期末解答压轴题（7大考点）（高效培优期末专项训练）解析版-2025-2026学年七年级数学上学期（沪教版）

期末解答压轴题（7大考点）

考点归纳

考点01平移问题

考点02旋转问题

考点03翻折问题

考点04对称问题

考点05分式及分式方程

考点06因式分解

考点07整式综合

考点专练

考点01平移问题

1.如图，在△力AC中，ZC=9O°,BC=a,AC=b,（/）>a>0）,将绕点8顺时针旋转90。得

△4g.

备用图

（1）画出448。1.

（2）洛△4BC沿射线CB方向平移，平移后得4482G.

①当平移距离等于。（点和点8重合）时，求四边形44c2打的面积.（用。，人的代数式表示）

②若。=1,6=2,当△44G的面积和△4G4的面积相等时，平移距离多少？（直接写出答案）

【答案】（|）见解析

（2）①四边形44G鸟的面积为,②平移距离为2.5或3.5

1/42

【分析】（1）根据旋转的性质和方向，画出示意图即可；

（2）①把四边形的面积分割成梯形与三角形的面积之和计算即可；

②女平移的距离为h,分〃小于G+b和大于a+b,两种情形求解即可.

【详解】（1）根据旋转的性质，画图如下，

则△/10G即为所求.

（2）①当平移距离等于〃（点G和点8重合）时，如图所示,

A

:小=

/S四边形梯形

/一

CBC2Bz

=^(a+b)•a+^(b-a)•b

如图2所示，设平移的距离为

A4

二」

CBc2”2

图2

根据题意，得;5+力—

当△44G的面积和△4G&面积相等时,

.,.—(3—7/)x2=；x/，

解得力=2.5；

2/42

.-.1（A-3）x2=1xl2,

解得〃=3.5；

.♦.当△44G的面积和面积相等时，平移距离为2.5或3.5.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，图形面积分割法计算，正确进行图形分割和分类计算是解

题的关键.

2.图（1）是一块智慧黑板的平面示意图，由①、②、③、④四块长方形小黑板组成，四块小黑板的长和

宽如图所示（其中“</）），②和③号黑板分别可以向左、向右水平移动，移动后就可以看到黑板后的电子

屏幕.

AEGMD

①②③④

BaFbHbNaC

图I

图2

（1）瘠②号黑板向左水平移动到£广与48重合，③号黑板向右水平移动到与。C重合，此时电子屏幕全

部呈现，没有黑板遮挡，如图（2）所示.求电子屏幕的总面积：（用含小力的代数式表示）

（2）洛②号黑板向左水平移动长度:a,③号黑板水平向右水平移动一定的长度，此时被黑板遮挡住的电子

屏幕的面积为止也也

求③号黑板向右水平移动的长度.（用含。、力的代数式表示）

4

3/42

［答案】⑴/+时

51,

⑵不一5分

【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算.

（1）分别求出电子屏幕的长和宽，再根据长方形面积公式，即可解答；

（2）用电子屏幕的长，减去被遮住部分的长，再减去②号黑板向左水平移动长度，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意可得：电子屏幕的长=2°+26-2b=2-

电子屏幕的宽=等，

•••电子屏幕的总面积=2。・审=/+".

7布”今+2ab+b~a+b1

（2）解：2a------------+--------a

424

答：③号黑板向右水平移动的长度为:人

考点02旋转问题

3.如图，在长方形力4C。中，连接/C,已知边力4=°,BC=b（a<b）

⑴画出三角形/AC绕点。顺时针旋转90。后的三角形CM（点4、8的对应点分别为点E、”）,不写画法,

写出结论；

（2）用含。、b的代数式表示三角形4CE的面积与；

⑶在（1）和（2）的条件下，连接力£交。尸于点G,如果长方形力4CQ的面积S?=8,51=10,求。G的

长.

【答案】（1）见详解

（2），=g（/+〃）

4

（%

【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解；

（2）由旋转得N/CE=90。，AC=CE,由三角形的面积即可求解;

4/42

ab=8a=2

(3)由题得2,2”从而可求，一，再由SLS”+L“+S/,即可求解.

a+b=20

【详解】(1)解：如图

.•.△CM为所求三角形;

ZACE=90°,

AC=CE,

：.S.=-ACCE

12

=#+〃)；

(3)解：由题意得

ab=8

a:+b2=20'

a=2

解得：

b=4

AB=CD=EF=2,

BC=AD=CF=4,

U由M图I、I得I、J•：S[I=SAAtKn.c.+SAnr+SAV(OCAF

\0=4+^AD-DG+^(CD+DG)-EF,

...10=4+；x4Z)G+；(2+OG)x2

整理得：10=4+2OG+2+QG

4

解得：QG=§.

【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握H)、/+〃之间的转换运算利用面积法

求线段的长是解题的关键.

4.如图，已知长方形4AB=6,4c=4,E是8c的中点，连接4E；将绕点8旋转(其中4E

5/42

分别与4G对应）使得4落在直线4c上，得△48瑞.

⑴画出满足条件的A//片;

⑵名=

（3）连接说,求14&的面积

【答案】（1）见解析

（2）8或4

（3）24或12

【分析】（1）将“3E绕点8顺时针或逆时针旋转90。即可得出满足条件的三角形；

（2）根据（1）中“力耳的不同位置，分类求解即可;

（3）根据（1）中用的不同位置，分类计算“&片的面积即可；

【详解】（1）解：将A/BE绕点6顺时针或逆时针旋转90。即可得出满足条件的三角形；如图，々即为

所求；

（2）解：•••£是BC的中点

：.BE=LBC=2

2

由旋转的性质可得：BE产BE=2,"=AB=6、NAM=NABE=90。

由此易得：4B、娟三点共线；

当》出片为44月绕点8顺时针旋转90。所得时；

AE[=AB+BEy=8

当‘4阳为绕点B逆时针旋转90。所得时；

AEX=AB-BEy=4

6/42

故答案为：8或4

（3）解：当为“8E绕点8顺时针旋转90。所得时;

S.g=g阳・48=gx8x6=24

当乙4因为““绕点8逆时针旋转9（）。所得时:

S“g=g阳・48=gx4x6=12

综上，”4月的面积为24或12;

【点睛】本题考查了图形的旋转：熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

5.如图，正方形ABCD,点必是线段C8延长线一点，连结4M,AB=a，AM=b

（1）将线段4W沿着射线力。运动，使得点力与点。重合，用代数式表示线段4W扫过的平面部分的面

积.

（2）将三角形rRW绕着点/旋转，使得与4。重合，点股落在点N,用代数式表示线段次“扫过的平

面部分的面积.

（3）将三角形44M顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况

除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角

I1

【答案】（1）a2；（2）或；不心（3）见解析

44

【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可;

（2）根据扇形的面积计算即可；

（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可.

【详解】解：（1）AD・DC=f

答：线段力M扫过的平面部分的面枳为/

（2）三角形加M7绕着点力旋转，使得48与力。重合，则三角形加M7旋转的角度是90。或270°

90x^h1宏_270

•・鸟形我”；苗或:而

I3

答：扇形4WV的面积为不〃或彳加

（3）如图1,旋转中心:边的中点为O,顺时针180°

7/42

如图3,旋转中心：正方形对角线交点0,顺时针旋转90。

【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应

点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答.

6.已知长方形48CO中，边,48的长度为边力。的长度为6,a＞26.将长方形绕着点彳旋转,

点8、C、。的对应点分别记为点8，C'、旋转角记为Na.

B

（备用图2）

（1）当旋转方向为顺时针方向且Na=90。时（如图1）,连接C8'、B'D'、,用。、力的代数式表示三角

形的面积；（结果需化简）

⑵当0。＜/a＜90°时，如果ZBAB'与/BAD'的度数之比为2:7,请直接写出旋转方向和乙a的度数:

（3）当0。＜/。＜90。时，旋转过程中，当长方形力与原长方形力重叠部分的图形是轴对称图形时、

请直接写出旋转方向和Na的度数.

8/42

【答案】+-

（2）顺时针方向Na=36°；逆时针方向Na=20°；

（3）顺时针方向Na=45°：逆时针方向Na=45°.

【分析】（1）延长8。、C'B'交『点M,把不规则图形补充成一个矩形，利用矩形的面积公式和三角形的面

积公式列出表示面积的代数式；

（2）本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别用含々的代数式表示出NBAB'与NBAD',再根

据这两个角的度数之比为2:7,列方程求解；

（3）本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，旋转后如果重叠部分是等腰直角三角形，则为轴对称

图形，根据等腰直角三角形的性质确定旋转角的度数即可.

【详解】（1）解：如下图所示，廷长8C、C9交于点

B.___C_M

D1C

则矩形SO'C'M的长为4+八宽为环

SdCBD=S矩形80cM-S^BCa-SGB-SACA0

=a(a+b)-^b(a+b)-^ab-^a(a-b)

=a2+ab--ab--b2--ab--a2+—ab

22222

=—ab+—a2-—b2；

222

(2)解：如下图所示，如果顺时针旋转，

B,____C

@

Dr

则有NBAB'=/DAD'=a,/BAD'=/BAD+ZDAD'=90°+a,

9/42

•••/次1*与NB4D，的度数之比为2:7,

,a二2

"900+。-7'

解得：a=36。；

如下图所示，如果逆时针旋转,

则有/848'=/ZMO'=a,NB4D'=NB4D-NDAD'=90。-a,

丁/胡8'与NA4。'的度数之比为2:7,

a_2

"90。-a-7*

解得:a=20。；

综..所述，顺时针方向Na=36。或逆时针方向Na=20。；

(3)解:如下图所示，重售部分是△力。E,

ZZ)=90°,

若/。E是轴对称图形,

则行△力OE是等腰直角三角形,

...NEAD=NAED=45°,

/.ZBAE=/BAD-AAED=90°-45°=45°,

・••当顺时针方向旋转45。时，

是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，

•••长方形/i"C'D与原长方形力品。重叠部分的图形是轴对称图形;

如下图所示，重叠部分是△力。'£，

10/42

H=90。,

若44/E是轴对称图形，

则有是等腰直角三角形，

NE4D'=N4ED'=45°,

ZBAB'=NBAD'-NAED'=90°-45°=45°,

・••当逆时针方向旋转45。时，

.•.△.4EZX是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，

..•长方形48C力与原长方形彳8CO重叠部分的图形是轴对称图形；

综上所述，当顺时针方向Na=45。或逆时针方向Na=45。长方形ABCD与原长方形48cAli叠部分的图

形是轴对称图形.

【点睛】本题主要考查了图形的旋转、轴对称图形、解一元一次方程、列代数式、分类讨论的思想.解决

本题的关键是要注意分类讨论思想的运用，图形旋转时要分顺时针旋转或逆时针旋转两种情况考虑.

考点03翻折问题

7.在长方形纸片48CO中，J5=10cw,AD<AB.

（1）当/£>=6.5皿时，如图（a）所示，将长方形纸片折叠，使点。落在初边上，记作点〃，折

痕为力石，如图（b）所示.此时，图（b）中线段长是一厘米.

（2）若AD=x厘米，先将长方形纸片4?。。按问题（1）的方法折叠，再将△彳ER沿向右翻折，使

点力落在射线。"上，记作点4.若翻折后的图形中，线段32=254,请根据题意画出图形（草图），并求

出）的值.

【答案】（1）3.5；（2）见解析，5cm或6cm

11Z42

［分析］（1）根据翻折性质可知ADt=AD=6.5cm,由D）B=AB-ADi可得答案：

（2）分两种情形①当点Al在D|B上时，②当点A1在AB的延长线上时，分别求解.

【详解】解：（1）由题意知AD|=AD=6.5cm,

••.DB=AB-AD|=10-6.5=3.5（cm）,

故答案为：3.5；

（2）分两种情况讨论：

①当点A|在D|B上时，

因为股=2网,

所以6%=4。=g=AD,

所以x==与:

②当点AI在AB的延长线上时,

22

因为80=284,所以8。=§4。=?x,

所以/A+8.=10,x=6.

综上所述，满足条件的x的值为^cm或6cm.

【点睛】本题考查翻折变换，作图-轴对称变换，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类

讨论的思想思考问题.

8.已知：如图①长方形纸片力以工）中，48v40.将长方形纸片/8c。沿直线4E翻折，使点8落在力。

边二，记作点尸，如图②.

12/42

图①图②

(1)当4。=10,力8=6H、j,求线段产。的长度;

(2)设力。=10、AB=x,如果再将沿直线"向右起折，使点片落在射线尸。上，记作点G,若设线

4

段3严,请根据题意画出图形，并求出x的值:

s=(时，求：

(3)设力。=*AB=b,△/!£尸沿直线比向右翻折后交C。边于点〃，连接厂〃，当

S囚JJ/lfOBCD，b

的值.

【答案】(1)4

(2)2或与，图见解析

(3)1

【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

(I)根据折叠的性质可得力产=18=6,从而求出结论;

(2)根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出7•'"即。G,根据

题意列出方程即可求出结论:

(3)过点、H作”MJ.EF于M,用。和6表示出其”4和臬山脆口，结合已知等式即可求解:

【详解】(1)解：由折叠的性质可得力/=48=6,

vJD=10,

・・・/。=力。一力产=10-6=4；

(2)解：若点G落在线段。上时，如图1所示,

图1

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x,

：.FD=AD-AF=\0-x,

；.DG=FD-FG=\0-2x,

4

-：FD=-DG,

3

13/42

4.、

.•.10-x=-j(10-2x),

解得x=2：

若点G落在线段即的延长线上时,如图2所示,

图2

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x,

,'.FD=AD-AF=\O-x,

­.DG=FG-FD=2x-\0,

4

-：FD=-DGf

3

4,、

10-x=-j(2x—10),

70

解得x

综上，x的值2或甘70；

(3)解：如图3所示，过点H作从于"，

图3

/.HM=FD,

由题意可知：4F=AB=b,EF=AB=h,

FD=AD-AF=a-b

HM=a-b,

：•SME=—EFHM=-b(a-b),S网边形袒四=AD-AB=ab,

乙乙

SsHFE_]

S田边形4885

・♦z1,

ab5

整理得，3a=5力,

14/42

a5

"b-3'

9.己知：如图①长方形纸片48。。中，AB<AD.将长方形纸片14CO沿直线4E翻折，使点4落在X。

边上，记作点R如图②.

图①图②

（1）当力。=10,48=6时，求线段尸。的长度；

（2）设4。=10、AB=x,如果再将沿直线E/向右起折，使点片落在射线尸。上，记作点G,若

线段请根据题意画出图形，并求出x的值；

S1

（3）设40-a.AB=b,△4Q沿直线KF向右翻折后交8边于点〃，连接二〃，当《Q时,

»四边形N8C。6

求；的值.

b

【答案】（1）4；（2）图见解析，x=2.5或6.25：（3）

b3

【分析】（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6,从而求出结论；

（2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG,根据

题意列出方程即可求出结论；

（3）过点H作HM_LEF于M,根据用a和b表示出S^FE和S四边影ABCD，结合已知等式即可求出结论.

【详解】解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6

vAD—1（）

••.FD=AD-AF=4：

（2）若点G落在线段FD上时，如下图所示

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x

.•.FD=AD-AF=10-x,

.•.DG=FD-FG=10-2x

•.FD=-DG

2

15/42

2'"

解得：x=2.5；

若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示

BEc

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x

.­.FD=AD-AF=10-x,

••.DG=FG-FD=2x-10

vFD=-DG

解得：x=6.25；

综上：x=2.5或6.25：

(3)如下图所示，过点H作HM1EF于M

•••HM=FD,

由题意可知：AF=AB=b,EF=AB=b,

•,.FD=AD—AF=a—b

b

•••Szjnr=；EFHM=；b(a—b),S四边形ABCD=ADAB=ab

S&HFE_]

,——

S|t|边形31(7)8

ah8

整理可得：3a=4b

a_4

16/42

【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键.

10.若Na和"均为大于0。小于180。的角，且|Na-N"=60。，则称Na和少互为“伙伴角”.根据这个

ffll图2

（1）若Na和，力互为“伙伴角”，当Na=130。时，求”的度数；

（2）如图1,将一长方形纸片沿着EP对折（点Q在线段8C上，点E在线段力B上）使点4落在点*：,若N1

与N2互为“伙伴角”，求N3的度数；

（3）如图2,在图1的基础上，再将长方形纸片沿着夕/对折（点E在线段4。上）使点C落在线段上的

点C'处，线段所落在/以少内部.若N1与N4互为“伙伴角”，求的度数.

【答案】（1）//=70°

（2）/3的值为40。或80。.

（3）ZBPF=100°

【分析】本题主要考查了新定义、折叠以及角的和差运算等知识点，一元一次方程的应用，掌握折叠的性

质以及方程思想的应用是解答本题的关键.

（1）按照“互优角'’的定义，建立方程求解即可；

（2）按照“互优角”的定义可得N1-N2=60。或Nl-N2=-60。，再建立方程解答即可；

（3）按照“互优角”的定义可得N1=N4-60。，再结合轴对称的性质，平角的定义建立方程解答即可；

【详解】（1）解：•・•/Q和N0互为“伙伴角”，当Na=130。时,

.•.|Za-Z/7|=60°,gp|1300-Z/7|=60°

.•.130。-/夕=60。或130°-/4=-60。，

解得：4?=70。或//=190。（不符合题意舍去），

:.“70。.

（2）••・N1与N2互为“伙伴角”，

.-.|zl-Z2|=60°,

.♦.Nl-N2=60°或Nl-N2=-60°,

当Nl-N2=60。时,则N2=N1-60。，

由对折可得N1=N3,而Nl+N2+N3=180。，

.­.Z3+Z3-60°+Z3=180°,

17/42

解得：Z3=80°,

当/1一/2=—60。时，则N2=N1+6O0,

同理可得：Z3+Z3+60°+Z3=180°,

.-.23=40°,

综上所述，N3的值为40。或80。.

(3)•••点七、C、P在同一直线上，且N1与N4互为“伙伴角”，

Zl<Z4,N4-/1=60。=NB'PF,

.-.Zl=Z4-60°,

由对折可得：Zl=Z3,N4=NEPF,而NBPC=180°,

2/4+23=180。,

.•.2Z4+Z4-60o=l80°,

解得：Z4=80°,

/.Zl=Z3=80o-60o=20°,

NRPF-20°+80°-100°.

考点04对称问题

11.已知三角形纸片48c(如图)，将纸片折叠，使点力与点C重合，折痕分别与边4C、BC交于点。、

E,点8关于直线。E的对称点为点尸.

A

D°

(1)画出直线。石和点厂；

(2)连接所、FC,如果/人EC=48。，求NQEC的度数；

BF2

(3)连接力石、BD、DF,如果不二==，旦ADE77的面积为4,求△力8C的面积.

EC5

【答案】(1)见解析

(2)66°

(3)28

【分析】(1)根据折置的性质画出图形；

(2)根据折叠的性质可得/8即=/汽可，再由N五EC=48。，可得到N8E4的度数，再由对顶角相等，

即可;

(3)根据折叠的性质得到久丽二£皿=4,AD=CD,根据等高的两个一:角形的面枳比等「•底的比求出

△O£C的面积，进而得到△D9C的面积，即可.

【详解】(1)解：如图，直线。E和点尸即为所求；

18/42

（2）解：二•点8关于直线的对称点为点产,

•••4EH=Z.FEH,

vZFEC=48°,

.•.N8E产=132。，

.­.Z^//=-xl32°=66°,

2

:"DEC=NBEH=66°；

(3)解：如图，

A

BE2

=,

EC5

S^BED_BE_2

S'fEO=1。,

S,CBD=S&BED+S.CED=乂

AD=CD，

*'-S"8c=2sAe初=28.

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、三角形的面积计算，掌握翻折变换是轴对称、翻折前后图形的对

应边、对应角相等是解题的关键.

12.生活中，有人喜欢把传送的便条折成，件”形状，折叠过程按图①、②、③、④的顺序进行（其中

阴影部分表示纸条的反面）:

19/42

如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长48=26厘米，分别回答下列问题：

（1）如图①、图②，如果长方形纸条的宽为4厘米，并且开始折叠时力必=6厘米，那么在图②中，

BE二____厘米.

（2）如图②，如果长方形纸条的宽为4厘米，现在不但要折成图②的形状，还希望纸条两端超出点E的部

分和8E相等，使图②.是轴对称图形，AM=厘米.

（3）如图④，如果长方形纸条的宽为x厘米，希望纸条两端超出点P的部分力尸和PO相等，即最终图形是

轴对称图形，试求在开始折叠时起点时与点力的距离（结果用工表示）.

【答案】（1）16；（2）11；（3）13-^x

2

【分析】（1）观察图形，由折叠的性质可得，BE=纸条的长一宽一AM；

⑵根据折叠的性质可得，BE=HE=AM,BE=纸条的长一宽一AM,即可求;HAM的长：

（3）根据轴对称的性质，由图可得力尸=8"=劲六，继而可得在开始折叠时起点M与点A的距离.

【详解】（1）：由折叠的性质可得，BE=纸条的长一宽一AM

:.图②中BE=26-6-4=16；

（2）:BE=HE=AM,宽为4cm

，BE=纸条的长一宽一AM

AM=26-4-AM

AM=11；

（3）•••图④为轴对称图形

265v

:.AM=AP+PM=~-+.v=13--x

22

即开始折叠时点M与点A的距离是13-厘米.

【点睛】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质是解题的关键.

考点05分式及分式方程

13.观察下列算式,

20/42

第一个式子一ri；■一m；第二个式子/二仁一一］)>4；

第三个式子丁==(，-占卜!；第四个式子一^；=4一」卜!；……

x(x+3)\xx+5)3x(x+4)\xx+4)4

根据你发现的规律解决下列问题：

(1)写出第〃个式子：_(〃为正整数).

1

⑵…)(》+〃)=-(*，，为正整数且〃-〃)・

,111

⑶若M-3|+("2「=。，试求西硒十斤耐J+…+际耐网的值.

年案】⑴武丁小士计

(2)P—

\x+mx+nJn-m

c100

⑶荻

【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题：

(1)根据题意找出规律即可求出；

(2)根据题意找出规律即可求出；

(3)由题意得至12-3=0,a-2=0,解得方=3,a=2,代入原式，再根据［一:+;一(+?一^+…+点一・

计算即可.

【详解】(1)解：第〃个式子为：-zlv=|-~~~1x-，

x(x+n)\xx+nJn

故答案为：/:\=Q一一二一卜』.

x(x+〃)\xx+nJn

\AB

(2)解：设(/x+_〃叭"上x+〃\)=~x+^阳+~x7+~〃

/(>¥+")+4(X+〃?)

(x+m)(x+〃)

:.J(x+〃)+8(x+加)=1

令工=一〃，则8=---

/77-n

令x=一“，则4=―!—

n-m

111

"(x+m)(x+«)(x+m)(n-m)(x+n)(m-n)

21/42

11

卜+"?)(〃一〃?)(X+/?)(77-W)

\x+mx+nJn-m

1111

故答案为:-------------x-------

x+mx+n)n-m

(3)解：*-3|+"2)2=0

Z>-3=0,a—2=0

解得6=3,a=2

]]_________1_________

(4+1)伍+1)+(a+2)(b+2)+…+(a+100)(b+100)

]]__________1_________

(2+l)(3+l)+(2+2)(3+2)+…+(2+100)(3+100)

III1

----++,+...+1

3x44x55x6102x103

1气

1iJL

3-4+4-5+56102

1I

3~W3

100

309■

14.如果两个分式M与N的和为常数人且左为正整数，则称必与N互为“和整分式”，常数上称为“和整

IY-4-1

值”.如分式时:百N=—,M+N=--=1,则"与/V互为“和整分式”，“和整值"k=l.

x+\x+1

⑴已知分式佯

“二二’判断”与8是否互为“和整分式‘若不是,请说明理由；若是‘请求出

“和整值";

3x-4

(2)已知分式C=J,C与。互为“和整分式”，且“和整值=3,若X为正整数，分式。的

x-2。二号-4

值为正整数/.

①求G所代表的代数式;

②求x的值：

3r—5nix-3

(3)在(2)的条件下，已知分式尸=。=笠上，且夕+。=，，若该关于x的方程无解，求实数，〃的

x-33-x

值.

【答案】(1)2

(2)①-21；②1

22/42

(3).7/=1或6=一

【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述

知识点并能熟练运用求解.

（1）先求N+8,再得出“和整值”乱

（2）①先求得C+。，再根据。与。互为“和整分式”，且“和整值乜=3,求得G所代表的代数式；

②先求得。，再根据题意求出x的值；

（3）先由（2）求出/代入，得到分式方程，再分〃?=1与〃?工1两种情况讨论，分别求解即可.

【洋解】（1）解:

x-22-x

2x—7—32x—7+32x—4

A+B=--------+-------=-------------=--------=2,

x—2.2,—xx—2x—2

...力与8互为“和整分式”，

,「和整值”左=2；

（2）=D=—^—

x-2x-4

八_3x4G_(3X-4)(X+2)+G_3X2+2X-8+G

x-2x-4x~-4x-4

•••C与。互为"和整分式”，且"和整值"A=3,

3x~+2x—8+G.

•••-----；-----------=3,

x2-4

.­.3X2+2X-8+G=3(.V2-4),

••-3X2+2X-8+G=3X2-12,

•••G--2x-4；

@vG=-2x-4,D=------,

x-4

••・。=-2^v-4^=2白，且/_4HO,

X2-42-X

2

•••D=---,ILx工±2,

2-x

•••分式。的值为正整数乙

2

.•./=--，且xx±2,正整数B>0,

2-x

••・2-x可以取1,2,

当2-x=1时，x=1,

当2-x=2时，x=(),

又)为正整数，

23/42

x=0不符合，

故x=l；

(3)由(2)得x=l,

「3x-5八ntx-3八八

•:P=-Q=-——，。+。=/,

X—33-x

3.v—5nix—3.

二-----+------=2,

x-33-x

情况]：=+”2,

x-33-x

去分母，得3x-5-(mx-3)=2(x-3),

去括号，得3x-5-〃?x+3=2x-6,

移项,得3》-心-2*=-6+5-3,

合并同类项，得(1一加)x=-4,

当l-m=O时，方程无解，

此时w=1；

情况2：当加工1时，方程有增根，

则增根为x=3,

将1=3代入(1—〃])x=_4,

得3（1—〃?）=—4,

7

解得：〃?=、；

综上所述，m=1或机=*.

15.给出定义：如果两个实数。，方使得关于x的分式方程且-8=上的解是工二人成立，那么我们就把实

xa-b

数a,b组成的数对（4,6）称为关于X的分式方程=k的一个“£相关系数”.

x

例如：当。=3,6=2时，使得关于x的分式方程之-2=1的解是x=」=!=l成立，所以数玄（3,2）称为关

x3—21

于工的分式方程区-b=k的一个“1相关系数”.

X

⑴在数对①（1,0）;②（2,-3）；③d）中，（只填序号）是关于X的分式方程£4=%的力相关

系数”；

24/42

(2)若数对(-2,2+f)是关于x的分式方程区-6二%的一个"I相关系数”，求f的值；

X

(3)若数对(c+d,d)(cw±l且CHO)是关于x的分式方程”的一个“1相关系数”，且关于y的方程

x

。+1=0有整数解，直接写出整数c的值.

【答案】(1)①

⑵：=1

(3)©=_2或°=_3

【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键.

(1)根据定义，计算判断即可.

t-211

(2)根据定义，分式方程一［-(2+/)=1的解为x/不不二一^，代入方程求/的值即可.

(3)根据数对(。+44)(c工士1」LCHO)是关于1的分式方程色-人=〃的一个力相关系数”，得关于工的分

式方程空4-4=1的解是人=-i―=-,回代方程，得c?+cd-d=l,结合关于尸的方程心—c+1=0的

xc+a-ac

解为J'=7,且方程有整数解，解答即可.

【详解】(1)解：当。=1,6=0时，使得关于x的分式方程』=1的解是x=」=!=l成立，

x1-01

所以数对(1,0)是关于x的分式方程%的一个“1相关系数”，

故①正确；

-2i

当〃=-2,6=3时，使得关厂x的分式方程--3=1的解是x=-；,

x2

11

x=----=一一,

-2-35

所以数对(2,-3)不是关于x的分式方程@-6二%的•个力相关系数”：

X

故②错误；

当"=；，b时，使得关于x的分式方程;的解是x=

1

“二］二］无意义，

22

所以数对不是关于x的分式方程色-方二£的一个力相关系数”：

122Jx

故③错误；

故答案为：①；

25/42

f-2/、11

(2)解：根据定义，分式方程丁-(2+,)=1的解为彳=”2_(2+厂1

故“_(2+/)=1

4

解得，=1;

(3)解：根据数对(c+d,d)(cw±l且CHO)是关于X的分式方程巴-6=左的个力相关系数”,

X

得关于X的分式方程包W-d=l的解是X=—，=L

xc+a-ac

回代方程，得6+cd-d=l,

整理，得(c-l)(c+l)+d(c_l)=O,

.-.(c-l)(c+i/+l)=O,

*=土1目.c/0,

，c+d+1=0,

••,方程4卜-。+1=。的解为y=T"，

-d-2,2

-y=——=

aa

•.•方程有整数解，

d=±l,d=±2

当4=±1时，c=-2,c=0(舍去)；

当"=±2时，c=-3,c=l(舍去)；

故c=-2或c=-3.

考点06因式分解

16.若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式/+2"+//及2R)+Z>2称

做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出

观完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问

题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求

代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式i+2x-3.

=+2x4-1)-4=(X+1)2-22=(X+I+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1)；

例如：求彳弋数式2『+4x—6的最小值.

原式=2x?+4x—6=2(/+2X—3)=2(X+1)2—8.可知当x=-l时，2/+4x—6有最小值，最小值是一8.

26/42

⑴用配方法分解因式：«2+2«-8；

(2)当x为何值时，多项式-2/-8%+5有最大值，并求出这个最大值.

(3)求使得/+〃?+7是完全平方数的所有整数加的积.

【答案】(1)(。+4)(〃-2)

(2)当x=-2时，多项式-2¥一8工+5有最大值13

⑶“

【分析】木题考杳了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键.

(1)把。2+2。一8变形为(。2+2。+1)—9