函数与方程、函数模型的应用（易错专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题05函数与方程.函数模型的应用

：目录

i

i第一部分易错点剖析

!

!9易错典题9避错攻略9举一反三

j易错点1忽视零点存在定理的条件或不可逆性而出错

1易错点2二次函数零点分布问题考虑不全

，易错点3画函数图象时不准确而出错

；易错点4分类讨论时对分类标准把握不准确而出错

!易错点5数学建模时忽视实际意义而致错

I

!第二部分易错题闯关

I

易错点剖析

易错点1忽视零点存在定理的条件或不可逆性而出错

。易错典题

【例1】(2026广东广雅中学月考)已知函数)，=/("图象是连续不断的，并且是R上的增函数，有如下

的对应值表

X1234

y-0.241.213.7910.28

以下说法中错误的是()

A./(0)<0B.当x>2时，/(x)>0

C.函数/(x)有且仅有一个零点D.函数g(x)=〃x)+x可能无零点

【答案】D

【解析】对于A,因为函数)，=/")是R上的增函数，所以/(0)</(1)=-0.24<0,A正确；

对于B,因为函数.丫=〃月是R上的增函数，所以当x>2时，f(x)>/(2)=1.21>。，B正确：

对于C,因为函数)，=/(力是R上的增函数，/⑴<0且/(2)>0,即/(1)/(2)<0,所以函数/行)有且仅

有一个在区间(1,2)的零点(易错点)，C正确;

在关区间内单调的函数最多一个零点

对于D,因为函数g(x)=/(x)+x的图象连续，且g(O)=/(O)v/⑴vO,g⑴=〃1)+1>0,即g(O)g⑴<0,

所以函数g(x)=/(x)+x在区间(0,1)上一定存在零点(易错点)，D错误.

利用零点存在性定理判定零点的存在性

【错因分析】本题易忽略函数的单调性而认为C错误.

知识混淆：把零点存在定理与零点唯一性定理混用，误将“存在”当作“只有一个”.

概念模糊：忽略函数必须连续这•前提，只看端点函数值异号就判定有零点.

望文生义：误以为定理可逆，由函数有零点，直接推出端点函数值一定异号.

9避错攻略

【方法总结】牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能

反推端点异号；

【知识链接】

1.函数的零点

(|)定义：使得>Uo)=o的数*称为方程yu)=o的解，也称为函数大外的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：

有实谈)

(3)零点存在定理

若函数y=/U)在闭区间［小句上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即,*〃)：/(〃)

V0,则在开区间3,份内，函数y=/")至少有一个零点，即在区间(小份内相应的方程儿1)=()至少有一个

解.

［微提醒I(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程儿6=0的实根.零点一定在定义域内.

(2)由函数丁={0(图象是连续不断的)在闭区间［〃，可上有零点不一定能推出；(。)穴〃)<0,如图所示.

y尸〃刀)

\,

0aV/bx

2.二分法

对于一般的函数y=/(x),b］,若函数)，=人幻的图象是一条连续的曲线，人。)负份V0,则每次取区间的

中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.

9举一反三

【变式1・1】(24-25高三上•山东荷泽•期中)若函数/(工)=丁+加+Zzr+c有三个零点一1,1,公,

若c«2,3),则零点与所在区间为()

A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

【答案】A

f(l)=l+4+/?+C=0a+c=O

【解析】依题意可得<则

/(-l)=-l+«-/?+c=Oh——\

所以〃x)=V—C?-x+c,显然/(x)为连续函数,

乂ce(2,3),所以/(2)=6—3cv0,43)=24-8c>0,/(4)=60-15c>0,

/(5)=120-24c>0t/(6)=210-3500,

根据零点存在性定理可知/(x)的第三个零点七e(2,3).

故选：A

【变式1・2】(24-25高三上•陕西咸阳•期中)已知函数小)=sin(s+0,则“/(1)/(2"0”是“函数

/")在区间(1,2)上没有零点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为函数/(x)=sin(3+0)在区间(1,2)上的图象是连续不断的，

当.41)/(2)“，不能推出函数/(「在区间(1,2)上没有零点,故充分性不满足;

当函数在区间。2)上没有零点时,可以推出〃1)“2”0,故必要性满足；

所以“/(1)〃2)之0”是“函数f(x)在区间(1,2)上没有零点”的必要不充分条件.

故选：B

【变式1・3】(25-26高三上•上海•期中)己知〃外=/-。国+匕+a-1,且函数y=有且仅

有一个零点.若方程/(、)=k无解，则实数々的取值范围是().

A.(-<»,0)B.(0,+8)C.D,(1,+<»)

【答案】A

【解析】对任意的xeR,x2+l>l,故函数/(x)的定义域为R，

/(一力=(H-〃HI+(J+1+〃-1=-一小|+*+〃—1=/⑺,故函数为偶函数,

若函数存在一个非零的零点则f。也必为函数/(X)的零点，这与已知条件矛盾，

由F函数/(力有且只有个零点，则该零点必为0，即/(O)=l+“—l=a=0,

22

所以/(力=/+-71——l=x+l+-—―2>2J(X+1)-^—-2=0,

r+1X'+1Vv/r+1

当且仅当/+1="时，即当x=0时，等号成立，故函数/⑴的值域为［。,十⑹，

因为方程/(力=%无解，故4<0,即实数人的取值范围是(-。,0).

故选：A.

易错点2二次函数零点分布问题考虑不全

9易错典题

【例2】(24-25高三上•江西赣州•阶段练习)函数/*)=/-2"次+9的两个不同的零点均大于1的一个

充分不必要条件是()

A.me(2,5)B.ms(3,5)

C./ne(3,4)D.we(3,+oo)

【答案】C

A=4疗-36>0

【解析】由函数/(x)=f-2小+9的两个不同的零点均大于1,得”?>1,(易错点)

/(1)=10-2/H>0

此处易犯的错误是：所列式子不全面

解得3<〃?<5,

因此所求充分不必要条件是(3,5)的非空真子集，ABD不满足，C满足.

故选：C

【错因分析】本题在根据根的分右列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.

知识混淆:将零点存在定理直接套用于二次函数，漏判开口、判别式、对称轴等条件.

概念模糊：只关注端点函数值符号，忽略判别式、对称轴、区间范围对零点的限制.

望文生义:看到“有零点”只想到有解，不区分在指定区间内亦是全体实数上有零点.

9避错攻略

【方法总结】研究二次函数零点的分布，•般从以下三个方面考虑：

(1)一元二次方程根的判别式；

(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；

(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x=一方与区间端点的位置关系.

【知识链接】1.概念

二次方程+bx+C=0的根(即二次函数y=ax2+bx+c零点)的分布问题.

2.一元二次方程根（二次函数零点）的0分布

方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大,

一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

0分布结合判别式、韦达定理以及。处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围.

3.一元二次方程根（二次函数零点）的k分布

两根都小于在即两根都大于A即一根小于k,一大于人即

分布情况

XiX]

<k,X?<k>k,x2>kx,<k<x2

yt//一V

大致图象（4>0）4I

[A>0'A>0

J

得出的结论4f(k)<0

2〃2a

[m)>o仙)>。

Jn

大致图象（〃<0）Jfr1¥

'A>0fA>0

b>k

得出的结论<-----<k\~^/⑹>0

2a

皿)<。

A>0A>()

综合结论

b,上〉

V---<kak«/W<o

（不讨论a）2a2a

af(k)>0[•/(%)>。

4.一元二次方程根（二次函数零点）在区间的分布

两根仅有一根在（，〃,〃）内

一根右^卜〃,〃）内,另一根在

分布情况两根都在（加,〃）内（图象有两种情况，只画

（p,q）内，m<n<p<q

了一种）

大致图象

（«>0）1\L1

11■q*

A>0/(〃1)>0

“力。小)<。或,

得出的结论"〃)>()/(m)/(n)<0</(〃)/⑷<。

/(p)<0

b

m<--<n/U)>o

2a

y，Lny，Lzv

大致图象

（avO）:

)m/x】x：\nx>m/xinxAx)m/xinpxAqx

A>07W<o

/(,〃)<0

/'(〃)>°或,/(")小)<0

得出的结论/(m)-/(z:)<0

/(〃)>()〃P)/⑷<0

b

m<--<n

2aJ⑷<。

综合结论（不—/(〃，)/(〃)<o

讨论。）J(p)/k)<o

。举一反三

【变式2/】（23-24高三上•北京石景山•期中）若关于x的一元二次方程/一2仆+4=。有两个实

根，且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数。的取值范围是（）

A.（F-2）B.(2,+00)

c（HD.(^»,-2)u(2,-k»)

【答案】C

【解析】设/（x）=f-2以+4,

根据已知结合二次函数性质，作图

A=(-2«)2-16=4(«2-4)>0

则有《/(1)=5-2«<0

/(2)=8-4«<0

解得*.

故选：C.

【变式2・2】(25-26高二上•云南昆明•期中)已知x=2是函数/(x)=(x-2a)a-力)(a力eR)的零

点，则.z+从的最小值为()

A.0B.1C.4D.5

【答案】B

【解析】因为x=2是函数〃x)=(x—加乂工―A)(G〃£R)的零点，

所以(2—2。)(2—。)=0,即(1—。)(2—。)=0,则1—4=0或2—8=0,

解得a=l或〃=2,

当〃=1时/+/=1+〃2|,当且仅当〃=0时取等号，所以/十乂的最小值为］；

当6=2时/+/?2=/+424,当且仅当a=。时取等号，所以/+/的最小值为4；

又4>1,综上可得“2+从的最小值为］,此时a=l,b=0.

故选:B

【变式2・3】(25-26高一上•北京西城♦期中)已知函数/("=/+奴+k”0)=4且满足

VxeR,/(x)>/(l).

(1)求a,b的值；

⑵已知函数g(x)=/(x)-(〃-2)工有两个不同的正数零点不对

(i)求”的取值范围；

(ii)若|八一百二2,求〃?的值：

【分析】⑴根据函数“X)满足VxwR,⑴得二次函数对称轴x=-微=1，求出〃，再根据

/(0)=4求出。；

(2)将g(x)化为g(i)=Y-如+4,根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出，〃的取

值范围：根据1%-司=ja+工2)2-4工10即可求出m的值.

【解析】⑴函数〃力=/+，。+〃为二次函数，图象开II向上，对称轴为X=\,

又函数/⑴满足VxwR,/(x)>/(l),则-］=1,解得a=_2,

又f(0)=b=4,所以〃=一2,b=4.

(2)由(1)知〃工)二父一2x+4,

所以g(x)=/(x)-(z??-2)x=x2-/nr+4.

(i)因为函数g(x)有两个不同的正数零点X，々，

△=m1-16>0

所以,X]+工2=川>0，解得〃?>4,

中2=4>0

所以机的取值范围为(4,+力).

(ii)因为々|=+Z)2=V/w2-16=2,

所以加=20,又加>4,所以机=26.

易错点3画函数图象时不准确而出错

9易错典题

|3x+,-l|,x<0,

【例3】(多选题)(2026•河北衡水中学月考)已知函数/")=函数g(x)=/(x)-"2有四个

|lnx|,.r>0,

不同的零点且用<9<七<匕，则()

A.m的取值范围是(0,2)B.37+3”=:

C.2七+34的最小值是2&D.加越大，9+工4的值越大

【答案】BCD

【解析】画出/(力的图象，如下图所示:

-1o1%

对于A,由图可知()<"7<1(易错点1，则A错误.

当K0时，函数)，二|3"i-1|的图象存在一条渐近线直线y=1

X,+1X：+I

对FB,因为％V"2<与<S,所以3-1+3-1=0,lrtv3+ln.v4=0,

2

t2

所以3”+3=-,x3x4=1,则B正确.

对于项C,由图可知!<占<1，所以2&+S=2占+,22&,

e忍

当且仅当用=当,七=血时，等号成立，则C正确.

1(\\

对于选项D：)，=当+七=七+一在一』上单调递减.

le

因为机越大，/越小，所以%的值越大，则D正确.

【错因分析】利用函数图象解决函数零点时，因为所画图象不够标准而出错.

知识混淆:混淆函数单调性、奇偶性、渐近线等性质，把图像画错，导致零点个数、位置判断失误.

概念模糊:对关键点(零点、极值点、端点)坐标、符号判断不清，图像形状与位置画不准，误判零点.

不细算特征，凭感觉画图，忽略定义域与限制条件，得出错误零点结论.9

望文生义:只看解析式表面,

避错攻略

【方法总结】常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其

是在换元后要注意新元的取值范围.

【知识链接】1.利用描点法作函数图象的步骤

2.函数图象的四种变换

(1)上移及代>。)个单位长度一厂/(，)+1

y=/(x)|-⑵下移AgO)个单位长度一y=/(%)-田

莺换,

(3)左移A(A>0)个单位长度一产&她

⑷右移A/>0)个单位长度一尸必也.

⑴纵坐标不变，横坐标变为原来的J(a>0)

倍一,吆吟.

⑵横坐标不变，纵坐标变为原来的A(4>0)

宿一尸”(4)._______________________

(1)关于力轴对称一>¥=4*1.

y=/(%)卜(2)关于7轴对称一,=/(-*).

⑶关于原点对称一y=/(r).

(1)保留工轴上方图象I。”

----------------------->y=17(x)1.

将“轴下方图象翻折上去

翻折y=/^)h

⑵保留y轴右侧图象，并

作关于戈轴对称的图象一

【注意】(1)函数图象平移变换的八字方针：“左加右减”，要注意加减指的是自变量：“上加下减”，要注

意加减指的是函数值.（2）将），=/*）图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y=/（》S>0）的图

象.

3.与图象有关的常用结论

（1）图象的左右平移仅仅是相对于£而言，如果x的系数不是1,常需把系数提出来，再进行变换.

（2）图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.

Q举一反三

【变式3・1】（25-26高三上•江苏连云港•期末）已知函数〃x）=/cos心，则方程在区间

［T,3］上的实数根个数为（）

A.10B.8C.6D.4

【答案】C

【解析】当x«-3,3］时，由/（x）=*cos⑪=g可得3cos兀ueM

作出函数y=3cos7tx、,，=6-用在工£［一3,3］时的图象如下图所示：

由图象可知，函数），=3COSTLJ）：=e制在xe［-3,3］时的图象的交点个数为6,

故方程/（"=:在区间［-3,3］上的实数根个数为6.

故选：C.

【变式3・2】（25-26高三上•北京西城•期末）函数y=/（x）,-［一句和尸8⑴,工«0,司的图象

如图所示，其中0</?<右<4.则（）

A.方程/[月3]=。恰有一个解B.方程g[.f(x)]=。恰有两个解

C.方程/[/(力]=。恰有三个解D.方程g[g("]=。恰有四个解

【答案】C

【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择.

【解析】对A：令/(力=0,数形结合可知，Ac•或-c；

令g(x)=c,g("=-c'

又因为Ovbvcva,而g(x)e[-几可,

可知g(x)=c,g(x)=-c无解,故方程〃g(x)l=O无解,A错误;

对B：令g(x)=O,数形结合可知，x=c或()；

令f(x)=cJ(x)=O,因为

数形结合可知，方程〃x)二c有三个根，/(x)=0有两个解，

故方程0〃x)l=O有五个解,故R错误：

对C令/(耳=0,数形结合可知，x=c•或-J

令f(x)=c，/'(x)=-c，

由题可知，0<8<c<。，数形结合可知，方程/(x)=c有三个根，

方程/(X)=H无解，

故方程/"(x)l=O有三个解，故c正确；

对D：令g(x)=o,数形结合可知，x=c或。；

令g(x)=c,g(工)=0,乂

数形结合可知,g(x)=c无解,g(x)=O有两个解,

故方程0g(x)]=O有两个解，D错误.

故选：C

【变式3・3】(多选)(2025高三上•江苏•专题练习)设函数/")='，贝!下列判断正

X2+2.V+1,X<0

确的是()

A.方程/(工)=1的实数根为-2,0，,2

B.若方程〃x)=攵有3个互不相等的实数根，则k的取值范围为(1,+。)

C.若方程/(x)=〃有4个互不相等的实数根%,占，.儿(凡〈占<玉<%)，则/+：•卜+2104的取

值范围为［-7,-2)

D.若方程/(力="有3个互不相等的实数根%,占，工3(%<&<七)，则司占事的取值范围为(t，T)

【答案】ABC

【解析】A.当x>0时，令logM=l,得x=2或％=：：

52

当xKO时，令Y+2X+1=1,得/+24=0,解得：x=O或x=-2,

所以方程/(x)=l的实数根为20,92,故A止确；

B.如图，若方程f(x)=k有3个互不相等的实数根，则)，=/("与丁=4有3个交点，则攵>1,故B正

C.如图，当x<0时，f(x)=(x+})2,根据抛物线的对称性可知再+W=-2,

当工>0时，有咋|占=logTZ,即10gl七二一嘎-4,所以logj3+logjL°,即logi（£Z）=。，所

--22222

以&4=1・

//\+2X2A-=—+2/.

因此34

（内+乙）43七

由f(x)=l的实数根并结合函数的图象，可知七£

因为函数户口2回别上单调递增，且当T时，I当e时，I

所以三十2公«-7,-2),所以+［凡+2/"的取值范围为卜7,-2),故C正确:

D.如图，由©的说明可知，X2七=1，内占X3=不，若方程/(》)=k有3个互不相等的实数根，则后>1.

当上=I时，方程/（力=%有4个互不相等的实数根，分别为-2,0咳,2,x,=-2.

所以不<-2,则中洛的取值范围为（田，-2）,故D错误.

故选：ABC.

易错点4分类讨论时对分类标准把握不准确而出错

9易错典题

【例4】（2。26江西赣州一中质检）己知函数/a"+'黑°,若有另一函数g（加矿+心

有且仅有5个不同零点，则常数4的取值范围为（）

A•匕（\旬5\B,匕（2，3J]C.■[0,-I[jD.151

【答案】C

/wJH^>0

【解析】山函数e+2,xW0,

/（x）=e-v4-2=-+2/

当了40时,I"，所以函数/*）在（-8，0]上单调递减；

当0VXV1时,fW=-\nxt所以函数/（x）在（0，D上单调递减；

当XN1时,〃x）=lnx,所以函数f（x）在"内）上单调递增；函数图象如下:

令f（'）=r,由函数f（x）的图象及性质可知,

当°此方程/*）=，有两个不同的根;

当,之3时，方程/（"）='有三个不同的根（易错点）;

对：分类讨论时，易犯错误是：讨论不全或确定不了讨论的标准

函数月")二42(x)-2/(x)+1-2。芍且仅有5个不同零点，

就等价于函数g⑺='/-2/+1-2」有2个零点，且一个零点在。3),另一个零点在⑶内).

当。=0时,g⑺二一2+1只有一个零点，不符合题意；

所以"0.此时二次函数g")=G、2f+l-2〃，

且』=(一2-一4a(1-2。)=&/_4。+4㈣4)+2/°恒成立.

a>0

1

a>0Ja<2

1«g(0)=l-2〃>05]

当4>0时，其图象的对称轴为,恒(3)=7。-540,-一5，解得易错点):

要注意对a分类讨论

当。<。时,此时其图象的对称轴”,二次函数且⑺=+2a在(0,+8)上至多有一个根，故不

符合题意.

(0—)

综上可知，常数a的取值范围为‘2.

【错因分析】研究含参数的函数的零点时，必须注意对参数分类讨论，讨论时易犯的错误是讨论不全面或

者不能确定讨论的标准.

知识混淆：混淆参数讨论对象，把开口方向、判别式、根大小、区间位置混在一起，逻辑混乱.

概念模糊：不清楚以零点个数、单调性、根大小为标准，讨论重复或遗漏，导致结果不全.

望文生义：只看“有零点”字面意思，不结合定义域、区间范围，盲目分类，与题意不符.

9避错攻略

【方法总结】对于含有多个参数的函数零点问题，要注意对各参数分别分类讨论，讨论时要注意做到不重不

漏.

【知识链接】1.求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令火幻=0，方程解的个数即为函数零点个数.

(2)定理法：首先确定函数_/u)在区间[。，句上是连续不断的曲线，且贝〃加力〈0，再结合函数的图象与性质

确定函数零点个数.

(3)图象法：把原函数拆分为两个简单函数，两函数图象的交点个数即为函数零点个数.

2.利用函数零点求参数范围的方法

3.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高

线问题，重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等“，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利

用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.

9举一反三

【变式4・1】(多选)(25-26高三上•浙江宁波•月考)已知定义域为R的函数〃力3法+1

在区间(0,2)内恰有一个零点，下列结论正确的是()

A.若〃=—1,则/?>—1B.若Z?=0,则〃<一，

68

I559

C.若。=—,则b>—D.若〃=1,则a4二或。=-

2688

【答案】ABD

【解析】注意到〃。)=1>0,/⑵=&/—6力+1,

对于A,若〃=-1,/(x)=-2d-沏:+1,开口向下，故要使函数“力在区间(0,2)内恰有一个零点，只

7

需f(2)v0,即为_7<0,解得八一二故正确；

6

对于B,若b=0,/(A)=2OI-2+1,/(0)=1>0,要使函数/(“在区间(0,2)内怡有一个零点，只需开口

向下且/⑵<0,即/(2)=8〃+1<()且"0,解得故正确；

O

对于C,若。=3，/(耳=/一3阮+1,要使函数”工)在区间(0,2)内恰有一个零点，只需/(2)<()或

[△=0

52

八3〃十解得心?或〃=[，故错误；

0<—<263

2

对于D,若〃=1,f(x)=2ax2-3x+\,

当avO时，函数开口向下,要使函数f(x)在区间(0,2)内恰有一个零点,只需/⑵<0,即

/(2)=8«-5<0,解得〃<■!，即a<0时满足题意；

O

当〃=0时，/(A-)=-3x+l=0f#j=l,满足题意；

A=0

当心0时，要使函数在区间(0,2)内恰有一个零点，只需R2)$0或解得或

.<4^<

9

综上，若〃=1时，要使函数/(“在区间(0,2)内恰有一个零点，则或故正确.

OO

故选：ABD

【变式4・2】(25-26高三上•山西晋中•期末)已知函数/(<)=卜::若"X)有3个零点，则

«e-l,x>1,

实数。的取值范围是()

A.(-co,l)B.(0,1)C.(0,2]D.；/)

【答案】B

【解析】由题意.当x>l时,/(x)=«ev-,-l,4i/(x)=«ev-,-l=0,

(可知。〉()，否则此时函数无零点，而xWl时，/(力=1？+公最多有2个零点，不合题意)，

可得x-l=ki,，即x=l-ln。，要使这个零点存在，需使解得

a

当xWl时，til/(x)=-x2+av=-X-v-^)=0,可得工=()和入="，因0W1,

要使人力在X41上有2个零点,需使且"0.

由上分析可得：

当0<avl时，在上有2个零点x=0和x=a,在x>1上有一个零点x=l-lna,共有3个零点，符合

题意；

当”=1时，在上没有零点，在xKl上有2个零点x=0和x=l,不合题意；

当。>1时，在x>l」二没有零点，在xWl上只有1个零点x=0,不合题意；

当〃<0时，在上有2个零点X=0和4=4,在X>1时无零点，不合题意；

当〃=0时，在XW1上有1个零点x=0,在X>1时无零点，不合题意.

综上，实数。的取值范围是(0,1).

故选:B.

【变式4・3】(25-26高三上•辽宁沈阳•期末)已知函数/(D=1OA」(X+1),"-1」，/为函数

ae

/(')的一个零点，则2%十01叫的取值范围为()

A.(羽B.仁+田C.f-,11D.仁+1，3)

le)leleJle)

【答案】B

【解析】由题意知函数〃x）=hu-5（x+l），/为函数/（"的一个零点，

则卜％-,（题+1）=0,显然用工1，则4二产。，（%>0，/工1）,

ciin.%

由于故千11<_1-1,

eIn.%e

当%>1时，In%>。,.•.严>0,不符合题意，

当0</<1时，ln.q<0,则可化为（%+1）Inx>0,

ine0

4>^(x)=(x+l)+fl+ljlnx(O<x<l),

由于1+：>0,则y=（l+』lnx,1=x+l均在（0,1）上单调递增，即得g（x）在（0,1）上单调递增,

乂gmriYfnini=[iil.4=0,

ke；=1e+1八I+e；e+J

故当g（x）>0时,-<x<1,即得一v%o〈l：

将〃=#-，(%>0,%工1)代入2玉+«lnx0得2/+In%=3%+1,

III••A111人Q

由于,<改,<1,故3+1<3玉+1<4,

即2.十aln/的取值范围为但十1,41,

故选:B

易错点5数学建模时忽视实际意义而致错

9易错典题

[例5]（25-26高一上•四川南充•期中）如图1,有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形A8CO的下

底A8是E的直径，上底CO的端点在圆周上，记线段AD的长度为x,梯形人5CO的周长为丁.

（1）写出》与入•的函数关系式，并求出它的定义域;

（2）当梯形A88的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线/：工=，（00）与下底A8交

于尸.记梯形ABC。位于直线/左侧的图形的面积为/（/）,求函数/（，）的解析式；

⑶在（2）的条件下，当/（/）=6时，求M的长.

【解析】（I）如图，过。作OO_LA8于。，圆心为连接初，设|。同=6，则卜。=2-/〃，

由|DO『=|A£f_|AO|2=|ED|2-|O/i|2,得/_(2_/日=2?_病,

r2(T2\2

整理得m=2—工，.•・3=22--=4―

41114yl2

x~x~

y=4-—+2x+4=-—+2x+8,

22

A>Oj_=nZ-j〉。，即f<8，解得OVX<271（易错点）.

注意各线段长均为正数

・•.y与X的函数关系式为丁=一±+2.M+8,0<x<2\/2.

(2)

y-2

y=-L—+2x+S=--(x-2)'+\0,0<x<2\/2，

二.当x=2时，>取得最大值，此时|4q=2,|A0|=|。目=1,|3=2,|。0|=6,

•••sinNA=阴="故等腰梯形A8CD的底角为60’,

面积为S=3（2+4）xG=3石,

|四2

令|A尸|=/,当0</41时，=.四=空产;

当“43时，/«)=¥+(-1)、与="_曰；

当3</44时，/（,）=36—（（4一/）.6（4—，）=一亭产+4后一56;

V3r--,l</<3

2

--z2+4^/-5x/3,3<f<4

2

(3)7/(/)=->/3/-y,l<r<3

令f（/）=G则0<Yl时，争=6，解得£=±&（舍去）；

当1<区3时，底_与=6解得满足条件；

当3<Y4时，r+4^-5>/3=>/3»解得/=2（舍去）或f=6（舍去），

2

综上所述，|AF|=E，故忸F|=4-|A丹

【错因分析】只关注代数式成立，忽略人数、长度、时间等实际限制，导致定义域、最值错误.

知识混淆：将纯数学函数与实际模型混用，不区分抽象定义域与现实取值范围.

概念模糊：对白变量实际意义、约束条件理解不清，漏写定义域，结果不符合现实.

望文生义：仅按文字表面列式，不结合实际情境，结果出现负数、小数等不合理解.

9避错攻略

【方法总结】建模前先明确变量实际意义，严格确定定义域；列式后检验是否符合现实约束，验证结果合理

性；不忘单位统一，确保函数与情境匹配，杜绝纯代数思维.

【知识链接】

1.指数、对数、幕函数模型性质比较

函数y=axy=lo&K尸炉

性质3>1)3>1)(»>())

在（0,+8）上的增减

单调递增单调递增单调递增

性

增长速度越来越快越来越慢相对立稳

随X的增大逐渐表现为与随X的增大逐渐表现为与

图象的变化随〃值变化而各有不同

V轴平行X轴平行

值的比较存在一个刈，当刀＞刈时，有logdVVV"

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型凡。=办+"小人为常数，。工0)

二次函数模型yU)=4f+br+c(a,b,c为常数，aWO)

与指数函数相关

段)=府+m,b,c为常数，。＞0且aWl,bWO)

的模型

与对数函数相关

/(x)=〃ogux+c、(mb,。为常数，。＞0且“W1,0W0)

的模型

与幕函数相关的

«¥)=a1n+打〃，b,n为常数，aWO)

模型

3.已知函数模型解决实际问题的步