高考数学复习-利用空间向量求距离及空间角（附答案）

利用空间向量求距离及空间角

1.（15分）（2023•北京,16）如图，在三棱锥P-ABC中,PA_L平面

ABC.PA=AB=BC=\,PC=V3.

（1）求证:平面PAB;

（2）求二面角A-PC-B的大小.

2.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中,ACrWO=O,底面ABCD为菱形，边长为2,PC

_L3DPA=PC,且NABC=60°,异面直线与CO所成的角为60°.

⑴求证:PO_L平面ABC。；

（2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.

3.（15分）（2024・安徽亳川期末）如图，在三棱柱45cAl3。中,所有棱长都为2,且N

44C=60°,平面44CG_L平面ABC点P为AB的中点，点Q为AICI的中点.

⑴求点囱到直线PQ的距离;

（2）求点&到平面PQC的距离.

4.（15分）（2024•山东潍坊模拟）如图，圆台0。2上底面半径为1,下底面半径为

加,AB为圆台下底面的一条直径，圆Q上点。满足AC=5C,POi是圆台上底面的

一条半径，点P,C在平面ABO\的同侧，且POJ/BC.

⑴证明:0。〃平面PAC,

⑵从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AOi与平面PBC

所成的正弦值.

条件①:三棱锥Oi-ABC的体积为点条件②:AOi与圆台底面的夹角的正切值为位.

注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

5.（15分）（2024•天津北辰三模）如图，在四棱锥P-ABCD中,PDJ_平面ABCD.AD1

DCAB//DCAB=AD=^CD=2,PD=2,M为棱PC的中点.

⑴证明:〃平面PAD;

(2)求平面PDM和平面DMB夹角的余弦值；

(3)求点A到直线PC的距离.

6.(17分)(2025•八省联考［9)在平面四边形A8CQ中/8=4C=CO=1,N

40030°,NQAB=120°,将△AC。沿AC翻折至"CP,其中尸为动点.

⑴设PULAB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球。的球面上.

(i)证明:平面PAC_L平面ABC\

(ii)求球O的半径.

(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.

答案：

1.(1)证明因为P4_L平面A3C.BCU平面43C,所以PA_L3C,同理尸A_LA氏所以

△PAB为直角三角形，又因为PB=y/PA2+AB2=、②BC=1,PC=V5,所以

尸4+BC2二尸C5则△PHC为直角三角形，故BC_LP8,又因为BC_LPA,PADPB=P,所

以BC_L平面PAB.

(2)解由⑴知BCJ_平面P4B,又ABu平面P4B,则BC1AB,

以A为原点为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴,A尸为z轴，建立空间直

角坐标系，如图，则4(0,0,0),P(0,0,1),C(1J,0),5(1,0,0),

所以而二(0,0,1),标二(11,0),丽=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

设平面PAC的法向量为〃[二(孙)“©),则1m丝=°，即E_0

[m-AC=0,+%=5

令为二1,则所以m二(1,-1,0),设平面PBC的法向量为〃=(X2J2,Z2),则

n-BC=0,

,n-PC=0,

即倍=0，

以2+丫2〃2=0,

令12=1,则Z2=l,

所以〃=(1,0,1),所以cos〈也心=黑=-^-==

|m||?l|V2XV22

又因为二面角A-PC-8为锐二面角，

所以二面角A-PC-B的大小为半

2.(1)证明因为四边形A8CO为菱形，所以AUL8D,因为PCI

BDyPCQAC=CPCACa^^APC,所以BO_L平面APC,因为POu平面APC,所以

8OJ_PO,因为PA=PCQ为AC中点，所以「。_14。,又因为4。08。=。a。,80(=平

面A8CD所以POJ_平面ABCD.

(2)解以0为原点,OB,OC,OP方向为x,y,z轴方向，建系如图，因为AB〃CQ,所以

/PBA为异面直线尸8,。。所成的角，所以NPBA=60°,在菱形ABC。中,A3=2,因

为/A6c=60°，所以OA=1,OS=V5,设尸0=4,贝IPA=y/a2+l,P^=Va2+3,

在△PZM中,由余弦定理得,PA2=BA2+BP2-2BABPcosZPBA,

所以/+1=4+〃2+3-2山2+3,解得6t=V6,

所以A(0,-l,0)1(75,0,0),C(0,1,0),P(0,0,V6),E(0,1,0),

证=(・g,扣)丽=(・V5,o,①),1屁匚手，而1=3,所以“

J|FE|2-(BE-)2=旧二=|,所以点E到直线BP的距离为李

3.解(1)由三棱柱中,所有棱长都为2,则四边形ACG4为平行四边

形,且棱长都相等，即为菱形,又因为△ABCqA由iG都为等边三角形，连接C4,所

以△AC4为等边三角形，取4C中点。,连接O40B,则O4_LAC,又因为平面

4ACG_L平面ABC,平面AiACGCl平面ABC=AC,OAiu平面4ACG,所以。4J.

平面A3C,则Q4J_OC,OAiJ_。。,又因为O3J_AC,所以OBQCQAi两两垂直.

则以O为坐标原点,。氏。。,。4所在直线分别为乐)，,2轴,建立空间直角坐标系O-

人)2,如右图所示，

则4(),-1,())A(0,0,V3),5(V3,0,0),C(0,1,0),Ci(0,2,6),

由西=而+西=而+AA^=(V3,0,0)+(0,1,V3)=(V3,1,V3),

则Bi(V3,l,V3),P(^,-i0),Q(0,l,V3),

所以西二(V5,0,0)质=(-y,|,V3),

则I西IS,粤

所以点B到直线PQ的距离为西2=督.

(2)由(1)知质二(0,0,遍)，

设〃二3力©是平面PQC的一个法向量，则

f_V33厂

nPQ=--ci++v3c=0

乙乙

jrCQ=V3c=0,

取反1,则〃=(8,1,0),

又因为0瓦二(、/5,o,o),

所以点B到平面PQC的距离为噜=|.

4.(1)证明取AC中点“，连接QM/M如图,由题意，得PO、=LBC/AB=2,又

PO\//BC.PO\=^BC.

又O2M〃BCCM=LBC,故PO1〃02MpO1=QM所以四边形PO\OM为平行四

2

边形，则PM〃O1O2,又PMu平面PAC,OIO2C平面PAC,故0。2〃平面PAC.

(2)解选①:S“8C=/CBCqx2x2=2,又OGJ_平面ABC,所以三棱锥O\-ABC的

体积V'XSTBCXOIOZW.所以002=2.

选②:因为0。2_1平面ABC,所以/。力。2为AOi与底面所成的角，

所以1@门/。14。2二/,又4。2二企,所以0102=2.

以。2为坐标原点,。28。2。,。2。1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐

标系.

z

则有4・/。0),3(直,0,0),。(0,市,0),尸(弓,弓,2)。(0,0,2),故而>(夜,0,2),

设平面PBC的法向量〃二(九山),而阮二(-a,鱼,0)而二(母,萼,2),

(n-BC=-y[2x+\[2y—0,

故声声正℃n

\n-CP=--x--y+2z=0,

令z=l,解得行尸&，得〃=(企，企』),设所求角的大小为。，贝”sin

所以直线AOi与平面P8C所成角的正弦值为誓.

JLO

5.(1)证明取PO中点N,连接AN、MN.

在APCD中,MN分别为PC,PD的中点，则MN〃£>C,MN=?)C,因为AB//

则AB〃MN,AB=MN,可知四边形ABMN为平行四边形，则BM〃ZN,

且8MC平面PAOAVu平面PA。,所以8M〃平面PAD.

(2)解因为尸。_L平面八8cO,AOQCu平面A8CO,则尸。，4。/。_1。。,且ADL

OC,以。为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系

力-町Z如图所示，取CD的中点E,连接BE,

因为。，则又因为4力_1_。。,所以四边形ABE。

为矩形，且A8=AO=2,可知四边形A8EQ是以边长为2的正方形，则

D(0,0,0)4(2,0,0),3(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),M(0,2,1),可得

77=(2。0),两=(0,2,1),丽=(2,2,0),设平面的法向量为〃=(xj,z),所以

(n-DM=2y+z=0,

\n-DB=2%+2y=0,

令产-1,则x=l,z=2.所以平面80M的一个法向量为〃=(1,-1,2),易知面为平面

PDM的一个法向量，所以cosv〃，石?＞=点瑞==*所以平面PDM和平面

力夹角的余弦值为在.

O

⑶解由(2)可知方二(20,・2),丽=(0,4,-2),则cos＜可玩"磊善=运1=噂,

即cosNAPC二呼＞0,可知N4PC为锐角，则sinZAPC=y/l-cos2^APC=甯，所以

点A到直线PC的距离为|方|sinNAPC=2&x??=塔.

6.(l)(i)证明在△ACQ中，由AC=CO=1,NAOC=30°,得NCAD=NAOC=30'，

所以4O=2ACcosND4C=2xlxcos300=V3,_@.ZBAC=ZDAB-ZCAD=120°-

30°=90°,即48_1_4。.因为48_1_4。,尸。_1481。1%4。二。,尸。/。=平面%。,所以

ABJL平面PAC.又ABu平面ABC,所以平面PACJ•平面ABC.

(ii)解以A为原点,AB,AC所在直线为x轴、)，轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，则A(0Q0),8(l,0,()),C((),l,0),P(0永畀设球心0(〃”),半径为民因为ZkABC为

直角三角形,所以其外心为8c边的中点弓,却),则册①弓即。(廿.c).

由OA=OP,得2+"2=4+i+(c-f)2,解得c#,则R=:=寺

yl44yj422-v4442

(2)解在平面PAC中，过点。作PGJ_AC,交AC延长线于点G,作GM//AB,

则由⑴可知4G二|,PG考

设/FGM=〃,0U(0,兀),以点G为原点，分别以GMAG所在直线为x轴、y轴,

过点G且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则G(0,0,0),A(0,.|,0)](l,・|,0)C(0q,O),P(*os40,争in8),

所以方二(0,-1,()),而=(l,-I,0),CP=(yCOS%.ysin9).

设平面PAC和平面PBC的一个法向量分别为雉二3JI,ZI),〃=3J2,Z2),

m1G4,n1CP,

则

m，诵n1CB,

m-CA=-y[=0,

故

mCP=YXICOS^+17i+苧ZiSinB=0,

n-CB=x2-yz=0，

n-CP=^-x2cos0