直线、平面平行和垂直的判定与性质（知识点）解析版

第二讲直线、平面平行垂直的判定与性质

考点一：直线与平面平行的判定

考点二：平面与平面平行的判定与性质

考点三：与线面平行相关的命题真假判断

考点四：直线与平面垂直的判定与性质

考点五：面面垂直的判定与性质

考点八：平行、垂直中关系的证明

【知识梳理】

1.直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此平面内的一

判定

条直线平行，则该直线与此平面平l//a,aUa,l(la=^l//a

定理匚

行(线线平行今线面平行)1

一条直线与一个平面平行,则过这

性质条直线的任一平面与此平面的交/〃a,tup,aC6=bOI

定理线与该直线平行(线面平行二线线//b

平行)

2.判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(Wa,bUa,a//b^a//a).

(3)利用面面平行的性质定理(“〃成，4Ua=^a//p).

(4)利用面面平行的性质(a〃从cAa,cApya//a=>a//fl).

【考点精炼】

考点一：直线与平面平行的判定

例1、(2019•陕西西安调研)如图所示，四边形ABCO是平行四边形，点P是平面/WCO外一点，M是

PC的中点，在。M上取一点G,过G和”作平面交平面于G”.

求证：AP//GH.

证明如图所示，连接AC交4。于点。，连接M。,

二四边形ABCD是平行四边形，

，0是AC的中点，又M是PC的中点,

J.AP//OM.

又MOU平面BMD,%1平也BMD,

・•.玄〃平面BMD.

二•平面以"GA平面8MQ=GH,且以U平面办HG,

：.AP//GH.

练习、如图所示，斜三棱柱A3cAl丛G中，点。，5分别为AC,4G上的中点.

(1)证明AA〃平面BDG；

(2)证明8。〃平面A81。.

证明(1)・・・。|,。分别为4G与AC的中点，四边形4CG4为平行四边形,

：.C\D\〃DA、C|D)=DA,

.・.四边形AOG。］为平行四边形，

又AON平面8DG，GOU平面4OG，

."。1〃平面BDC\.

(2)连接QD

〃平面ACGAI，B&U平面BBQiD,平面ACGAE平面BB】DiD=DiD,

又Di，。分别为AGAC中点，

**•BB\=DD\,

，四边形BDDWi为平行四边形，

:.BD〃B\D\.

又38平面4小。1，平面ABQI，

，3。〃平面A丛。

练习、如图所示，CD,A3均与平面EFG”平行，E,F,G,”分别在3。，BC,AC,AD上，且CD

求证：四边形EFG”是矩形.

证明:CD〃平面EFGH,

而平面EFGHCI平面BCD=EF,

：.CD〃石尸.同理HG//CD,/.EF//HG.

同理"E〃GR二・四边形EFG”为平行四边形,

S.CD//EF,HE//AB,

...N"E/为异面直线CQ和AB所成的角.

又mAB,J.HEVEF.

：.平行四边形EFGH为矩形.

【知识梳理】

3.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直

判定线与另一个平面平行，则a〃6,b〃B，aCb=P,

定理这两个平面平行（线面平口〃Ua,b^a=>a//fl

行今面面平行）

如果两个平行平面同时和

性质a〃£,aPly=a,°Cy=b

第三个平面相交,那么它

定理=^a//b

们的交线平行常

4.判定面面平行的四种方法

（1）利用定义，即证两个平面没有公共点（不常用）.

（2）利用面面平行的判定定理（主要方法）.

（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）.

（4）利用平面平行的传递性，印两个平而同时平行于第三个平面，则这两个平而平行（客观题可用）.

【考点精炼】

考点二：平面与平面平行的判定与性质

例2、(2019年南宁月考)如图所示,在三棱柱ABC・4181cl中,E,F,G,H分别是AB,AC,4M

AG的中点，求证：

(1)8,C,H,G四点共面：

(2)平面罩沟〃平面BCHG.

证明(1)・・・G,〃分别是4用，A£的中点，

...G〃是的中位线，

GH〃B、C\.

大YB\C\〃BC,:.GH〃BC,

AB,C,H,G四点共面.

(2)VE,尸分别是FB,AC的中点，

：,EF//BC.

•.•七网平面BCHG,8CU平面BCHG,

平面BCHG.

•:AiG〃配且AG=E&

，四边形AiEBG是平行四砂形，

：.AiE//GB.

又IAIEQ平面3C"G,G8U平面8C”G,

...4£：〃平面BCHG.

又・.・A|EnEF=E,4］E,EFU平面EEA,

，平面£7沟〃平面BCHG.

［变式探究］在本例条件下，若。，。分别为SG，BC的中点，求证：平面〃平面4GD

证明如图所示，连接AC交AG于点M，

B

•・•四边形AACG是平行四边形,

是AC的中点，连接MD,

•.•。为BC的中点,

:・A\B〃DM.

•「AiBU平面4BA,OMQ平面AB2,

...QM〃平面48。.

又由三棱柱的性质知，D1CJBD,

四边形3OG5为平行四边形，:.DC\〃BD\.

又。G。平面8。1（=平面48。|,

・・・DG〃平面41g.

又•.•OGn/）M=。，DCi，DWU平面AG"

，平面平面AC\D.

训练、如图，ABC7）与ADEF均为平行四边形，M,N,G分别是48,AD,石尸的中点.

（1）求证：BE〃平面。MF；

⑵求证：平面8。£〃平面MVG

证明（1）连接AE,则必过。尸与GN的交点。，

连接M。，则M0为△A3£的中位线，所以3后〃M0,

又BEG平面OMEMOU平面DMF,

所以BE〃平面DMF.

（2）因为N,G分别为平行四边形ADE77的边A。，E尸的中点，所以DE〃GM

又DEG平面MNG,GNU平而MNG,

所以DE〃平面MNG.

.又M为AA的中点.

所以MN为△A3。的中位线，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,8m平面MNG,

所以3D〃平面MNG,

又DECBD=D,QEU平面BDE,8QU平面BDE,

所以平面8OE〃平面MNG.

【知识梳理】

5、重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若。_La,a_L夕,则a//fi.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a_La,La,则。〃/九

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃4,夕〃了，则a//y.

【考点精炼】

考点三：与线面平行相关的命题真假判断

例3.(2019•山东日照月考)若机，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列命题正确的是

()

A.若a_!_//,，〃_1_夕，则小〃a

B.若〃L〃，则〃_La

C.若m"a,a,nUp,则a〃?

D.若m〃B，mUa,aCQ=n,则〃?〃〃

【答案】D[对于A,若a_L0,m_L0,则m〃。或mUa,故A错误；对于B,若m〃c,n±m,则

a_La或〃ua或。与a相交，故B错误；对于C,若m〃a,n!/a,mu。，〃u0,则或a、。相交,

故C错误；对于D,若m〃夕，mua,aQ0=〃，由线面平行的性质定理，可得m〃c,故D正确.]

练习.(全国卷I)如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线48与平面MNQ不平行的是()

【答案】A[A项，作如图①所示的辅助线，其中。为8c的中点，则QQ〃A8.

•.♦QOA平面MNQ=Q,与平面MNQ相交，

，直线A8与平面MNQ相交.

B项，作如图②所示的辅助线，则AB//CD,CQ〃MQ,，4。〃用。.又A3Q平面MNQ,MQU平面MNQ,

.•/3〃平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，贝A4〃CO,CQ〃MQ,，AZ?〃MQ.又A网平面MNQ,MQU平面MNQ,

〃平面M/VQ.D项，作如图④所示的辅助线，贝|4B〃C。，CD//NQ.：.AB〃NQ.又ABQ平面MNQ,NQ

U平面MNQ,.•.人8〃平面MNQ.]

【知识梳理】

6.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：直线/与平面a内的任丘＞直线都垂直，就说直线/与平面a互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面内1a,bUa'

判定的两条相交直线都垂aC\b=0

77P/_La

定理直，则该直线与此平面ZSILa

垂直l-Lb,

ab

性质垂直于同一个平面的两aLa

7^a//b

定理条直线平行耳/7,La

7.证明线面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理.

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.

(3)利用“一条直线垂直于两个平行平而中的一个，则与另一个也垂直”.

(4)利用面面垂直的性质定理.

8.证明线线垂直的常用方法

(1)利用特殊图形中的垂直关系.

(2)利用等腰三角形底边中线的性质.

(3)利用勾股定理的逆定理.

(4)利用直线与平面垂直的性质.

【考点精炼】

考点四：直线与平面垂直的判定与性质

例4.（2019・湖南六校联考）已知加和〃是两条不同的直线，a和6是两个不重合的平面，下列给出的条

件中一定能推出小，小的是（）

A.a_LQ且加u。B.。_1_4且机〃a

C.in//n且nA.PD.〃?_!_〃且a//p

【答案】C[由线面垂直的判定定理，可知C正确.]

练习、（2019年潍坊月考）如图，菱形4BC。的对角线4C与8Q交于点。，4B=5,AC=6,点、E,F

分别在AQ,C。上，AE=CF=^,EF交BD于点、H.将ADEF沿EF折到A。'EF的位置.。»=也.

求证：D'H_L平面4BCD

证明由已知得AC_L6。，AD=CD.

AFCF

又由AE=C尸得石=历，故AC〃EE

因此从而EF工D'H.

由A8=5,AC=6得DO=B0=y[X^X^=4.

由稗〃AC得器=器=；.

所以OH=1,D1H=DH=3.

于是O'"2十O〃2=32十]2=]0=。，。2,

故。'HLOH,又。'HLEF,而OHCEF=H,且OH,E尸u平面A8CD,所以O'”_L平面A8CD

【知识梳理】

9.平面与平面垂直

（I）平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相

垂直.

（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平面6

判定

的垂线,则这两个平面

定理l±a\"

垂直

a邛、

两个平面垂直，则一个

性质IU,

平面内垂直于交线的直0山

定理aCB=a

线与另一个平面垂直出

ILa,

10.面面垂直的两种证明方法

(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化

为证明平面角为直角的问题.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化

成证明线线垂直加以解决.

【考点精炼】

考点五：面面垂直的判定与性质

练习、(北京卷)如图，在三棱锥P-A8C中，PALAB,PAA.BC,ABA.BC,PA=AB=BC=2,。为线段

AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PAA.BD；

⑵求证：平面平面以C；

⑶当两〃平面8DE时，求三棱锥E-BCD的体积.

⑴证明因为附_LAB,PA1BC,所以南_L平面ABC

又因为3。＜=平面48C,所以布_LBD.

(2)证明因为AB=8C,。为AC的中点，所以BO_LAC.

由(1)知，PALBD,

所以8D_L平面PAC,

所以平面8O£J_平面PAC.

⑶解因为以〃平面平面以CA平面

所以PA//DE.

因为/)为AC的中点，所以。七=当见=1,BD=DC=y［2.

由(1)知，附_1_平面A8C,所以。£_L平面/WC,

所以三棱锥E-BCD的体积V={13DDCDE={.

［变式探究］在本例条件下，证明：平面P8C_L平面小比

证明由(1)知阴_L8C,又BC_LAB且%AA8=A,

，8C_L平面PAB,

又,?BCU平面PBC,：.平面PBC1.平面PAB.

练习、(2018•全国卷I)如图，在平行四边形ASC/W中，A6=AC=3,/ACW=90。.以AC为折痕将△ACM

折起，使点M到达点。的位置，且A8_LD4.

(1)证明：平面AC。L平面ABC；

2

(2)Q为线段A。上一点，尸为线段BC上一点，且B尸=DQ='D4,求三棱锥Q-A8尸的体积.

⑴证明由已知可得，NAAC=90。，WBA1AC.

又BAJLAO,所以AB_L平面ACD

又A8U平面ABC,

所以平面AC。_L平面ABC.

(2)解由已知可得，

DC=CM=AB=3tDA=3巾.

又8P=OQ=QD4,所以

如图，过点。作QE_LAC,每足为E,则Q£飙上。C

由已知及(1)可得，。。_1■平面ABC,

所以QE_L平面ABC,QE=\.

因此，三棱锥Q/BP的体积为V0.ABP=|X0E=|x|x3X2^\v\45°X1=1.

考点六：平行、垂直中关系的证明

例6、(2018•江苏卷)在平行六面体A8C£M|%G5中,44尸46,ABXLBXC\.

求证：(1)AB〃平面ABC

(2)平面人8B|A|_L平面AiBC.

⑴证明在平行六面体A8CD-A历Cid中，48〃4s.

因为A明平面4BC，ABiU平面ABC，

所以〃平面AiBiC.

(2)证明在平行六面体ABCD-A|囱GA中，

四边形ABBMi为平行四边形.

又因为A4|=A&所以四边形ABBiA为菱形，

因此AB|_L4及

又因为4&_L与G，BC〃BC，所以4&_L8C.

又因为A3GBe=3,A|8U平面A"。，3CU平面A13C,所以A©_L平面A^C

因为A41U平面A创九%,

所以平面ABBpA]J_平面AyBC.

练习、(2018•全国卷III)如图，矩形48CO所在平面与半圆弧分所在平面垂直，M是否)上异于C,D

的点.

(1)证明：平面八八〃)，平面BMC,

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PBD?说明理由.