特殊四边形综合

2讲特殊四边形综合

模块一特殊四边形的性质

(1)如图，分别以直角A44。的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边和等边F

为A8的中点，力石与48交于点G,EF与AC交于点H,ZAC8=90。，Zfi4C=30°.给出如下结论:

@EF1AC；

②四边形AOFE为菱形；

③AD=4AG；

@FH=-BD；

4

其中正确结论的是

(2)如图，矩形A8CO中，BC=2AB,对角线相交于。，过。点作CE_L

BD交BD于E点、,H为BC中点,连接A”交8。于G点，交EC的延长

线干尸点，下列5个结论：

①EH=AB；

②/ABG=/HEC；

③△ABG/AHEC；

@CF=BD.正确的有.

(3)如图，在一张矩形纸片ABCO中，AB=4,BC=8,点E,尸分别在A。，BC上,将纸片4BC。沿直线

EF折叠，点。落在AO上的一点”处，点。落在点G处，有以下四个结论:

①四边形CFHE是菱形；

②EC平分/DCH：

③线段BF的取值范围为3WBFW4；

④当点”与点A重合时，EF=245.

以上结论中，你认为正确的有

检解析

(1)①③④；是等必三角形，・・・N£4C=60。，AE=AC

VZfi4C=30°,AZE4£=ZACB=90°,AB=2BC,・.・/?为力8的中点

・・・AB=2AF,ABC=AF,：.AABCdEFA,:•FE=AB,AZAEF=ZfiAC=30°

AEF1AC,故①正确

VEF±AC,ZACB=90°,:.HF//BC：TF是人〃的中点

:,HF==BC,VBC=-AB,AB=BD,AHF=-BD,故④说法正确;

224

VAC^AB;AAE^EF,二四边形AQFE不是菱形；故②说法不正确;

AAG=-AF:：,AG=-ABVAD=AI3;则A力=4AG,故③说法正确.

22t

(2)①②④；①•・•(?£_L3Q,H为BC中点、

・••在△8CE中，BC=2EH;又BC=2AB

：.EH=AB,故①正确；

②由①可知，BH=HE

:.ZEBH=ZBEH,

又ZABG+ZEBH=ZBEH+Z^EC=90°

/.^ABG=ZHEC,故②正确；

③由AB=BH,ZABH2=90°,得NHAG=45。

同理：ZDHC=45°,，ZLEHO^DHC=45°

・•・△A3G=△〃£1(?错误：

@VZECH=ZCHF+ZF=45°+ZF,

叉4ECH=4CDE=4BAO,

XHAO=/BAH+ZHAC,/.ZF=ZHAC

:,CF=BD,故④正确.

(3)①③④；•・•川与CG,E/7与CF都是矩形ABCO的对边AO、3c的一部分,

:.FH1/CG,EH//CF,

・•・四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH,

・•・四边形C/7/E是菱形，（故①正确）：

,4BCH=ZECH,

・•・只有N/X1E=300时EC平分NQCH,（故②错误）；

点”与点4重合时，设BF=x,W'lAF=FC=8-x,

在中，AB2+BF2=AF:,42+x2=（8-x）2

解得x=3,点G与点。重合时，CF=CD=4,

:・BF=4,J线段8尸的取值范国为3W8/W4,（故③正确）；

过点/作为W_LAP于M,则用石=（8-3）-3=2,

由勾股定理得，EF=JM尸2+ME?=,4?+2?=2石，（故④正确）.

如图，在正方形A3C。中，E、F分别为8C、A3上两点，且BE=BF,过点3作AE的垂线交AC于点G,

过点G作C77的垂线交于点H延长线段4E、GH交于点M.求证：AM=BG+GM.

解析

连接。G,在和△AOG中，

AB=AD

<ZDAC=ZBAC=45°,

AG=AG

・•・AABG^AADGCSAS）,

:,BG=DG,Z2=Z3,

•・•BG1AE,

JZR4E+Z2=90°,

'：/LBAD=Z.BAE+Z4=90°,

Z2=N3=N4,

,：GM工CF,

・•・ZBCF+Zl=90°,

又/3CF+NMC=90。，

；・Z1=ZBFC=Z2,

JZ1=Z3,

在△ADG中，NDGC=/3+45。，

・•・NDGC也是△CG〃的外角，

・MG、M三点共线，

VZ3=Z4（乙证），

A,\M=DM,

*/DM=DG+GM=BG+GM,

AAM=BG+GM.

【教师备课提示】本题综合性较强，证明三点共线是解题的关键.

如图，在菱形ABC。中，M,N分别是边AB,8c的中点，MP上AB交边CD于点、P,连接N做，NP.

(1)若N8=60",这时点。与点。重合，则N/VMQ=度；

(2)求证：NM=NP；

(3)当为等腰三角形时，求的度数.

备用图

解析

(1)•••加0_1,85交边。。于点户，4=60°，点户与点。重合,

；・乙NPM=30°,ABMP=90°,

•••N是8c的中点，:.MN=PN,

；・ZNMP=ZNPM=30°;

(2)如图1,延长MN交。C的延长线于点E,

，:四边形ABCD是菱形，：.AB//DC,J<

:.乙BMN=NE,

•・•点N是线段5c的中点，・•・BN=CN,

在丛MNB和/\ENC中,B'、、、、

4BMN=ZE图1'

<ZMNB=/ENC,

RN=CN

・•・赳MNB沿4ENC,

:.MN=EN,D

即点N是线段ME的中点，

*/MPLAB支边CD于点P,“厂”

；・MPLDE,

：・"PE=90。,----------------dp

・•.PN=MN=-ME;

2

(3)如图2

・四边形ABC。是菱形，

••AB=BC,因2

又M,N分别是边A8,8C的中点，

MB=NB,

，乙BMN=NBNM,

由(2)知：哈△ENC,

乙BMN=/BNM=/E=4CNE,

又；PN=MN=NE,

:.ZNPE=ZEt

设乙BMN=4BNM=4E=4CNE="PE=亡，

则ZNPC=x°f

①告PN=PC,则NPNC=ZNCP=2x0,

在△RVC中，2Ti2TiJV=180,

解得：x=36,

；・/8=N/WC+Z/VPC=2d+d=36Ox3=108。，

②芸PC=NC,则NPNC=NNPC=B,

在赳PNC中,2A+X+X=180,

解得：x=45,

，々=/取。+"?。=产+3°=45。+45。=90°.

模块二变式题

【教师备课提示】针对变式题的例题，每一种的变式所对应的解题方法都是类似的，只要能够掌握其中的

一种变式的解沃思路，其他的变式的解题思路也就类似了.

如图3-1,将菱形A8CQ和菱形8EFG拼接在一起，使得点A,B,E在同一条直线上，点G在BC边上，P

是线段。厂的中点，连接PG,PC.若N/\8C=120。.

（1）求出线段PG与PC的位置关系及NPCG的大小;

（2）将图3-1中的菱形及节G绕点3顺时针旋转，使点£恰好落在C8的延长线上，原问题中的其他条件

不变（如图3-2）.你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？

写出你的猜想并加以证明.

解析

(I)PG1PC,/尸CG=30°;

如图①，延长GP交DC于点、H,

•・•在菱形ABC。和菱形BEFG中，AE//DC,AE//GF,

:.DC//GF,JAPDH=4PFG,

/PDH=4PFG

在\PDH和△Pf'G中，,PO=P产,

ZDPH=4FPG

，△PDH^APFG(ASA),

:,DH=GF,PH=PG,

,:BG=GF,:.DH=BG,VDC=BCt

/.HC=GC,・•.△GC〃是等腰三角形，

/.PG±PC,/PCG="CH,

*：ZABC=120°,

/BCD=60。,

:.NPCG=30。:

(2)(l)中两个结论仍成立；证明：如图②，延长G尸交40于点”，连接CG,

•・,四边形ABCD和BEFG是菱形，

：.AD//BC,BE//FG,

在C8的延长线上

:.AD//FGf/.ZHDP=NGFP,

2PDH=ZLPFG

在l\DPH和△FPG中，［P。=P产，A

ZDPH=NFPG

・•・△0/7/出△五PG(ASA),PH=PG,DH=FG=BG,

F

DH=BG

在△8”和ZkCAG中，］z//DC=ZCBG=120°,

DC=BC

・•・△CO”四△CBG(SAS),

?.CH=CG,ZDCH=ZBCG,

；・CPLPG,

••・AHCG=ZHCB+/BCG=4HCB+4DCH=NDCB=0,

・•・/PCG=-4HCG=30°.

2

【教师备课笔记】当菱形BEFG统8点旋转的角度为任意角时,CP_LPG和NPCG=30。也成立.（延长GP

到H点使得PH=P，G,连接。”，CH和CG)

D__CDC

/X7/、小

H

例4A

（西川期末）在平行四边形A8C7）中，的。的角平分线交直线3c于点£交直线DC于点F.

（1）在图4-1中证明CE=C尸；

（2）若N/历C=90。，G是E尸的中点（如图4-2）,求的度数:

(3)若NABC=120。，FG//CE,FG=CE,分别连接80、0G（如图4-3）,宜接写出4ZX7的度数.

解析

(1)证明：如图I,

•.»尸平分NfiAO,

・•・^BAF=ZDAF,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

:,ZDAF=/CEF,ZBAF=ZF,

：./CEF=NF.

・•・CE=CF.

(2)连接GC,BG,

,・,四边形44CO为平行四边形，ZABC=90°,

・•・四边形ABCD为矩形，

•••Ar平分44),

:.ZZMF=Za4F=45°,

VZDC«=90°,DF//AB,

/.ZDM=45°,ZEC尸=90。

:.AECF为等腰直角三角形，

・・・G为所中点,

:.EG=CG=FG,CG±EFf

为等腰直角三角形，AB=DC,

:.BE=DC,

'：4CEF=NGCF=45°,:./BEG=ZDCG=135°

EG=CG

在XBEG与ADCG中，•・••ZBEG=ZDCG

BE=DC

・•・ABEG^ADCG(SAS),

:.BG=DG,

•:CG±EF,

:.Z.DGC+^DGA=90°t

又丁ZDGC=NBGA,

^BGA+ZDGA=90°,

J△DG8为等腰直角三角形,

・•・dBDG=450.

(3)证法同2,如图3.

【教师备课笔记】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识.

在菱形A8C。中，ZABC=60%E是对角线AC上一点，b是线段4C延长线上一点，且C尸=AE，连接

BE、EF.

(1)若E是线段AC的中点，如羽5-1,证明：BE=EF；

(2)若E是线段4c或4C延长线上的任意一点，其它条件不变，如图5-2、图5-3,线段AE、石厂有怎样

的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.

覆解析

(1)•・•西边形A8CO为菱形，

：・AB=BC,又＜N/WC=60°,

/.4ABC是等边三龟形,

•・•£是线段AC的中点，

/.ZCBE=-ZABC=30°,AE=CE,

2

VAE=CF,ACE=CF,

:.4F=NCEF,

•:^F+ZCEF=ZACB=(/)°,

AZF=30°,:・ZCBE=/F,

:.BE=EF:

(2)图2:BE=EF.

图3:BE=EF.

图2证明如下：过点、E作EG〃BC,交44于点G,

•・•四边形ABC。为菱形，

AAB=BCf

又：N/WC=60°,

/.4ABC是等边三角形,

，AB=AC,ZACB=60°,

又,：EGHBC,

:.NAGE=NABC=60°,

又：N84C=60°,

・•・△AGE是等边三角形，

AAG=AE,:•BG=CE,

叉TCF=AE,:・GE=CF,

又VZBGE=ZECF=120°,

・•・4BGEHECF(SAS),

・•・BE=EF;

图3证明如下：过点E作EG/你C交AB延长线于点G,

•・•四边形ABCQ为菱形，

JAB=3C,

又•：ZA«C=60°,

・•・AABC是等边三角形，

AAB=AC,ZA8=60。，

义,：EG〃BC,

:.Z4GE二ZABC=60°,

又；ZE4C=60°,

•••△AGE是等边三角形，

AAG=AE,:,BG=CE,

又•••CV=A£,：,GE=CF,

又：/BGE=/ECF=OT,

・•・ABGEdECF(SAS),Z.BE=EF.

【教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识.

复习巩固

模块一特殊四边形的性质综合

在菱形4BCD中，NA43=120。，点E平分。C,点尸在BD上，且P£+PC=l,那么边A8长的最大值是

解析

々口国，连接4P,AE,AC

根据四边形A3CO是菱形，AAD=CDtAP=CP,

・•・PE+PC=PE+PA=\,

*：^DAB=\20°,

AZAZ)E=60°,AD=CD,

・•・△AOC是等边三角形，

,:DE=CE,

・•・ZA£D=90°,ZmE=30°,

/.AE=—AD=—AB<\,所以A8W辿

223

即AB长的最大值是冬叵.

3

如图，矩形ABCD中，。为AC中点，过点。的直线分别与AB,CD交于点、E,F,连接8尸交AC于点M,

连接。E,B0.若NCO8=60。，FO=FC,则下列结论:

①FBIOC,OM=CM；

②△EOBdCMA：

③四边形EBF。是菱形；

④MB:OE=3:2.

其中正确结论为

⑥解析

①③④；连接0。即可.

演练3»)

己知：矩形A3C。中。是对角线的交点，过。任作一直线分别交AC、A。于点M、N(如图3-1).

(1)求证：BM=DN•,

(2)如图3-2,四边形AMNE是由四边形CMNO沿MN翻折得到的，连接CN,求证：四边形AMOV是菱

形；

遏解析

(1)连接BQ,则BD过点0,

■:ADHBC,

:./OBM=4ODN,

叉OB=OD,ZBOM=/DON,

・•・\OBMdODN,

:.BM=DN:

(2),・,矩形48CD,

：.AD//BC,AD=BC,

叉BM=DN,

AN=CM,

:.四边形AMCN是平行四边形，

由翻折得，AM=CM,

・•.四边形AMCN是菱形：

(3),:SS'DNCD,SMYN’CMCD,

又S&a)N-SMMN=1：3，

・•・DN:CM=1:3,

设DN=k,则CN=CM=3k,

过N作NG_LMC于点G,

则CG=DN=k,MG=CM-CG=2k,

NG=JcM-CG'=Mk?-3=2同

・•・MN=JMG?+NG'="/+8炉=20k

・・・丝:亚=26

DNk

模块二变式题

总。演练4»〉〉〉

已知：在ZkABC中，NA4C=90°,46=AC,点D为直线8c上一动点（点D不与B、。重合）.以4Z）

为边作正方形AOER连接。凡

（1）如图4-1,当点。在线段8C上时，求证；®BD±CF.②CF=BC—CD.

（2）如图4-2,当点。在线段3C的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CABC、。£＞三条线段之间

的关系；

（3）如图4-3,当点。在线段8c的反向延长线上时，且点A、尸分别在直线8c的两侧，其它条件不变：

①清直接写出CGBC、C。三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线人石、DF,交点为。，连接OC,

探究△AOC的形状，并说明理由.