2026高二数学寒假复习讲义：椭圆、双曲线的离心率问题（原卷版）

专题05椭圆、双曲线的离心率问题

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0®串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

2重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

圈复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

核心考点

题型1利用a.b.c的声次式求离心率

题型2利用勾股定S

题型3利用正余弦定理

题型4利用双余弦定理

题型5利用对称性

题型6利用中位爱

题型7求葡坤范用

重雄知例

口知识点1:常见的离心率问题求解思路

1、利用Q,瓦C的齐次式求离心率

将题目中几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）转化为一个只包含基础量a,b,c的齐次式方

程。由于离心率e=%且圆锥曲线中a,瓦c存在固有关系（椭圆：c2=a2-b2,双曲线：c2=a2+b2）,

目标就是将方程化为关于e的方程。

2、几何法

根据椭圆双曲线的几何性质，如对称性、构造中位线等方法来求建立关于a,c的等量关系。

3、解三角形的方法求离心率

在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把圆

锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。利用余弦定理、正弦定理、面积公式来建立关于a,c的

等量关系式。

知识点2：求离心率的范围

1

主要思路是建立不等式

1、利用焦半径的取值范围建立不等关系

P为椭圆上的任意一点，|P%|E[a-c,a+c]；尸],92为双曲线摄一，=1（"0">0）的左、右焦点，P为

双曲线上的任一点，|P£|2c-a.

2、利用最大顶角。建7不等关系.用为椭圆=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若/耳”=。,

0

则椭圆离心率e的取值范围为sin-<e<\.

3、利用题忖不等关系建立不等关系.

4、利用判别式建立不等关系.

5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.

6、利用基本不等式,建立不等关系.

必考题型

【题型1利用瓦c的齐次式求离心率】

高妙技法

由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解：

I.（25-26高二上•安徽•期中）已知椭圆C:[+与的左、右焦点分别为片，用，点户在C上且

a~b~

轴，。为坐标原点，点G满足司=3血，配_L丽，则。的离心率为（）

A.1B.YC.D.V2-1

2.（25-26高二上•浙江湖州•月考）已知44是双曲线上的两点，片是双曲线的左焦点，满

足而十砺=6，巧川=3|不9|,S."办=酷〃2,则双曲线。的离心率为（）

V13V7x/22V13

AA.-----Bn.——Cr.------nD.-----

2244

3.（25・26高二上•河南濮阳•期中）已知双曲线=1(a>0,b>0）的左、右焦点分别为片，F?,

a"b"

----3--------

点M在七的右支上，点N在y轴上，且.，W_LNG，F2N=-MF2t则E的离心率为.

2

4.（25-26高二上•河北•月考）椭圆。:£+与=1（。>力>0）的左、右焦点分别为石，巴，P为椭圆上一点

a'b~

（在x轴上方），”垂直于x轴，连接夕片并延长交椭圆于另一点。，设所=2月0,则椭圆C的离心率e

为•

【题型2利用勾股定理】

高妙技法

当顶角为直角时，也是常考的一种焦点三角形的类型，这是多次使用勾股定理来解决问题。

I.（25-26高二上•湖北•期中）已知椭圆［=的左、右焦点分别为不外,若C上存在

点P使得31Ml=4|尸周，且/£/>握=90。，则椭圆的离心率为

2.（25-26高二上・重庆渝北•期中）已知椭圆捺+/=1.>b>0）的左、右焦点分别为片，入，点”是以6片

为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点N,若|MN|=3|叫则该椭圆的离

心率为（）

3.（25-26高二上•贵州贵阳•期中）已知椭圆捺+，=1（“>6>0）的两个焦点为F2,过片作直线交椭

圆于M、N,若A/G_LM8,且函=3月则椭圆的离心率为（）

A.巫B.也

C—D—

3222

22

4.（25-26高二上•安徽•期中）已知椭圆。:1+与=1（4>〃>0）的左、右焦点分别为6，F2,点、A,8在

a"b"

C二,且万；=2所，福.海=0,则C的离心率为.

【题型3利用正余弦定理】

高妙技法

题目中如果有角度关系，三角形的两边比值时，可以考虑用正弦定理构a,b,c的关系，从而求出离心率。

1.（2026而三•全国•专题练习）设大、鸟分别是椭圆。:0+，=1（〃>/）>0）的左、右焦点，点尸在椭圆C

上，若NPF\F2=a,NPFFi=/3,且cosa=q，sin（«+/?）=|,则椭圆的离心率为.

2.（24-25高二上•江西南昌•期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，片、石分别为其左、右焦点，旦椭圆

的离心率6与双曲线的离心率6互为倒数，点M为它们在第一象限的交点，满足sin/《Mg=2sin/M片工,

则椭圆离心率G的值是.

3

3.（25-26高二上•浙江•期中）已知椭圆。，”会叫的左右焦点分别为大几抛物线/=？〃小〉。）

sinzfAFF7

以巴为焦点.且与椭圆在第一象限相交于点力,记2"许就,若则椭圆的离心率取值范围

是__________

4.（多选）（•黑龙江齐齐哈尔•三模）已知为坐标原点，椭圆的方程:其

2025OE铲=l(a>b>0),

左右焦点为片、鸟，离心率为%过左焦点四的直线与椭圆交于力（孙乂），友巧，为）两点，M是的中点（力

是异于长轴端点的点），在△”力乙中，记/耳4❷=2，乙4"用=夕,446片=人则下列说法正确的是（）

sin^+siny

G1，

B.S^FF2=-b-tana

C.与椭圆切于点4的切线方程为W+瞪•=■乂工0）

ab~

D.若直线46的斜率存在,则如自“=/_]

【题型4利用双余弦定理】

高妙技法

根据题目条件两次使用余弦定理，列出a，Rc的关系，从而求出离心率

1.（25-26高二上•河北石家庄•月考）已知椭圆。:£+£=1（〃>8>0）的左、右焦点分别为耳、F2，点、P

crb,

在椭圆C上，直线尸月与椭圆C交于另一点。，丽=2呢,ZPQF2=ZPF2Q,则椭圆C的离心率为.

2.（25・26高二上•山西•月考）已知椭圆。：4+《=1（〃>6>0）的左、右焦点分别为耳尸2,离心率为近，

ab7

直线/过右焦点且与C交于4B两点、,若△力石鸟与△806（0为坐标原点）的面积之比为8:3,则直线

/的斜率为（）

A.±百B.士2C.±\[sD.±\fb

2f

3.（25-26高二上•浙江衢州•期中）己知耳,开,为双曲线「与=1的两个焦点，过”的直线与双曲线「交

a2b'

于P,。两点，双曲线「在点尸处的切线与N轴交于M,且所=4斯，优训=2|02|,则双曲线r的离心

4

率为.

4.（25.26高二上•河南深河•期中）设用分别为双曲线。:£-乙=1（°>0力>0）的左、右焦点，点2在。

cTbj

7

的右支上，直线尸入与C的右支的另一个交点为0,若归照二|尸0,cosN6外则双曲线的离心率

为.

【题型5利用对称性】

高妙技法

充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性来转化关系。

1.（25-26高二上・贵州贵阳・月考）已知不入为椭圆C：E+E=l（a>b>0）的两个焦点，过原点的直线交

cTb

椭圆于尸,。两点.若|尸。|=山段旧尸1=2由0,则椭圆C的离心率为（）

A2Q1「右2x/5

A.—B.-C.——Dn.----

3333

2.(25-26高二上•辽宁•月考)如图，已知椭圆£+E=l("^>0)的左、右焦点分别为6(—0),K(c,0),

a~b~

椭圆上存在四个点4,B,C,D满足力B〃CD,耳在线段力4上，行在线段CQ上，闺可=2优C|,BFJAB,

则该椭圆的离心率为（）

「x/6

D.叵

35

3.（25-26高二上•辽宁沈阳・月考）双曲线£一£二1的左、右焦点分别是0K,过原点的直线分别交双

Ub~

曲线的左右支于民力两点，延长/入与双曲线的右支交于点c,JC-M=O,丽则双曲线的离

心率为（）

A.6B.-C.—D.—

333

4.（25-26高二上•河北邯郸•期中）已知椭圆£+4=1（。>力>0）的左、右焦点分别为片，F2,2为椭圆上

a~b'

5

一点，且“冲2=60。,风=再\+隹,四边形P片。鸟的面积为S,且|耳鼻？+|①（二华S，则椭圆的离

心率为（）

A.IB.—C.x/3-lD.立

232

【题型6利用中位线】

高妙技法

遇到中点或者角分线时，可以考虑需不需要构造中位线来解决问题。

1.（25-26高二上•河北•月考）双曲浅丛之-£=1（〃>0力>0）的左、右焦点分别为《，玛，圆。:/+/=〃2,

ab~

4

过6作圆。的切线与双曲线交于MN两点，且tanN"NK=3，则双曲线的离心率可能为（）

A.3B.在「拒n而

L/♦-----U♦-----

2222

2.（25-26高二上•重庆•期中）已知片，鸟是椭圆C：［+£=1（a>b>0）的左、右焦点，点尸在椭圆

a，b~

C上，线段阴与圆/+/="相切于点。，且点。为线段根的中点，则“+2?（其中。为椭圆。的离

6b

心率）的最小值为（）.

A565V2「5瓜5x/2

A.-----BR.------C.nD.------

3336

3.（2025高二上・安徽•专题练习）如图，已知椭圆。的离心率为冬且过点已回），石分别是椭圆C

在工轴上的左、右焦点，过石的直线♦与过用的直线6交于点汽，线段EN的中点为M，线段鼻丫的垂直平

分线〃尸与4的交点?（第一象限）在椭圆上，且交x轴于点G,则%（）

B.

D.（0,^+1）

6

4.（25-26高二上•江苏常州•月考）已知椭圆C：工+与=1（〃>0）的左右焦点分别为耳尼，点0为坐标原点,

16b'

点户为椭圆。上一点，点。为中点，若行的周长为6,则椭圆C的离心率为（）

A.：B.gC.1D.|

【题型7求离心率范围】

高妙技法

根据题目条件以及圆锥曲线的一些限制条件来构造离心率的不等式，从而求离心率的范围。

足线段的垂直平分线过点/，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.卜当］B.（0,；C.［拒T［）D.

2.（25-26高二上・广东东莞•期中）已知不乃是椭圆C的焦点，力,笈分别是。上第二、四象限上的点.若

四边形力为矩形，则C的离心率的取值范围是（）

3.（25-26高二上・浙江•月考）已知双曲线。：5-今=1（4>0*>0）,4-2,0）,若圆M:（x-2）’+（.y-4y=4

上存在点P使得"的中点在C的渐近线上，则C离心率的取值范围为（）

A.（1,2JB.［2,内）C.（L3］D.［3,-KO）

4.（25-26高二上•福建三明•期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点E和鸟，设椭圆和双曲线的离心率分

别为《，6,点尸为两曲线的一个公共点，且|希-7及卜2|可|（O为坐标原点），若马£（告，4］，则

%的取值范围是.

复习提升

1.（25-26高二上•广东东莞•期中）已知椭圆。：，+£=1（。>〃>0）的左、右焦点分别是£、鸟，其中

忻用=2c.椭圆C上存在一点人满足福•羽=4/,则椭圆的离心率的取值范围是（）

7

2.（25-26高二上•山东青岛•期中）已知椭圆。:=+与=1（。〉力＞0）的左焦点为/，直线y=与C相交

crb~

于4,8两点，且尸，则C的离心率为（）

A.V3-1B.V2-1C.—D.—

32

3.（25・26高二上•江西景德镇•月考）如图，点与鸟分别是椭圆C：£+《=1（。＞〃＞0）的左、右焦点，

a~b~

，・・■・।―・TT

48是C上两点，FiA=2F2B,且/《力8二,，则。的离心率为.

4.（2025高二•全国・专题练习）已知K，鸟分别是双曲线£:1-与=1（。＞08＞0）的左、右焦点，尸是

a"b"

双曲线右支上的一点，£是线段";的中点，（元.耶=（）,sin/勿有24sin/加；尼，则双曲线G的离心率

的取值范围是.

5.（25-26高二上•河南新乡•月考）已知椭圆C：W+[=1的右焦点为凡点尸是椭圆C上一

a~b~

点，且P产工OF（。为坐标原点），以尸为圆心，尸产为半径的圆与了轴相交于力，E两点，若乙4尸七=三，

则C的离心率为（）

A.V2-1B.x/3-1C.初一&D,—

23

6.（25-26高二上•广东佛山•月考）已知椭圆C[+，=1（。＞6＞0）的左焦点为々，。为坐标原点，右顶

点为人以力为圆心，力片为半径的圆与椭圆。交于M,N两点，若cos/MG4=（,则椭圆。的离心率为