九年级数学训练：概率和投影与视图（期末复习）原卷版

九耳恁熬老（上，

专题概率和投影与视I

题型归纳•内容导航

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

题型1几何概率（常考点）:题型8正投影

题型2列举法求概率（常考点）：题型9平行投影

题型3列表法或树状图法求概率（重点）题型10中心投影

题型4游戏的公平性（重点）题型11判断几何体的三视图（常考点）

题型5概率的实际应用（重点）：题型12画几何体的三视图（常考点）

题型6用频率估计概率（常考点）：题型13由三视图还原几何体（常考点）

题型7用频率估计概率的综合应用（重点）;题型14已知三视图求值（常考点）

i题型15由三视图判断小立方体的个数（常考点）

［题型通关•靶向提分1

题型一几何概率（共4小题）

1.（24-25九年级上•江苏镇江・期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个

转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（）

AA.InB.IC-.3CD.、

32K8

2.（24-25九年级上•陕西渭南•期末）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为

白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转

一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（）

1/26

九斗级数当（上）

A.；B.<C.：D.；

3.（25-26九年级上•河南安阳•期末）如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的

4.（24-25九年级上•甘肃兰州•期末）一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），

则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为.

5.（24-25九年级上•江苏连云港期末）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，有？次正面朝上，|次反面朝上,

第、次抛掷，正面朝上的概率是（）

1।3I

A.B.C.D.

S2.1I

6.（24-25九年级上•湖北襄阳•期末）如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关小B,C,

7.（23-24九年级上•四川绵阳•期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量

检测是一件非常重要的事情.某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次

品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验.（记3件正品分别为I,«,（,2件次品分别为

”,b)

⑴列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品〃的所有等可能结果;

⑵求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率.

2/26

九斗级数当（上）

8.（24-25九年级上•河北唐山・期末）三张卡片正面分别写有2，1,除正面的数字不同外，其余均相

⑴将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的教字是偶数的概率为;

⑵将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点”的横坐标L放回后重新洗匀，再

随机抽取•张，记正面数字为点丫的纵坐标.'，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点“坐

标”所有可能的结果，并求出点“在反比例函数，”的图象上的概率.

I

题型三列表法或树状图法求概率（共4小题）

9.（24-25九年级上•宁夏固原•期末）学校在世界读书口举行:“书香校园，全员阅读”活动.李华去学校图书

馆借阅书籍，准备从《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》中随机选择一本，再准

备从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》中随机选择一本、恰好选中《九章算术》和《西游记》的概

率是（）

III7

A.B.C.D.

12»R12

10.（24-25九年级上•安徽宿州•期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中A、，K,A：为电路开关，

人、人为能正常发光的灯泡.任意闭合开关A,K,K中的两个，那么能让灯泡人发光的概率

为.

3/26

九斗级数当（上）

11.（24-25九年级上•云南红河•期末）随着科技的发展，改变的不仅仅是人们的生活水平，就连购物的模

式和支付方式也在发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外.还有微信、支付宝以及其他支付

方式.在学校组织的远足活动中，小华和小丽去“零食很能嗨”便利店购物，她们准备从微信、支付宝、银

行々、现金四种支付方式中选一种方式进行支付，记小华的选择为x,小丽的选择为y.

⑴请用画树状图法或列表法中的一种方法，求I「”所有可能出现的结果总数;

（2）求出小华、小丽两人恰好选择相同支付方式的概率P.

12.（25-26九年级上•全国•期末）某校举行“春天诵诗"比赛，将参赛选手的成绩分为4B,C,。四个等

级，并绘制成如图所示的两幅不完整统计图.

请根据相关信息，解答下列问题：

⑴求8等级选手的人数为二机的值为二

⑵学校从成绩为力等级的学生中选2人去参加县里比赛.已知/等级学生中有2名男生1名女生，请用列

4/26

九耳怨欲老（上）

表法或画树状图求出所选2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.

题型四游戏的公平性（共4小题）

13.（24-25九年级上•广东江门•期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2,3,

4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则

甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜.这个游戏.（填“公平”或"不公平”）

14.（22-23九年级下•广东云浮・期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币

的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地.为了判断这

种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级.（填

“公平"或"不公平"）

开始

/\

第一枚正反

AA

第二枚正反正反

15.（24-25九年级上•安徽六安•期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如卜.：小华先将3枚勋章放在加图所

示I•:的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴

对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜.

问二述游戏规则公平吗？请说明理由.

16.（24-25九年级上•浙江杭州•期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1,2,3,4的小球，它

们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为X,小红在剩下的3个小球中随

5/26

九斗级数当（上）

机摸出一个小球，记下数字为H这样确定了点M的坐标U、.v）

⑴画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标.

⑵小明和小红约定做一个游戏，其规则为：小丁若满足'〈I,则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平

y

吗？说明理由.

题型五概率的实际应用（共6小题）

17.（22-23九年级上•山西阳泉•期末）如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上

L2,3,转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（）

18.（24-25九年级上•浙江绍兴•期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏

路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为.

19.（23-24九年级上•福建泉州•期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超〃，其实是目前火爆全网的贵州乡村

体育赛事一一榕江（二宝侗塞）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为"村超”."村超〃的民族风、乡十

味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人

比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均;，各局

比赛的结果相.互独立，第1局甲当裁判.

⑴求第4局甲当裁判的概率；

⑵求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.

6/26

九斗级数当（上）

20.（22-23九年级上•江西吉安・期末）某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班

主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为

A,A,B,B,为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件

是•样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品.若小敏先取一张纸片后小明取.

⑴求小敏与小明均取到奖品A的概率；

⑵求小川得到两件奖品的概率.

21.（22-23九年级上•河南平顶山•期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活

动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：

方案一：是直接获得20元的礼金卷；

方案二：是得到一次播奖的机会.规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘力、从这两个转

盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分

割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少.

指针指向两红一红一蓝两蓝

礼金券

27927

（元）

A,：式B款

⑴请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率.

（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为

实惠.

7/26

九斗级数当（上）

22.（23-24九年级上•河北沧州•期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100

元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会.为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：

方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；

方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品.（若指针指向分界线，则重

⑴若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为:

（2）若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；

⑶如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由.

8/26

九斗级数当（上）

题型六用频率估计概率（共5小题）

23.（23-24九年级上•青海果洛•期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰

子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的•面的点数是6〃的频率最可能接近（）

A.0IB.017C.0<D.0S

24.（25-26九年级上•浙江温州•期末）如图1,有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该

不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为八一的正方形内部.通过计算机随机投放

一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据.

“点落在不规则图案内的频率

0.35

03

0.25

0120240360480600720840试验次数

图2

由此可估计不规则图案的面积大约为（）

A.1VnHIB.IOKtniC.I2cm*D.、E'

25.（24-25九年级上•河北张家口•期末）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将

8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个

球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在（一附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为

个.

26.（24-25九年级上•陕西西安•期末）一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，

1个黄球，这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作

随机摸球1次

⑴随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是；

⑵随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率.

9/26

九斗级数当（上）

27.（23-24九年级上•山东烟台・期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共

4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记卜颜色，再把它放回袋中，不断重复，

如下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数〃1001502005008001000

摸到白球的次数小73117152370604751

摸到白球的频率07tO7X'•r07107550751

n

⑴请估计：当〃很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是

，摸到黑球的概率是:（保留两位小数）

⑵试估算，口袋中黑球的个数是，白球的个数是:

⑶从口袋中任意摸出一个球，记二颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求

两次摸到的球的颜色正好相同的概率.

10/26

九耳怨欲老（上）

题型七用频率估计概率的综合应用（共5小题）

28.（24-25九年级上•陕西榆林・期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为（，3若在相同条件下

培育50棵同种植株，则成活的植株约为（）

A.45棵B.5棵C.20棵D.40棵

29.（24-25九年级上•吉林长春•期末）在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有〃个红球，这些球

除颜色外无其它差别.数学兴趣小组做摸球试验，将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再

放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：

摸球的次数〃2050100200300400500

摸到红球的次数小93262117181238301

摸到红球的频率力0.450.640.620.5850.6030.5950.602

n

根据以上数据，估计。的值约为.

30.（23-24九年级上•陕西渭南•期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在

袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇

匀，通过大量重更这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在Q15附近，请估计袋子中红球的个数.

31.（23-24九年级上•江西上饶•期末）某批乒乓球的质量检验结果如下:

抽取的乒乓球数”200500100015002000

优等品频数小18847194614261898

优等品频率力09-1009-1?09-W.095109-19

11/26

九斗级数当（上）

⑴这批乒乓球“优等品”的概率的伍计值是多少？

⑵从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明

的袋中.

①求从袋中摸出•个球是黄球的概率：

②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于

问至少取出了多少个黑球？

32.（24-25九年级上•宁夏银川•期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的

数量来估算鱼塘的价值.他从鱼塘中打捞了200条鱼.在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，

经过一段时间后，再从鱼塘中打措鱼.通过多次实验得到数据如下表所示：

根据表中数据，回答下列问题：

每次打捞鱼数50100,00too500

每次打捞鱼中带标记的倒数II1911n

打捞到带标记的鱼的频率DOMIm0.0950100

（1）表中用,〃；

⑵随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为（精确到01）;

⑶若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？

12/26

九斗级数当（上）

题型八正投影（共2小题）

33.（24-25九年级上•山东威海・期末）线段”）是线段小的正投影，则下列说法正确的是（）

A.1H＞（hB.1/#＜（/）C.1HXf）D,1H＜（/）

34.（23-24九年级上•山东济南•期末）线段的正投影，其形状可能是.（写出一个即可〕

题型九平行投影（共4小题）

35.（24-25九年级上•陕西西安•期末）在有阳光的某天下午，明区某初中的小明，在不同时刻对一景物拍

了三张风景照〃?、〃、「，冲洗后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度则相、〃、厂的先后顺

序是（）

A.〃？、八nB.〃？、〃、7•C.八〃1、nD.八〃、m

36.（24-25九年级上•宁夏固原•期末）如图，日辱仪也称日唇，是观测日影计时的仪器.史料中最早的记

载是“汉书•律历志•制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主轻仪，下刻漏”.看来日辱是我国古

代利用日影测定时刻的仪器，轻针在导面上所形成的投影属于投影.

37.（23-24九年级上•陕西渭南•期末）某一时刻，一棵树在阳光下的影子如图所示，同一时刻，小丽站在

4处，树和小丽均垂直于地面.请画出图中此时表示小丽影长的线段

38.（24-25九年级上•广东清远•期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高.如图所示，在

某一时刻，他们车阳光下，分别测得该建筑物”"的影长T为20米，小军的影长4为，1米，其中。、

13/26

九斗级数当（上）

C、F、G四点在同一直线上,且.（K,bh11（；.

/雷

/DD

E/'DD

/金/而

GFCO

⑴①图中阳光下的影子属于投影；

②线段H（'与线段13之间的位置关系为.

⑵已知小军的身高”为IR米，求建筑物的高.

题型十中心投影（共4小题）

39.（24-25九年级上•山东淄博•期末）如图,晚上小颖在路灯,下散步，在小颖由.1处走到月处的过程中

（（在LN之间），小颖在地上的影子（）

A.先变短后变长B.逐渐变短C.先变长后变短D.逐渐变长

40.（24-25九年级上•陕西榆林・期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方,

另一根的影子的方向为正西方，那么这是投影（填“中心”或"平行”）

41.（24-25九年级上・甘肃兰州•期末）如图，木杆，7）和〃与地面垂直，木杆厂〃在路灯。下的影子为

木杆//在路灯。下的影子为/•〃，已知点D,G,F,〃在一条直线上，（/）卜卜/）//,

请在图中画出路灯O.

7

DGFH

42.（24-2S九隼级上•费州毕节・期末）如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段〃，表示站立在

14/26

九斗级数当（上）

路灯下的小彬，线段八”表示直立在路边的灯杆，点八表示路灯的位置..在同一直线上）

⑴在小彬由月沿〃〃所在的方向行走到，”的过程中，他在地面上的影子的变化情况为.

⑵请你在图中画出小彬站在小处的影子.

⑶当小彬走到（“处时，身高（小）为ICE的小彬的影长为‘rr〃〃orr,路灯外，的高度是多少米？

题型十一判断几何体的三视图（共5小题）

43.（24-25九年级上•四川成都・期末）桦卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾桦是“万桦之母〃.如

图是燕尾桦的带桦头部分，它的主视图是（）

44.（22-23九年级上•山东青岛・期末）如图所示的几何体，它的左视图是（）

45.（25-26九年级上•全国・期末）如图，该几何体的左视图是1）

15/26

九斗级数当（上）

B.

D.

46.（23-24九年级上•陕西西安•期末）如图所示的几何体图形中，俯视图是圆的有（填序号）.

47.（23-24九年级上•甘肃白银,期末）如图，有4张除了正面图案不同，其余都相同的卡片.

正面

D

⑴这四张卡片上的立体图形中，主视图是矩形的有（填字母序号）；

（2）将这四张卡片背面朝上混合均匀，从中随机抽出•张后放回，混合均匀后再随机抽出一张，求两次抽出

的々片上的立体图形的主视图都是矩形的概率.

题型十二画几何体的三视图（共6小题）

48.（24-25九隼级上•山西大同•期末）如图所示的几何体，其左视图是（）

16/26

九斗级数当（上）

49.（22-23九年级上•山东青岛・期末）如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（）

I:4方向

50.（24-25九年级上•海南•期末）如图所示，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体

的左视图是（）

51.（24-25九年级上•全国•期末）补全下列几何体的三视图.

17/26

九斗级数当（上）

52.（24-25九年级上•陕西咸阳•期末）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图.

左

视

图

53.（24-25九年级上•陕西西安•期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体.请在网格中画出图示

几何体的三视图.

上视图左视图俯视图

题型十三由三视图还原几何体（共42小题）

18/26

九斗级数当（上）

54.（24-25九年级上•辽宁大连•期末）如图，根据三视图可知这个立体图形的名称为（）

A.圆锥B.三棱锥C.圆柱D.长方体

55.（24-25九年级上•宁夏银川•期末）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

56.（24-25九年级上•广东清远•期末）一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是圆，这个几何体

可能是.

57.（22-23九年级上•陕西榆林•期末）如图是一个组合（由两种常见的几何体组合）几何体的两种视图.

19/26

九斗级数当（上）

俯视图

⑴请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的;

（2）画出该组合几何体的左视图.

题型十四已知三视图求值（共10小题）

58.（24-25九年级上•河南郑州•期木）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）

俯视图

A.9?T»UiB.I20TC.|60万D.“不万

59.（23-24九年级上•山东青岛・期末）如图所示，是一个几何体的俯视图和正视图（主视图），则该几何

体的表面积为（）

20/26

九斗级数当（上）

25cm

正视图何视图

A.fl

D.'I>k11

60.（23-24九年级上,四川达州•期末）由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图,

说法正确的是（）

A.主视图的面积最小B.左视图的面积最小

C.俯视图的面积最小D.二个方向看的视图面积相等

61.（25-26九年级上•全国•期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：mm）,这个几何体的表面枳是_

62.（24-25九年级上•辽宁丹东•期末）如图是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中配标数据，

（主视图标注的数字为4、左视图标注的数字为6、俯视图标注的数字为2）铸灌这个几何体需要的铁铸的

体积为.

21/26

九斗级数当（上）

63.（23-24九年级上•广东梅州•期末）如图，这是一个放在水平桌面上的半球体，它的底面圆的半径为

l（km,该几何体的主视图的面积为e.

64.（24-25九年级上•山东威海・期末）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图,

如图所示.求该工件的体积.

65.（22-23九年级上•河北邢台