第八章 一元二次方程 全章同步练习-2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章一元二次方程

1一元二次方程

第1课时一元二次方程

基础夯实

知识点——元二次方程的定义

1.（2024.东营东营区月考）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.yfSx2-y[2xy-l-Q

B.-/+5尸7=0

C.cDr+bx+c=0

D.x（x-3）=2+x2

2.关于x的方程G〃+1）f+2加r~3=0是一元二次方程，则m的取值是（）

A.任意实数B.n#1

C.m#-1D.m>l

知识点二一元二次方程的一般形式

3.（2023・济南商河县期末）将一元二次方程G+a）2="化成/一8厂5=（）的形式，则a,b的值分别是（）

A.-4,2IB.-4J1

C.4,21D.-8,69

4.一元二次方程f+4x=3的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（）

A.IB.8C.7D.2

5.一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则这个一元二次方程是一

知识点三根据问题情境列一元二次方程

6.《九章算术》中记载一个数学问题，其大意为：有一个长方形的门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，

问它的高与宽各是多少？设门框高为x尺，依题意列方程为（）

A.X2+（X+6.8）2=102

B.X2+CV-6.8）2=102

C.X（J+6.8>102

D.x（x-6,8）=IO2

7.（2024.眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，

水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程

为（）

A.670x（|+2x）=780

B.670x（l+.r）2=780

C.670x(1+'2)=780

D.670x(|+x)=780

8.小张的书法作品荣获学校书法匕赛一等奖.作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；将书法作品贴在

一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度均相同；矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍.设书

法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是()

A.(5+2x)(3+2x)=2x5x3________

B.(5+x)(3+x)=2x5x3JIf

C.2(5+2x)(3+2x)=5x3|『S」|

D.(5+2x)(3+2x)=5x3

易借点1确定各项时未化为一般形式而出错

9.若一元二次方程2?-(〃?+1”+1=工的一次项系数为-3,则m的值为.

易借点悟2忽视二次项系数不为零的条件而致错

10方程(〃什2)£：+3必+1-0是关于x的一元二次方程，则()

A.m=±2B.m=2

C.m=-2D.m,±2

能力提升

11.下列说法正确的是()

A.形如af+bx+LO的方程称为一元二次方程

B方程(x+2)(x-2)=0是一元二次方程

C.方程r-2广1的常数项为0

D.一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0

12.若关于x的一元二次方程(犷-3)『+/-9什5化为一般形式后不含一次项，则m的值为.

13.如图，小明同学用一张长11cm,宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm?的无盖长方体纸盒，他将纸

板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为xcm,则可列

出关于x的方程为.

14下列方程是整式方程吗？若是整式方程，是一元一次方程还是一元二次方程?

(l)3x+2=5x-3;

⑵『=4;

(3)(X-1)(X-2)=X2+8;

(4)(x+3)(3x-4)=(x+2)2.

15一元二次方程。〃+1万6/2尸0=0化为一般形式后为6『+10x7=0,求以ah为两条对角线长的菱形的面积.

16根据题意列方程,并将其化为一元二次方程的一般形式.

（1鹿加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握于10次，有多少人参加聚会？

（2）某兴趣活动小组成员将自己收集的资料向本组其他成员各送T分,全组共互送了20份，这个小组共有多少

名成员？

素养培优

17［抽象能力］若3ff+1=0是关于X的一元二次方程，求a,b的值.下面是两名同学的解法.

甲：根据题意，得｛彳曹：解得｛曷乙：根据题意，得产：靠;或看1号解得｛篇或

你认为上述两名同学的解法是否正确？为什么。如果都不正确，请给出正确的解法.

第2课时一元二次方程的解的估算

基础夯实

知识点——元二次方程的解

1.下列各数中，是方程『=4厂3的解的是（）

A.-lB.OC.lD.2

2.已知方程f+h—2=0的一个根是1,则k的值是___.

3.（2024.济南莱芜区校级月考）已知x=n是方程M+xT=0的根，则式子3H2+3H+2025的值为,

4.已知x=-5是方程f+mx-10=0的一个根.求x=3时，f+心-10的值

知识点二一元二次方程的解的估算

5.［教材P53随堂练习T2变式昉程/+2*-10=0的一个近似解（结果精确到（）.1）是（）

A.2.4B.-4.2C.-4.3D.-4.4

6.根据表格中的信息，判断关于x的方程af+bx+tM）.。?。和那一个解x的范围是（）

X3.243.253.26

ax2+bx+c-0.020.010.03

A.x<3.24B.3.24<x<3.25

C.3.25<x<3.26D.3.26<x

7.观察下列表格，估计一元二次方程/+3x-5=0的正数解在（）

X-101234

x2+3x-5-7-5-151323

A.-1和。之间B.0和1之间

C.1和2之间D.2和3之间

8.在探究一元二次方程M+12L15-0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表：

X1.11.21.31.4

x2+⑵-15-0.590.842.293.76

小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解.这个近似解的十分位是

9.可以用如下方法估计方程X2+2L10=0的解：

当x=-4时.『+2t-10=-2<0,当x=-5时/+2工-10=5>0,所以方程有一•根在-5和-4之间.

（1伤照上面的方法，找到方程9+入-10=0的另一个根在哪两个连续整数之间.

（2）若方程W+2叶片0有一个根在。和1之间，求c的取值范围.

易借点忽略隐含条件致错

10（遂宁中考）已知关于X的一元二次方程（4-1）『-2什42-1=0有一个根为*=0,则a的值为（）

A.OB.±lC.lD.-I

能力提升

11根据关于X的一元二次方程/+〃行行0,可列表如下，则方程f+px+g=O的正数解满足（）

X0.511.11.21.31.4

x2+px+q-2.75-1-0.59-0.160.290.76

A.解的整数部分是1,十分位是1

B.解的整数部分是1,十分位是2

C.解的整数部分是1,十分位是3

D.解的整数部分是1,十分位是4

12.（温州中考）我们知道方程占2广3=0的解是币=5=-3,现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）-3=0,它的解是

（）

A.肛=1即=3B.修=1片=-3

C.町=-1用=3D.,=一匕2=-3

13若a+b+c=0,则关于x的方程qf+bx+cRS#））必有一根是_______.

14已知m是方程1-3x+l=O的一"b根，求代数式（（〃L2）2十（旭-3）（加+1）的值.

15定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程1

已知关于x的一元二次方程，=3x与/-2什〃l1=0是“友好方程”，求m的值.

16如果a是一元二次方程/与/,片。的一个根，-a是一元二次方程r-3入-/〃=0的一个根，求a的值.

17［情境题］某大学为改善校园环境，计划在一块长80m,宽60m的长方形场地中央建一个长方形网球场,网

球场占地面积为35001校，四周为宽度相等的人行走道,如图，若设人行走道宽为xm.

⑴请列出相应的方程；

（2）x的值可能小于0吗?说说你的理由；

（3）x的值可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由；

（4H尔知道人行走道的宽是多少吗?说说你的求解过程.

xm

m：

2用配方法解一元二次方程

第1课时用直接开平方法解一元二次方程

基础夯实

1.方程》2-2-0的解为（）

A.x=v^B.x=2

C.x=-v5D.x=±v5

2.方程（x+1>=9的解为（）

A.X|=2A2=_4B.勺=-2即=4

C.Aj=4出=2D..丫］=-272=-4

3.如果关于x的方程（x-9）2=〃?+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（）

A.m>3B.m>3

C.m>-4D.m>-4

4.（2023・临沂临沐县月考）关于x的方程。&+“?尸+方=0的解是X|=2K2=T（a,b,m为常数、a?0）,则方程a（x+m+2）2

+。=0的解是___________.

5.若一元二次方程苏=/）&办））的两个根是m+l与2m-7,则m的值是______.

6.解方程：

（1）^-1=80;

(2)3.24-1.44/=0；

(3)5/-7=5;

(4)9f+4=-12x.

能力提升

7.若方程17=（）的正数解是m,则m的取值范围是（）

A.l<m<2B.2<m<3

C.3<m<4D.4<m<5

8.下列关于x的方程一定有实数根的是（）

A.ax+l=OB.av2+l=0

C.x+a=OD.『十所。

9」整体思想偌（〃2+/，―3）2=25,则°2+肩=（）

A.8或-2B.-2

C.8D.2或-8

10在等式（+5）2=49中，口内的数等于

abab

«ctdbe•

11」符号意识I将4个数a,b,c,d排成2行2歹I」，两边各加一条竖直线记成，d定义cd上述记号

x+1X-1

就叫作二阶行列式.若-Zz+1='则x=,

12小华在解方程（x+6）2-9=0时,解答过程如下：

解：移项，得（/6）2=9,........第一步

两边开平方,得x+6=3..........第二步

所以x=-3......................第三步

小华的解答从第步开始出错，请写出正确的解答过程.

13解方程：

⑴2+3)2-54=0;

(2)V2(6-V)2=128V2;

(3)4f+⑵+9=81;

(4)4(ZL5)2=9(3.L1)2.

14在实数范围内定义一种新的运算，其规则为ab=a2~b2.

(1)1艮据这个运算规则，计算3n-5)的值；

(2球关于x的方程(x+2)*5=0的解.

素养培优

15若关于x的方程(。仔■制/+b=0的解是町=2即=-1(4,叽,均为常数，a/)),则方程。6入-/〃+1/+人=0的解是

()

A.修=1司=-2

B.5=142=°

C.%]=39=-2

D.X|=3岗=0

第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

基础夯实

知识点一二次项系数为1的一元二次方程的配方

1.（2024.济宁任城区校级期中）用配方法解方程x2-2x-3=0时，配方后正确的是（）

A.（X-2）2=-2B.（X-1）2=4

C.（X-1）2=-2D.（X+2>=4

2.（2024.临沂兰陵县模拟）若一元二次方程/+〃?吠1=）经过配方,变形为（x+3）2=n的形式厕mn的值为

知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

3.方程F=4K的解是（）

A.x=±v5B.X|=2rt2=-2

C.X|=X2=4D.X|=0^2=4

4.（2024.荷泽成武县模拟）一元二次方程》2一4.18=0的解是（）

A.5=2+275即=2-275

B.町=-2+275^2=-2-2V5

C.X|=2+2V2^2=2-2V2

D.x1=2V3rr2=-2V3

5.已知方程x2-6x+g=0可转化为x-3=±V7,,则q=.

6.［教材P56例1变式］解下列方程：

⑴1+31=0;

(2)小一21=0.

易借点悟配方时因方程两边没有同时加一个数导致出错

7.把方程x2-4x-7=0化成。-加）2寸的形式，下列变形正确的是（）

A.（X—2）2=3B.（X-2）2=I1

C.CV-4）2=11D.（X-2）2=7

能力提升

8.如果用配方法可以将关于x的方程F+5x+n=0变形为（x+p）2=9,那么用配方法也可以将关于x的方程F

-5x+〃=T变形为下列形式()

A.+1)JOB.-8

C.(x-p-1)2=8D.(x-p)2=10

9.（2024.东营）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0时，将它转化为（/。氏〃的形式，则的值为

（）

A.-2024B.2024C.-lD.1

10［作差法］已知多项式片22,Q=x2_$（x为任意实数）,则多项式P与Q的大小关系为（）

A.P<QB.P〉Q

C.P=QD.P<Q

11阅读材料，并回答问题：

小林在学习一元二次方程时，解方程：/Mx。：。的过程如下：

解：x2+4x-2=0

x2+4x=2①

炉+以+4=2②

（工+2）2=2③

X+2=±V5④

x+2=v5yr+2=-v?⑤

.’□=15-2^口=-4-2⑥

问题：（1）小林解方程的方法是（）

A.直接开平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

⑵上述解答过程中，从第步开始出现了错误（填序号）,发生错误的原因是：

（3底下面的空白处，写出正确的解答过程.

12若a为方程的正根，b为方程产—2产1=13的负根，求a+b的值.

13如图，某农场有一块长40m、宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修

建一条等宽的小路，要使种植面积为1140求小路的宽.

素养培优

14（2024.淄博张店区校级月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2

-2+3,由于》2—2计3=（1声2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时,多项式f-2x+3的值是相等的，例如，当

x-l=±l.&Px=2或0时x2—2x+3的值均为3;当x-1=±2.即x=3或-1时，/_入+3的值均为6

于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-t取任意一对互为相反数的数时,该多项式的值相等,

就称该多项式关于x=t对称.例如/_〃+3关于x=l对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

⑴多项式/+以+5关于x=_______对称；若关于x的多项式.工2一2加+3关于x=-4对称，则b=;

（2）关于x的多项式.F+ax+c关于x=-l对称，且当x=a时，多项式的值为5,求x=4时,多项式/+纨+°-4的值.

第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

基础夯实

知识点一用配方法对方程进行变形

1.用配方法解一元二次方程2.F-7x+6=0,下面配方正确的是（）

2.（聊城中考）用配方法解一元二次方程3/+6xT=0时，将它化为（工+。）2=〃的形式，则a+b的值为（）

A.B.gC.2D.j

知识点二用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

3.方程2/+3x+l=0的两个根是（）

C.1厂；D.

4.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3/十本-1—0的具体过程.

35+21=0.

解：第一步：~+|厂；=0,

第二步：«+：尸3，

第三步：，+2q"+(y,

第四步：(升^总

工+；=±|,口修=打2=T.

以下四条语句与上面四步对应:①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方

法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方二次项系数化1,

方程两边都除以二次项系数"，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是

5」教材P59例3变式］解下列方程:

⑴沁沁2=0;

(2)2.X2-2X/2A-+1=0;

(3)3(x-l)(x+2)=x-7.

易错点配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加

6.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容.

解方程：2『-8入-18=0.

解：移项,得2--8x=18,①

两边同时除以2,得4-9,②

配方，得F-4x+4=9,③

即（厂2）2=9,

.\x-2=±3,®

币=5出=_1.口

上述过程中有没有错误?若有，错在步骤____（填序号），原因是_______________________.请写出正确的解答过

程.

能力提升

7.用配方法解下列方程，配方错误的是（）

A.F+2L99=0化为（"1）2=100

B.2?-h-4=0化为=

\4/16

C.f+8x+9=0化为（（X+4）2=25

2

D.3/-4x-2=0化为（x-g）=y

8.当x=时,代数式3『-2"1有（填“最大值”或“最小值”），这个值是______.

9.学校计划利用一块空地修建一个学生自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，建造车棚的面积为8

0平方米，已知新建板墙的木板材料的总长为26米，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米

宽的门1如图），那么车棚的长与宽分别为多少米？

素养培优

10【阅读材料】我们都知道a2+2ab+b2=（a+b）2,"-2aHb2%-b）2,

于是：-2.v+40x4-5

=-2（『-20幻+5

=-2（/-20x310+102-1（）2）+5

=-2[（X-10）2-100]+5

=-2(X-10)2+205.

又n(.r-10)2>0,

L-2(X-10)2<0,

C-2(X-I0)2+205<205,

-+40x+5有最大值205.

【解决问题】如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形羊圈ABCD和一个边长为

1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米.

（1）请用含*的代数式表示BC的长；（写出具体解题过程）

（2般山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S,试用含x的代数式表示S,并计算当x=5时S的值:

（3斌求出山羊活动范围的面积S的最大值.

3用公式法解一元二次方程

第1课时用公式法解一元二次方程

基础夯实

1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a,b,c的值.对于方程-4/+3=5》,下列叙述王确的是（）

A.a=-4,b=5,c=3

B.a=-4,b=-5,c=3

C.a=4,b=5,c=3

D.a=4,b=-5,c=-3

2.用公式法解方程VL2+4V5x=2夜.其中求得%4以•的值是（）

A.I6B.±4

C.32D.64

3.已知a是一元二次方程f-3r5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）

A.-2va<-1B.2<a<3

C.-3<a<-4D.4<a<5

4.［教材P62例1变式］用公式法解下列方程：⑴『-5,计3=0;

(2)3『+5尸一1;

(3)5X2-3X=X+1.

易错点悟未化一元二次方程为一般式而错用公式法

5.解方程x2=4"2时，有一位同学解答如下.

解Va=l,b=4,c=2,

□Z)2-4i7c=42-4x1x2=8,

h~-4ac-4±V82士5历,

即X］=_2+J=_2_V1

请你分析以上解答有无错误，如果有错误，请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.

能力提升

6.若关于x的一元二次方程的根为x=生左亭亘，则这个方程是()

A.f+4x7=0B..r2-4x-l=0

C./+4.L5=0D.『一4工一2=0

7」新定义］在实数范围内定义一种运算…，使(《EQS+l；2-必则方程(x+2)*5=0的根为()

A.X\=X2=~2

B.町=-242=3

D.Xi=——^2=

8.已知代数式7x(x+5)与代数式•-6”-37x-9的值互为相反数则x=,

9」教材P64例2变式］解下列方程：

(l)(x-3)(x-2)=4;

(2)3/+1=2限

10如图是一个正方体的展开图.标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面和右面所标注代数式的

值相等，求x的值.

11已知a,b,c为实数.且Va2-3a+2+OZ?+1U+(C+3)2=0,求方程ad+/?x+c=0的根.

素养培优

12」运算能力］一元二次方程加+加出力⑦和）的两根为与即，，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a

6V-A-|JD（门2）=0,即a^bx^afx-xjD（xr2）、这样我们可以在实数范围内分解因式.

例：分解因式：2『+21.

解：□2X2+2X-1=0的根为x=三”.即工产^^^死二三出，

「d+2广1=2（L¥）

（广芋）=2（厂”）8竽）・

试仿照上例在实数范围内分解因式：3X2-5X+1.

第2课时一元二次方程根的判别式

基础夯实

知识点一利用判别式判断方程根的情况

1.（2024.泰安泰山区期末）下列对一元二次方程23+6尸1=0根的情况的判断，正确的是()

A.有两个不相等实数根

B.有两个相等实数根

C.有且只有一个实数根

D.没有实数根

2.下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（）

A./-4x+4=0

B..¥2-WX+4=0

C.X2-4X-W?=0

D.AT-4X-W2=0

3.若一次函数y=kx+b（k#））出勺图象经过第一、二、四象限，则方程力好-2什%=（）有一个根.

知识点二判别式的运用

4.若关于x的方程/-〃?壮6=0没有实数根，则m的值可以是（）

A.7B.6

C.5D.4

5.（2024.泰安）关于x的一元二次方程3e"40有实数根，则实数k的取值范围是

99

A.©B.七一

8o

99

c•抬D.Y

易错点1应用根的判别式时，忽视二次项系数不为0

6.关于x的一元二次方程（相-5）12+2工+2=0有实根，则m的最大整数值是____.

易错点2未指明方程是一元二次方程时，忽视一元一次方程有实数根的情况

7.关于x的方程"后-3"2-0有实数根，则m的值不可能是（）

A.-lB.0

C.lD.2

能力提升

8.若关于x的一元二次方程ad-4壮2=0有两个实数根，则a的取值范围是（）

A.a<2B.a<2

C.a<2且a翔D.a<2且a翔

9.若使函数V尸的自变量x的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（）

A.O<b<cB.O<c<b

C.b<O<cD.b<c<0

10若a,b,c是^ABC的三边长,则关于x的方程x2-（。+外什+2=0的根的情况是（）

A.无实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法确定

11已知方程，-4.什2=0,在口中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是—

.（填写一个符合要求的数字即可）

12.已知等腰△ABC的底边长为3,两腰长恰好是关于x的一元二次方程per2-智+3-0的两根，则△ABC

42

的周长为.

13.已知Xi,X2是关于X的方程2后+必-衣+1=0的两个不相等的实数根.

（1）求女的取值范围；

（2）若k<5.且k,xi,x2都是整数，求k的值.

14若等腰三角形的一边长为4,另两边长是关于x的一元二次方程x2-（〃?+3）x+3m=O的两根、求m的值

素养培优

15若关于x的一元二次方程G2+加+片（）但川）的根均为整数，贝J称方程为叶夬乐方程:通过计算发现，任何一个

叶夬乐方程''的判别式/-4班一定为完全平方数.现规定F（a，bc）=誓为该“快乐方程”的寸夬乐数.例如，,快乐方程

4a

限-3厂4=（）的两根均为整数其快乐数”F（1,3-4）=二"（二）-（-3）2=_=，若有另一个，，快乐方程，，加+蛇力川口刈京

“快乐数'F(p,q,r),且满足r・F(a,b,c)=c-F(p,q,r),则称F(a,b,c)与F(p,q,r)互为“开心数”.

(1)“快乐方程’喉-21=0的••快乐数为;

(2)若关于x的一元二次方程x2-(2〃LI)X+〃，_2〃?—3=0(〃7为整数，且l<m<6)是'快乐方程二求m的值,

并求该方程的“快乐数”；

(3)若关于x的一元二次方程F-mx+m+1=0与x2-(n+2)x+2n=0(m,n均为整数)都是,快乐方程"，且其''快乐数"

互为“尸心数，求n的值.

4用因式分解法解一元二次方程

基础夯实

知识点一用因式分解法解一元二次方程

1.一元二次方程的解为()

A.x=-2B.x=2

C.x=0或x=-2D.x=0或x=2

2.(2024.聊城东昌府区期末)方程x(x+I)=x的解是()

A.x=-lB.x=l

C.x=0D.x=l或x=0

3.一元二次方程FuZOZdx的解是______.

4若x,y是互不相等的两个实数，且.A-2-则x+y的值等于.

5.用因式分解法解下列方程：

(1)4?-121=0;

(2)x(x-l)=2(l-x).

知识点二选择合适的方法解一元二次方程

6解方程4(3x+2>=3x+2,较恰当的解法是()

A.直接开方法B.因式分解法

C.配方法D.公式法

7.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是()

A.(x-2)(x+5)-lB.3(A-2)7—4

2

C.x—3x+l=0D.9(X-1)2=5

8.用适当的方法解下列方程：

⑴(x-3>—4=0;

(2)5.V2—2x;

(3)~-3.计1=0;

(4)2(Z-l)2+/=l.

易错点在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根

9解方程:(x+2)(x-3)=x+2.

解将方程两边约去(x+2)得x-3=l.①所以x=4.②

以上解答错在第一步，正确的答案是

能力提升

10当2<x<5时,一次函数y=(m+l)x+/+隋最大值6,则实数m的值为()

A.-3或0B.0或1

C.-5或-3D.-5或1

11已知菱形ABCD的两条对角线长是方程*-7、+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为()

A.6B.7.5C.10D.12.5

12」新定义］规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a©b=a(a+b),方程(x-2)©7=0的根为.

13.已知方程ZF+bx+c=O的两根为2和-2,分解因式2x2+bx+c=_.

14用适当的方法解下列方程：

(l)(x-l)(x+3)=12;

(2)(2x+3)2=(3.t+2)2；

(3)3(X-2)2=/-4.

15」运算能力］已知关于y的一元二次方程(〃?+1)产-3加广9=0的根都是整数，且m满足等式4r疥第

(行而『，求满足条件的所有整数m的和.

素养培优

16.由多项式乘法：(x+GG+AAf+S^x+ab,,将该式从右到左使用，即可得到叶字相乘法”进行因式分解的

公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

示例：

因式分解：X2+5.V+6=A-2+(2+3)X+2X3=(X+2)(X+3).

尝试：

⑴因式分解：F+6X+8=(X+_).(X+)；

应用：

(2)请用上述方法解方程：、2_3『4=0.

专题六一元二次方程的解法

1用直接开平方法解下列方程：

(1)3『-27=0;

(2)2(31)2=8.

2.用配方法解下列方程：

(l)Zr2+4x+l=5;

(2)3/-&-2=0.

3.用公式法解下列方程：

⑴3『-4k1;

(2)X2+6X+9=7;

(3)3x(x-3)=2(x-l)(x+l).

4.用因式分解法解下列方程：

⑴("1)2=301);

(2)/一6%+9=(5-2幻2.

5.用适当的方法解下列方程：

(1)/一4厂6-0,

(2)?-5^+2=0;

(3)y(y-8)=-16;

(4)-3入+#=-2;

(5)4(x+1)2=9(X-2)2;

(6)(x-3)(x+2)=6;

(7)(2厂1),-3(1-2外十4.

6.阅读下面的材料：

解方程》4-7x2+12=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点，它的解法通常是：设,=)，,则丁=产,

・•・原方程可化为产7尹12=0,

a=l,b=-7,c=12,

匚□=/>2-4ac=(-7)2-4xlxj2=l,

-b±\/b2-4ac_-(-7)±VT

解得力=3%=4.

当y=3时,f=3尸土V5.

当y=4时，f=4k±2.

•♦•原方程有四个根是XI=V?K2=~V5,冷=2/4=-2.

以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题.

（1）解方程：（X2十幻2-5。2+x）+4=0;

（2）已知实数a,b满足（”2+/）2）2_3（a2+炉）_]0=0,试求。2+/的值

8.1-8.4滚动练习三

1.（2024.烟台牟平区期中）若将关于x的一元二次方程3r+尸2="（尸2）化成一般形式后，其二次项系数为1,

常数项为-2,则该方程中的一次项系数为（）

A.5B.3C.-5D.-3

2.（2024淄博淄川区期中）用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（）

A.X2-2X=5B.x2+4.r=5

C./+2丫-5=0D.4X2+4X=5

3.已知关于x的一元二次方程区2一々一2%+4=0的一个根是2,则k的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.（2024.聊城阳谷县期末）在估算一元二次方程/+〃-4=0的根时，小哈列表如下：

X11.11.21.31.4

x2+2x-4-1-0.59-0.160.290.76

由比可估算方程/+2丫-4=0的一个根x的范围是（）

A.l<x<l.lB.l.l<x<1.2

C.1.2<x<1.3D.1.3<x<l.4

5.（2024.淄博恒台县期中）三角形两边长分别为3和4,第三边长是方程/_12/35=0的根，则三角形周长为

（）

A.1.5B.13

C.12或14D.12

6.已知关于x的方程ad+bx+c=0的解是勺=-142=2（。/,均为常数且a#0）,那么方程。2.丫+3尸+6伽+3尸。=0的

解是（）

A.X1=-2^2=5

B.修=-；所=_2

C.肛=042=一|

D.无法求解

7.已知x2+y2-6x+4yH3=0,贝次x+y)2024=()

A.-2B.-lC.lD.3

8若(QT)x-3x+4=0其中a是常数)是关于x的一元二次方程，则a的值为.

9将一元二次方程，_&什5=0化成(x+。户仅a,b为常数)的形式,则a+b的值为.

10(2024.聊城高唐县模拟)已知关于x的一元二次方程(〃L2)『+2L3=()有两个不相等的实数根，则m可以取

到的最小整数值是________.

11.用适当的方法解下列方程：

(l)(x+l)2-9=0;

(2)M-2X=3;

(3)2(X-1)2=3X-3;

(4)3X2+4X-1=0.

12.如图，若将如图I所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的矩形，设a=l,求这个正方形的面积.

13.已知关于x的方程x2+ax+a-l=O.

(1诺该方程的一个根为1,求a的值；

(2诺a的值为3,请解这个方程.

14.已知关于x的一元二次方程3『-6x+l-k=0有实数根,k为负整数.

⑴求k的直

(2)如果这个方程有两个整数根，求出它的根.

15.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.

(1)如果x=-1是方程的根，试判断^ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果a=3,b=4,c=2,求这个一元二次方程的根.

5一元二次方程的根与系数的关系

基础夯实

1.一元二次方程X2-3/2=0的两根为X]和X2,则下列结论正确的是（）

A.X|+X2=-3B.jqx2=2

C.X]-x2=ID.Aq+x?=7

2.若x=-2是一元二次方程『+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）

A.0,-2B.0,0

C.-2,-2D.-2,0

3.若方程x2-2r-4=0的两个实数根为％,X2,则（3-1）（必-1）值为（）

A.-5B.3C.7D.9

4.若关于x的一元二次方程f+bx+cu。的两个根分别是X]=-3R2=5,则b+c=.

5.（2024・济宁邹城市模拟）设a,p是一元二次方程/+3厂17=0的两个根，则a2+5a+2p=.

6.若关于x的方程健-4（m-1）厂?=0有两个实数根且互为相反数，试求：（-〃?）2。24的值.

7.（2024・淄博博山中学期中）已知关于x的一元二;欠方程F-（2〃汁l）x-〃L2=0.

（1或证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

⑵若方程有两个实数根为Xi,X2，且Xi+X2+3X]X2=1，求m的值

易错点利用根与系数的关系时，因忽略“△KF而致错

8.下列方程两根之和是-2的是（）

A.F+2X+3=0B.X2-2X-3=0

C./+2L3=0D.x2—2计3=0

能力提升

9.（2024.烟台莱山区期中）若X1,x2是方程F-4x-2024=0的两个实数根，贝!J代数式+为+24的值等于（）

A.2024B.2027

C.2032D.2035

10若m,n是一元二次方程f+广3=0的两个实数根，则〃》—4砂+"的值为（）

A.-2B.6

C.-4D.4

1I一元二次方程炉-2尸6=（J的两限分别为X19很I」看+若的值为.

12.（2024•临沂郑城县模拟）若m,n是方程«-2丫-1=（）的两个实数根，则«2-3=.

m-

13.已知关于x的一兀二次方程（〃T）1+3x+l=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k,使该方程的两个实数根x1，X2与司满足占+必=5-2月必，若存在，请求出k的值；若不存

在，请说明理由.

素养培优

14」运算能力］先阅读下面材料，再解方程.

例：解方程f—匚%匚一6=0.

解：当.a0时,原方程化为x2r-6=0,解得戈］=3/2=-2（不合题意,舍去）；

当x<0时，原方程化为，+x-6=0,解

得戈1=-3盟=2（不合题意，舍去）,

因比，原方程的根是占=3m=-3.

⑴请参照例题解方程：X2-UXT□-3=0;

（2柘展应用：已知实数m,n满足m2-7〃?+2=0,〃2-7〃+2=0,求。+”的值

mn

专题七一元二次方程根与系数关系的分类应用

一、利用根与系数的关系求代数式的值

1.（2024.荷泽单县模拟）已知m,n是一元二次方程r+ZLZOZGR的两个实数根，则代数式/一3〃?+〃的值