

3.如图所示，在菱形幺中，对侑线4C,8D相交于点0,若AC=6,BD=8,则菱形/BC0的面积为（）

A.12B.15

【答案】D

【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可.

【详解】解：团在菱形48co中，对角线AC,8D相交于点。，若/C=6,80=8，

回S菱形A%。=.8。=2*6x8=24,

故选：D.

4.如图，在菱形A8CD中，对角线力。与BD相交于点。，0E1A8,垂足为点£,若/B0E=30。，B0=2,

则力0的长为（）

D

A.2B.2A/3C.4D.4V3

【答案】B

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度宜角三角形的性质，由菱形的性质得出4cl8。,

结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进•步得H"OAB=30。，由含30度直角三角形的性质得出

AB=2OB=4,最后根据勾股定理即可得出答案.

【详解】解：•••四边形力BCO是菱形，

:.AC1BD,

•••乙BOE=30°,OE1AB,

•••Z.ABO=60°,

•••/-OAB=30°,

:，AB=2OB=4,

.•.在Rt△力08中，

AO=QAB?一OR2=^42-22=2A/3.

故选：B

5.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点。在原点处，顶点力在y轴上，已知点B的坐标为（4,8）,则

点C的坐标为（）.

A.(4,3)B.(4,5)

【答案】A

【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键.

过8作8。1y轴，延长BC交力轴于E,设菱形边长为4,在Rt△ABD,根据勾股定理可得(8-x)2+16=/,

解方程即可.

【详解】如图，过B作轴，延长8c交工轴于E,

易知四边形。E8D为矩形，设菱形边长为3,

v3(4,8),

:0E=BD=4,0D=BE=8,

在RtA48。中，

AD2+BD2=AB2,则(8-X)2+16=M,

解得％=5,

:•CE=BE-BC=8—5=3,

C(4,3).

故选：A.

6.如图，剪两张时边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为

445的四边形，当4ABe=60。时,

A.2B.4

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及

勾股定理.先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可.

【详解】解:13ABIICD,AD||BC,

团四边形A8CD为平行四边形，

如图，过点A分别作BC,CD边上的高为4?,AF,连接AC,

国两条纸条宽度相同，

团4E=AF,

回S四边形A8C0="E♦‘CO'即口0=00,

回四边形4BC。为菱形，

设菱形A8C。的边长为小

RNABC=60°,

RAA8C为等边三角形，

SAB=BC=AC=X,

在△力中，BE=-AB=-x,

RtB£122

由勾股定理得，AE=7AB2-BE?=^X,

厘形48°=4E♦8。=枭2=4"

Ex=2&,

^.AE=V6,即纸条宽度为在.

故选：D.

7.小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填.上一个适当的条件，该

条件可以是.

判

五

定

种

方

法▼

平行四边形,

【答案】四条边都相等（答案不唯一）

【分析】本题考查了菱形的判定定理，解题的关键是区分“由平行四边形判定为菱形"与"由四边形直接

判定为菱形”的不同条件，明确四边形直接成为菱形需满足的核心特征.

先回顾菱形的三类判定方法：•是平行四边形+•组邻边相等；二是平行四边形+对角线互相垂直；三

是四边形十四条边都相等（或对•角线互相垂直且平分）.题目中是从“四边形〃直接推导为“菱形〃，需排

除依赖“平行四边形"前提的判定条件，因此选择四边形直接适用的判定条件即可.

【详解】解：题目要求“四边形”直接成为"菱形”，需满足无需“平行四边形”作为前提的判定条件，因此

符合要求的条件可为“四条边都相等‘'（或"对角线互相垂直且平分”）.

故答案为：四条边都相等（答案不唯一，合理即可）.

8.如图，在M4BCD中，AB=9cm,BC=4cm.将C8沿84方向平移得到EF,则当8F=cm时，四

边形ZMFE是菱形，依据是.

【答案】5有一组邻边相等的平行四边形是菱形

【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是关键，根据有一组邻边相等的平行四边形是

菱形，结合平行四边形的性质分析即可求解.

【详解】解：回四边形ABCD是平行四边形，

国AB||CD,AD||BC,AB=CD=9,AD=BC=4,

当四边形D4FE是菱形时，AD=AF=4,

=AB-AF=9-4=5（'cm）,

上述证明的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形，

故答案为：①5；②有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

9.如图，菱形为的对角线力C、BD交于点、O,Z.CBD=30°,过点。作。EJ.8C于点E,若CE=2,则OE

的长为.

【答案】2V3

【分析】本题考查了三角形和菱形.熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是

解题关键.根据菱形的性质得Z80C=90。,根据"80=30%OE1BC,得“OE=90°-LBCO=30°.

得OC=2CE=4,即可求解.

【详解】解：团菱形力BCD中，AC1BD

1Z.BOC=90°

团乙CBD=30°

=BCO=90°-乙CBD=60°

团OE1BC

包乙CEO=90°

团NCOE=900-Z-BCO=30°

团CE=2

团OC=2CE=4

WE=>JOC2-CE2=2V3

故答案为：2V3.

10.如