广东省广州市南沙区2025-2026学年高二年级上册期末数学试卷B卷（试卷+解析）

2025-2026学年第一学期期末教学质量检测

高二数学（B卷）

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、试室号、

座位号：同时填写考生号，再用2B铅笔把对应的考生号的标号涂黑.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如

需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改

液,不按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

-*一

1.己知空间向量〃?二（2，T，D,〃=（4,一2,外，若、〃"则x=（）

A.-5B.-3C.2D.4

2.已知双曲线C的一条渐近线的斜率为*,且焦点在x轴匕则。的离心率为（）

A.-B.-C.逅D.在

2422

3.己知正方体48CO—44GA的校长为1,以力为原点，｛而，而，您｝为单位正交基底，建立空间直

角坐标系，则平面的一个法向量是（）

A（1,1,1）B.C.（1,-U）D.（-1,1,1）

4.在棱长为1的正方体中，点力到平面8QC的距离为（）

A.逑B.迈C.72D.V3

33

5.己知直线〃化+帆+1=0与圆C:V+/=1有两个公共点，若点P的坐标为（见〃），则（）

A.点尸在圆。上B.点尸在圆。外

C.点P在圆。内D,以上皆有可能

6.数列｛〃“｝满足q=2,an+]=man4-(3-,n)(/zGN*,/WGRj,则"=3”是"数列｛〃”｝成等比数列''的

()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知数列｛%｝,对任意的〃wM,满足圆/+/-2%¥-24”沙=0与圆/+72—2]—2〉—2=0的

公共弦长为4.记数列｛4｝的前及项和为S“，则$2026=()

A6078B.5065C.4052D.3039

8.在三棱锥尸-ABC中，尸4_L平面43C,且4=4,力。=6,84+4。=6五，则三棱锥尸体

积的最大值为()

A.12B.12拒C.24D.24近

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知数列｛%｝是公比为9的等比数列，且%=2,%=8,则()

Kl2nl

A.q=2B.ah=32C.an=2-D,a2„=2-

10.已知圆C:(xa)2i/=l,直线/：x-y+2=0,记直线,与V轴交点为4,则()

A.若直线/与圆。相切，则〃二啦-2

B.若直线/被圆C截得的弦长为2,则。=-2

C.不存在。，使圆C上有三个点到直线/的距离都为1

D.由点力向圆。作切线，则切线长的最小值为G

11.在棱长为1的正方体4中，点?满足而二/第十〃画，其中义40』，//e[0,l],

则()

A.若2=1,则平面力四0，平面

B.若〃=；,有且仅有一个点儿使得4。平面48/

7TTT

C.若〃=4,则异面直线。尸和4用所成角的取值范围是

D.若4P与平面所成角为三,则动点P的轨迹长为:

42

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知力为抛物线C：y2=2点（〃＞。）上一点，点/到。的焦点的距离为8,到y轴的距离为6,则〃=

13.已知等差数列｛%｝满足%=2,%=-5,则｛%｝的通项公式%=：记q=24,则6臼…q,

的最大值为.

14.已知点M（Xo,2-Xo）,若圆/+『二2上存在两点力、8,使得N4V/8=6（r，则/的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆。经过，（-1,0）,8（2,一3）两点，且圆心C在丁轴上.

（1）求圆。的方程；

（2）求与圆C关于直线/：x-y+l=0对称的圆的方程.

16.记S”为等比数列｛%｝的前〃项和，已知3s.+。,用=1.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设"=（7）1〃%,求数列出｝的前〃项和北.

17.已知椭圆?+£=1（〃〉方＞0）的离心率为左、右焦点分别为片，入，内£|=2,过点片且斜

率为上的直线，与y轴相交于点E,与椭圆相交于C,。两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当片=g,求△8。的面积；

（3）若时=库,求上的值.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中,底面/8CO是矩形，侧面夕力。1底面/4CQ,匕尸分别是棱AD,PD

上的动点.

（1）当产是棱。。的中点，证明：PB〃平面AFC；

（2）当/04。=120。，PA=AD=2AB=2,且AE=DF=a.

（I）若BE工PC,求。的值：

（II）当四棱锥5-尸4"的体积最小时，求平面尸EC与平面POC的夹角的余弦值.

19.已知动点P（x,y）与定点（2,0）的距离和它到定直线/：1=1的距离的比是常数正.记动点P的轨迹

为曲线C.

（1）求曲线C的方程：

（31、1

（2）已知点片的坐标为一不，弓,按照如下方式依次构造点匕（〃=2,3…）；过《“作斜率为一3的直

线与曲线C的右支交于点。,1，令，，为2i关于y轴的对称点.记勺的坐标为（吃,外）.

（I）证明：数列｛七+”｝是等比数列：

（ID设S”为△月心因+2的面积，证明:对任意正整数〃，S“=S"\.

2025-2026学年第一学期期末教学质量检测

高二数学（B卷）

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、试室号、

座位号：同时填写考生号，再用2B铅笔把对应的考生号的标号涂黑.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如

需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改

液,不按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

-*一

1.己知空间向量〃?二（2，T，D,〃=（4,一2,外，若、〃"则x=（）

A.-5B.-3C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】因为百〃人所以m/lwR,使得证=义［,

因为"7=(2,—1,1),〃=(4,一2/),

2=4/1

Z=-

所以《-1=-22解得12.

1=Axx=2

故选：C.

2.已知双曲线。的一条渐近线的斜率为且焦点在x轴上，则。的离心率为（）

3

A.---75

2422

【答案】D

【解析】

【分析】根据渐近线斜率及Ji+(2j计算求解.

【详解】因为双曲线的焦点在X轴上，则双曲线C的一条渐近线的斜率为!=2,

2a

则c的离心率为£==好.

。VKJ2

故选：D.

3.已知正方体NBC。-4与GR的棱长为1，以力为原点，｛筋，诙，麴｝为单位正交基底，建立空间直

角坐标系，则平面力田。的一个法向量是()

A(1,1,1)B.C.(1,-U)D.(-UJ)

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面力的一个法向量.

【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图

以,4为原点，｛在，而，麴｝为单位正交基底，正方体棱长为1,则各点坐标为：4(0,0/)，8(1,0,0),

n(o,LO),

福二(1,0,-1),4^=(0,1,-1),

设平面4/。的法向量为"=(x,y,z),则力J.港且方J.丽,

即

元•4B=x-z=0

万•4。=y-z=0

化简得X=z,y=z,

令z=l,则x=l,y=1,即法向量为方=（1,1』）.

故选：A.

4.在棱长为1的正方体/中，点/到平面8QC的距离为（）

A.还B.空C.72D.后

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用割补法及锥体的体积公式求解即可.

【详解】在棱长为1的正方体-中，连接力C,/用，力。，

则几何体力用。。是棱长为近的正四面体，S.BRC=为何邛,

_

匕&D1c=^AHCD-A^C^~=14x—X—xlxlxl=—,

•XJ

设点A到平面BQ©的距离为力，则10=:S.B叱h=Y/?’

因此迫h=~，所以卜="

633

5.己知直线"小十〃y+1=0与圆C:x'+y'=1有两个公共点，若点尸的坐标为（，〃,〃），则（）

A.点尸在圆C上B.点尸在圆C外

C.点尸在圆C内D.以上皆有可能

【答案】B

【解析】

【分析】由直线与圆C相交得到加2+">1，即可判断.

【详解】因为直线nix+〃歹+1=0与圆C:/+/=1有两个公共点，

所以直线加x+〃y+l=0与圆。相交，

所以J22<，则J"/+〃2>1，即/+/A1，

所以点尸（也冷在圆。外.

故选：B

6.数列｛〃/满足q=2,all+]=man4-（3-?77）（//eN*,weRj,则“〃z=3”是“数列｛%｝成等比数列”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比数列的定义结合充分条件、必要条件的定义分析即可.

【详解】若〃7=3,则=34,所以｛4｝是以2为首项，3为公比的等比数列，充分性成立；

若｛%｝成等比数列，则的=ma\+3-〃7=〃?+3,%=2+3-m=nt2+2m+3,

因为a；=q〃3，，（〃7+3）2=2（加2+2加+3）,

解得"7=-1或〃？=3,

当加二一1时，%=4-a〃,此时见+i+Q“=4,勺+2+凡+1=4,

即。〃+2=。“，｛凡｝是以2为周期的数列，

所以q=。3=6=…=2，/=%=。6=.••=，“=2，

即卷=2,此时｛4｝成等比数列，必要性不成立.

故选:A

7.已知数列｛q｝,对任意的〃EN*，满足圆2amy=0与圆/+/一2%一2）一2二0的

公共弦长为4.记数列｛叫的前〃项和为S“，则$2026=（）

A.6078B.5065C.4052D.3039

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆/+/一2%一29-2=0的圆心。的坐标和半经，将两圆方程作差，可得出公共弦所在直

线的方程，分析可知，公共弦所在直线过圆心。，即可•得出+。用的值，再利用并项求和法可求得邑026

的值.

【详解】圆/+/一2%-2歹-2=0的标准方程为（x-l『+（y-ly=4,圆心为C（l,l）,半径为

7•=2»

将圆方程作差得（2。〃一2）%+（2。“+[-2）j-2=0,即（%—l）x+（art+1—l）y—1=0,

故两圆公共弦所在直线的方程为（%-1卜+（。田一1）〉一1二0,

因为公共弦长为4=2厂，则直线（见一l）x+（《用-1）^-1=0过点C,

所以%-1+。川-1-1=0,整理可得〃“+[+%=3,

所以5'2026=（4+生）+（%+4）+-,+（a2025+Q2026）=lU13x3=3039.

故选：D.

8.在三棱锥尸一48。中，P/_L平面48C,且。4=4,4。=6,04+3。=6后，则三棱锥/）一48。体

积的最大值为（）

A.12B.1272C.24D.2472

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用椭圆的性质求出V48c面积的最大值，再利用锥体体积公式求解即得.

【详解】在V48C中，由AC=6,BA+BC=6y/i,点、B在以HA,C为焦点,

长轴长为2〃=6我的椭圆上（除长轴端点外），而焦距2。=6,

则该椭圆短半轴长b=yla2-c2=3，7ABC面职的最大值为:•2c心=9,

又R4_L平面片8C,且尸4=4,所以棱锥夕一片3。体积的最大值为，x9x4=12.

3

故选：A

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知数列｛4｝是公比为9的等比数列，且%=2,%=8,则（）

A.q=2B.4=32C./=2"iD.=22n-'

【答案】BD

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式逐项判断即可.

【详解】设数列｛/｝的首项为6,因为。2=2,%=8,所以qg=2,q/=8,解得如=4,

对于A,q=±2,所以A错误；

对于B,6=（"2=8x4=32,所以B正确：

n2w2wW-1

对于Can=a2q~=2x（±2）~=（±l）2,所以C错误:

对于D,a*=ad"2==2x4/,1=22w1»所以D正确.

故选：BD.

10.已知圆C:（x—a）2+y2=i,直线/:x-y+2=0,记直线/与V轴交点为力，则（）

A.若直线/与圆。相切，则〃二五-2

B.若直线/被圆C截得的弦长为2,则。=-2

C.不存在。，使圆C上有三个点到直线/的距离都为1

D.山点力向圆。作切线，则切线长的最小值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直线与圆的位置关系可判定A,利用弦长公式可判定B,利用圆的性质可判定C,利用勾股定

理结合二次函数的性质可判定D.

【详解】易知圆的圆心及半径为C（a,0），=LZ（0,2）,

对于A,若直线/与圆C相切，

|t7+2|r—

则圆心。到直线/的距离d=/2/=1,.二。=±02-2,故A错误；

心+㈠）-

对于B,由弦长公式可知2=2/7=^?=2，（〃；2）一,解得。=一2,故B正确；

对干C,由于圆。的半径为1,结合圆的对称性,

可知若/过圆心，圆中到/距离为1的点有2个，

若/不过圆心，圆中到/距离为1的点至多有2个，故C正确;

对干D,由勾股定理可知切线长小力。,-尸=，1+3之百,

当a=0时取得等号，故D正确.

故选：BCD

II.在棱长为1的正方体45CQ-44GA中，点产满足所=4就+〃函，其中4«0,l],//e[0,l],

则()

A.若2=1,则平面平面

B.若〃=：,有且仅有一个点儿使得4。，平面0

TTjr

C.若〃=4,则异面直线。/和力4所成角的取值范围是

D.若力P与平面所成角为3,则动点。的轨迹长为1

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,证明力4_L平面即可证得面面垂直；对于B,若4c_L平面437,则必有

4C-ZP=O,根据该式列出方程，解得2=-g,结合％E[0,1],即可判断；对于C,写出印与画,

再运用向量央角公式，结合函数的单调性，即可得解；对于D,根据线面角的大小以及向量为角公式，列

出方程，即可确定点P的轨迹，继而求出其长度.

【详解】以。为坐标原点，分别以为x/,z轴，建立空间直角坐标系.

对干A：在正方体中，易知。14_L平面4544,因为平面4344,

故。4"L川不在正方形458渴中,易知48_L44,

又因为。4口43=4，平面B4RC,

故,4,J_平面BXQC，又因为［gu平面片B/,

故平面/B/J.平面34。。，故A正确；

对于B：易知布二(一1,1,一1),福二(0,1,1),5C=(-1,0,0),函=(0,0,1),

故丽=4而+〃两=(—40,〃)，若〃:一，则丽=(一九0,；),

22

AP=AB+BP=(0X0)+(4,0,9=

若4。_1_平面/片尸，则必有4。，力尸，得不号»=o,

即4+g=o,得a=一；，而故不存在满足条件的P,故B错误；

对于C：由B可知，旃=%豆心+〃函=(-2,0,〃)，若〃=Z,则丽=%前+〃函=(-40,丸)，易

矢口用=(1,1,-1),

印=9+而=(1_41,4_1),

乂因为福=(0,1,1),设异面直线。尸和力用所成角为。，

\DPAB|A

则cos0-X}

I而卜|河V4/12-8A+6*

IT

当a=0时・，cos6»=0,此时异面直线2尸和/4所成角为万；

1

当北阿时，c°s"bE"6~~87

r——+4

22Z

^-7=/,/e[l,+oo),则cos。=J—；—!----,rG[1,+CO),

4\6广一81+4

2

开口向上的二次函数y=6〃-8T十4的对称轴为，=§,因为/日1,十②)，

故u=6/一M+4在/=1时取得最小值2,此时J—----1仅得最大值也，

•V6r2-8/+42

故当ze[l,+oo)时，cos6=Jr"!——€(0,

V6r2-8r+4

综上所述，当4£[0,1]时，cos，e[0，¥]，则夕£[：,，]，

即异面直线和力与所成角的取值范围是号,§,故C正确；

对干D：由B可知，而=4而4■〃函=(一/1,0,4),又因为港二(0,1,0),

故9=方+即=(-41,〃)，

易知在正方体中，48_L平面88CC，故)=(0.1,0)是平面8BCC的一个法向量，

因为力尸与平面44GC所成角为三，故有|cos<"G>|=婆'〃」=J,=*,

4|"卜1〃|〃2+〃2+12

化简得分+)=1，则|即|="2+〃2=],

又因为8。,1,0),BP=(-入0,〃),故田(-2+1,1,〃),又因为4e[0,l],p€[0,1],

故点"位于BCG5的内部(含边界).

7T

因此点P的轨迹为以8为圆心，半径为1,圆心角为:的圆弧，

2

27rX1it

因此点尸的轨迹长为-----=-,故D正确.

42

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知A为抛物线C：y2=2PMp>0)上一点，点A到C的焦点的距离为8,到y轴的距离为6,则P=

【答案】4

【解析】

【分析】根据抛物线的定义及条件可求答案.

[详解】因为点A到C的焦点的距离为8,

所以点A到准线x=-R的距离为8,

2

因为点力到y轴的距离为6,所以6+5=8,即p=4.

故答案为：4

13.已知等差数列｛qj满足出=2,%=-5,则｛%｝的通项公式。”=；记c,=2%,则。臼…

的最大值为.

【答案】①.4-〃②.64

【解析】

【分析】利用等差数列的性质求出公差，然后求出通项公式得空■；利用指数运算化简，然后由二次函数

性质即可求得最大值.

【详解】空一：记等差数列｛q｝的公差为d,则4=妥/=二¥

所以4“=〃2十(〃-2)4=2十(〃-2)x(-l)=4-〃；

n(7-n)

空二：因为*=2%=2j,所以eg…g=23・2224-M-23+2+…H4-")_22-

因为《+某

〃£N”，

n{j-n'\

=6,

所以当〃=3或〃=4时F

」max

所以2牛1的最大值为26=64.

故答案为：4—〃；64.

14.已知点M(Xo,2-Xo),若圆/+『=2上存在两点力、4,使得N4W8=60°，则/的取值范围是

【答案】[1-V3J+V3]

【解析】

【分析】对点M与圆的位置关系进行分类讨论，在点用在圆上时，直接验证即可；在点/在圆外时，过

点M作圆/+丁=2的切线，切点分别为£、F,可知=由此计算得出

|aW|<2V2,再利用两点间的距离公式可得出关于X。的不等式，即可解得/的取值范围•综合可得出X。的

取值范围.

【详解】因为焉+(270)2=2片-4%+4=2(/-1『+2之2,故点又在圆上或圆外，

若点”在圆上，此时耳+(2-七『=2(%-1)气2=2,此时玉)=1,

显然在圆/+/=2上存在点/、8,使得N4WB=60‘，符合题意;

若点用在圆外，则与工1,

如下图所示:

咻A/

过点M作圆/+/=2的切线，切点分别为后、F,则NN4Ve=60°,

由圆的几何性质可知OE_LA/E,OF1MF,

由切线长定理可得必回=|"日，又因为10M=|OM|,|。同二|。川，故AOMEAOMF,

所以ZOME=40MF，故乙OME=-4EMF>30°,

2

因为sin/OA/£=^*g,所以|。3|«2|04二2夜，

2

即=%+(2-x0)=2片-4x0+4<8,整理可得石-2x0-2<0,

解得1一6工/W1+6,此时/c[i—G,i)u(i/+6]

综上所述，%的取值范围是[1-石』+6].

故答案为：[1-V3,1+V3].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15,已知圆。经过力(-1,0),8(2,-3)两点,且圆心。在“轴上.

(1)求圆C的方程；

(2)求与圆C关于直线，：x-y-l=0对称的圆的方程.

【答案】(1)(X-2)2+/=9；

(2)(x十十(丁—3)2=9.

【解析】

【分析】(1)设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；(2)根据点关于直线的对称关系

求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得.

【小问1详解】

依题意，因为圆心C在x轴上，所以设圆。的方程为/+/+01+77=0,

]_£）+/?=0p=-4

因为圆。经过/（-1,0）1（2,-3）两点，所以，解得

所以圆。的方程为f+y2—4x—5=0,g|J（x-2）2+/=9.

【小问2详解】

由（1）知，圆。的圆心为。（2,0）,半径为尸二3；

设。（2,0）关于直线/:x-尸1=0对称的点为。'（叽〃），

则CC的中点为M”丁，g，直线CC'的斜率为〃二」■：；

I22jm—2

m+2n,八

--------+1=0

77

因为点C,C'关于直线/对称，所以，

k=-^—=-\

m-2

"?一〃+4=0[w=—1，/、

即《。，解得〈一所以C'（T3）,

n=2-m[n=3

所以与圆。关于直线/：x-y+l=0对称的圆的方程为（x+l『+（y-3）2=9.

16.记S”为等比数列｛%｝的前〃项和，已知3s“+。7=1.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设”=（一1户〃%,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】（1）。“二（一2）1

（2）7；=5T2+1

【解析】

【分析】（1）根据题设结合S”与知的关系可得。向二-2勺（〃之2）,进而得到数列｛%｝的公比为-2,即

可得到的=-2/，再由题设得到3%+%=1即可求得卬=1，进而求解即可；

（2）由（1）可得"二〃.2-，进而利用错位相减法求解即可.

【小问1详解】

由3s,+%=1,

当〃>2时，35“_1+。“=1.

两式相减得,3%+/+]-%=0,即。〃+|=-2勺（〃22）,

因为数列｛%｝为等比数列，所以数列｛%｝的公比为-2,

当〃=1时，3。[+七=1，而。2=-2al,解得q=1,

所以%=（-2）~.

【小问2详解】

由（1）知,〃”=（一2广，则（=（一1广叫=（一1户小（一2广=小21,

所以7；=1・2°+22+3・22+・一+〃・2""，

则27；=12+2・22+3・23+3+（〃-1）21+小2”,

两式相减得，-7；=2°+21+22+—+2"7-小2"二：，一〃・2"=（1-n）-2z,-I，

则7〃=（〃-1）2+1.

22

17.已知椭圆++方=1（〃>/）>0）的离心率为9左、右焦点分别为片，玛，山周二2,过点大且斜

率为％的直线，与y轴相交于点E,与椭圆相交于C,。两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当〃=；,求△乃8的面积；

（3）若斥二瓦，求A的值.

22

【答案】（1）£14-22=1

43

⑵正

4

（3）k=±—

2

【解析】

【分析】（1）根据离心率和焦距可得方程；

（2）写出直线方程，与椭圆方程联立，结合弦长公式可得答案：

（3）根据向量关系得出玉+々二-1，联立方程，结合韦达定理可得答案.

【小问1详解】

因为椭圆±y+4=l（a>b>0）的离心率为:，比61=2,所以c=l,a=2,所以b2=a2-c2=3,

crb'

22

即椭圆的方程为三+匕=1.

43

【小问2详解】

由（1）可知C（-1,0）,心（1,0）,因为彳=g,所以直线方程为y=g（x十1）

,即工一2y+1二0；

22

，匕=1

联立，43,可得16_/-12〉一9二0；

x-2y+l=0

39

设C（X,必），。（占，%），则必+必=7，乂M=-77.

\CD\=^^》（必+，2）2一4凹%=国椁+（=7,

,|1-0刊20

Q到直线x_2y+l=0的距离为△=｛『+（2『二丁•

所以的面积为，x"x述=迪.

2454

【小问3详解】

设£（0,加）,则耳C=（玉+1,弘）,0£1=（—X2，加_必），

因为片C=QE,所以X[+l=—々，即玉+工2=—L

*>）

工+二=1

直线方程为y=Z（x+l）,联立143,可得（3+4公卜2+8-X+4F-12=0；

y=k（x+\）

18.如图，在四棱锥P-NBCO中，底面N3C。是矩形，侧面底面/3CQ,瓦尸分别是棱ZO,PQ

证明：PBHAFC；

(2)当/产力。=120。，PA=AD=2AB=2,且4E==

(I)若BE工PC,求。的值:

(II)当四棱锥3-尸4所的体积最小时，求平面尸EC与平面PDC的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析:

(2)(I)-；(II)

320•

【解析】

【分析】(1)连接3。，与4C交于点。，连接歹0,证明厂0〃P8,再利用线面平行的判定定理即可证

明；

(2)(I)建立空间直角坐标系，写出坐标，根据诟.定=()列出方程，即可解得。；

(11)利用面面垂直的性质定埋证明84_L平面上4〃，因此从4为四棱锥4一/.的高，因此四棱锥

B-PAEF的体积在四边形的面积S最小时取到最小值，利用表示出四边形尸力后尸

的面积S,求得S最小时所对应的。，再写出各点坐标，求出平面PEC与平面PQC的法向量，再运用向

量夹角公式，即可得解.

【小问1详解】

证明：连接50,与4C交于点0,连接A9,

在矩形N8CO中，易知点。是8Q的中点，乂因为点尸是。。的中点，

故在△P8Q中，是P8的中位线，板FOHPB,

又因为尸Ou平面力R7,P3a平面

故PB//平面AFC.

【小问2详解】

(1)过点力作垂直于平面NBC。的直线力z,易知/优力。,42两两互相垂直,

故可以力为坐标原点，以力民力Q,4z分别为工,乂z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则3(1,0,0)g(040)/(0,—1,6),。(1,2,0)，0(020),

则BE=(-l,a,0),PC=(1,3,-6)，

因为8EJ.尸C,故丽•定二一1+3々=0，解得得。=；.

(II)因为侧面产力。_1_底面/5CZ),平面P/Qc平面43CQ=Z。，BALAD,48u平面

ABCD,

故,48_L平面尸/。，因此四棱锥8—HE/的高为84=2,设四边形P4Eb的面积为S,

1?

则*g=?•切=?，

JJ

故四棱锥8-P4E/的体积在四边形PAEF的面积最小时取到最小值，

•/ZPJD=120°,AP=AD,/PDA=AFDE=30°,

=

SS^PQ—S^FDE—x2x2xsinl20°——xax(2-a)xsin30°

22

所以当四棱锥的体积最小时，4=1,故£(0,1,0),则比=(11,0),

又正二(1,3,-JJ),5c=(1,0,0)，

，屁=0

设平面PEC的一个法向量为=（演,必,Z］）,则有

〃1-EC=0

M+3%-JJz]=0.r

即<।力।,取玉=3,则必=_3,4=—26，

①+凹=0

则平面PEC的一个法向量［=（3,-3,-25/3）；

一小-PC=0

设平面尸。。的一个法向量为〃2=（吃,％/2），则有《二一

nz-DC-0

即（々+3歹2-任2=°,得马=（），取以=1，则Z2=6

〔工2=。

则平面尸。。的一个法向量稔=（°，i，6）•

设¥面PEC与平面PDC的夹角为0,

|^-^|_93730

贝Ucos0=|cos<%,%>1=

|)|.区|一同.2-20

即平面PEC与平面PDC的夹角的余弦值为空0.

20

19.已知动点P（x,y）与定点（2,0）的距离和它到定直线/：1=1的距离的比是常数啦.记动点P的轨迹

为曲线C.

（1）求曲线C的方程：

（31'