人教版八年级数学下册《二次根式及其性质》同步练习题（带答案）

人教版八年级数学下册《19.1二次根式及其性质》同步练习

题（带答案）

一、单选题

i.下列各式中一定是二次根式的是（）

A.\]x+1B.J（x+C.J.?_]

2.与历[相等的式子是（）

A.-T77B.C.7^D.(V7)2

3.要使VTb有意义，大的取值范围是（）

A.x>3B.x<3C.x之-3D.戈右-3

4.已知化简：+|〃.5|的结果为（）

A.3B.4C.5D.6

5.一个按某种规律排列的数阵如图所示，根据数阵排列的规律，第2023行从左向右数第

2024个数是（）

1

2V2第1行

防第行

V5碗2

V33

V7V8BVTTV12第3行

V14V154

V18V19A/20第4行

A.2023B.2024C.V20232-1D.720232+1

6.已知y=J(X—2『7+4,当x分别取I,2,3,…，2025时，所对应V值的总和是()

A.2027B.2025C.4048D.4052

二、填空题

7.（720）'=一；（>/^1）2=—；

8.若二次根式而5=在实数范围内有意义，则x的取值范围是

9.如图，已知数轴上A,B两点表示的数分别是m力，化简J7+（而『的结果是—.

AB

1111A

01

10.如果），=j2x-5+j5-2x+3,那么炉的值是.

11.化简：J-（X+1）2=.

12.已知。是负数，。是正数，化简的商，正确的结果是.

13.观察下列各式，第一个为旧=2点，第二个为旧=3。，第三个为屋=4仁，

L类比上述式子，根据规律，第七个式子为.

14.若等式j7二-31=1成立，则x的取值范围为.

15.若）（2024-a.+Ja-2025=a,求々—20242=.

16.观察分析下列数据，寻找规律：0,6遍,3,2也,屈,3及，…那么第1。个

数据应是

三、解答题

17.下列各式有意义，求x的取值范围.

（1）4^

⑵7771

唯

⑷正

X-1

18.计算:

⑴应+1）"+卜6『；

（2）2-刊+GG

19.阅读材料，解答问题.

例：若代数式J（2-〃）2+V（a-4）2的值是常数2,则。的取值范围44.

分析：原式=卜-2|+|。-4|,而向表示数x在数轴上的点到原点的距离，|。-2|表示数。在

数轴上的点到数2的点的更离，所以我们可以借助数轴进行分析.

]II」]I11»

024

解：原式=|。_2田”4|

在数轴上看，讨论。在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4

表示的点右边，分析可得。的范围应是24aW4

（1）此例题的解答过程运用了哪些数学思想？请列举例说明.

（2）化简J（3-Q）2+yl（a-l）2

20.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数7："?v7v〃，（其中加、〃

为桂缘的整数），则称无理数的“美好区间”为（〃解），如lv&<2,所以血的“美好区间”

为（1,2）.

（1）无理数-9的“美好区间''是______

fx=m

⑵若一个无理数的“美好区间”为（加,〃），且满足10〈用+瓜<20,其中是关于工，

[y=4n

的二元一次方程必-〃y=c的一组本擎蓼解，求C的值.

⑶实数x,满足如下关系式：

(Zt+3y+/n)2+(3.r+2y-3ni)2=yjx+y-2024+^2024-x-y,求〃?的算术平方根的“美好区

间”.

21.课堂上，老师讲解了一道题：比较®二与马的大小.解法如下：

33

初x/19-22719-2-2V19-4

W：---------=---------=------•

3333

因为42=16<19，所以Jg>4,所以二一4〉o,所以M—

333

我们把这种比较大小的方法称为作差法.请根据以上材料,利用作差法比较下列实数的大小:

⑴三叵与4

44

⑵而与-1.

参考答案

1.B

【分析】根据二次根式的定义对各选项进行判断.

【详解】解：A、当K±-1时・，J7TT为二次根式，所以此选项不符合题意；

B、J(《+i)2为二次根式,所以此选项符合题意；

C、当。工-1或。21时，户工为二次根式，所以此选项不符合题意；

D、当。>0时，。为二次根式，所以此选项不符合题意：

故选：B.

【点睛】此题考查了二次根式的定义，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键.

2.D

【分析】根据二次根式的性质逐一判断即司;

【详解】^7=7,

解：A.一厅■=—7，故A不符合题意；

B."■无意义，故B不符合题意；

C.=故C不符合题意；

D.(4)2=7,故D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，热练掌握二次根式的性质是解题的关键.

3.A

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件（式子6中。20）

是解此题的关键.

根据二次根式有意义的条件得出X-3N0,再求出X的范围即可.

【详解】解：要使式子有意义，必须x—3之0,

解得：x>3.

故选：A.

4.B

【分析】本题考查了二次根式及绝对值的化简，熟记化简规则"=同=即可.

【详解】解：：1<相<5,

\-m<0,in-5<0

・•・原式二|1-/〃|+|〃L5|=〃!-1+5-〃?=4

故选：B

5.D

【分析】本题考查了数字规律题，二次根式的性质化简，根据题意，分析第1行的第2个数，

第2行的第3个数，第3行的第4个数，第4行的第5个数，从而找出规律第n行的第〃+1

个数是由此即可求解，掌握数字规律中特点数的计算方法，一次根式的计算方法

是解题的关键.

【详解】解：第1行的第2个数是0=H7；

第2行的第3个数是石=51；

第3行的第4个数是痴=疹3；

第4行的第5个数是如=炉工

••・第〃行的第”+1个数是户订，

・••第2023行从左向右数第2024个数是j2023?+l，

故选：D.

6.D

【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关

键.y=|.r-2|-x+4,然后根据工与2的大小关系分两种情况讨论：当x<2时，计算

值并求和；当x>2时，），为常数，直接计算总和.最后将两部分总和相加.

【详解】解：^（x-2）2-x+4=\x-2\-x+4,

分两种情况：

1.当x<2时，|x-2|=2-x,

/.y=（2-x）-x+4=6-2x,

x取1和2：

x=l时，y=6-2x1=4,

x=2时，y=6-2x2=2,

，总和为4+2=6；

2.当x>2时，|x-2|=x-2,

/.y=（x-2）-x+4=2；

工从3到2025,共2025-3+1=2023个值，每个y=2,

:.和为2023x2=4046,

综上，6+4（）46=4052.

故选：D.

7.20乃一1/-1+万

【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握必=时='：：：：；），（«了=〃（。20）是

解题的关键.

根据二次根式的性质化简即可.

【详解】解：V20>0,刀一1>0,

A（V2O）2=20,=乃一］

故答案为20；7i-\.

8.x<2026

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是

非负数，由此建立关于X的不等式，求解不等式得到工的取值范围.

【详解】解：•.•二次根式，2026-x在实数范围内有意义,

A2026-x>0,

解得2026,

故答案为：x<2026.

9.b-a/-a+h

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴.由数轴得到4V0,b>0,再根据二次

根式的性质化简即可.

【详解】解:由数轴得,〃<0,b>0,

・•・0+(时

=-a+b

=b-a,

故答案为：b-a.

10.9

8

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件,先根据二次根式有意义的条件得到x=|,

进而求出y=3,由此即可得到答案.

【详解】解：•••尸石。+后石+3要有意义，

A2x-5>0,5-2x>0,

，2x-5=0,

•一

.•人—,

2

**•y=3,

.(5丫125

••Xv=—=--.

⑴8

故答案为：9125.

O

11.0

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到-(x+lf2O,即

(x+l)2<0,可确定(x+l)2=0,进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

【详解】解：由题意可得，一(X+lfZO,

/.(x+l)2<0

/.(x+l)-=0,

，J-(X+1)2=#=0,

故答案为：0.

12.-2ay/2b

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法运算是解题关键.根据二次根

式的乘法，可得答案.

【详解】

解：•「4<()/>(),

=2\a\®=-layflb,

故答案为：-2a回.

【分析】根据规律，列出关于〃的式子，代入〃=7,即可求解，

本题考杳了，列代数式，二次根式的性质与化简，解题的关键是：找出规律，列出代数式.

【分析】根据分式、二次根式有意义的条件以及非0数的0次鞋等于1列出关于x的不等式,

求出x的取值范围即可.

0

【详解】解：•・•一=-3=1成立，

1c八

1・j+2.3工0,x+2>0

17

解得x>-2且

17

故答案为：x>—2且工工——.

【点睛】本题考查了分式'二次根式有意义的条件以及0指数察的意义，即非0数的0次辕

等于1,0的0次幕无意义.

15.2025

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.根据实数

的性质可得〃一202520,进而得至lj4一2024+Ja-2025=a,则可求出a—2024?=2025.

【详解】解；5/（2024-耳2+）.一2025=一有意义,

.”-202520,

.-.a>2025,

.,.2024-a<0,

J（2024-4+2025=a,

|2024-a\7a-2023=a,

a-2024+Ja-2025=a>

・••Ja-2025=2024,

.•.0—2025=20242,

二.a-2024,=2025.

故答案为:2025.

16.3G

【分析】本题主要考杳了二次根式的性质、数据规律等知识点，根据已有数据发现规律是解

题的关键.

先根据二次根式的性质整理数据，然后归纳规律，再利用规律求解即可.

【详解】解：・・・0,6,R,3,2石，岳,3及,……

,,Jox3，Jlx3>J2x3>,3x3>x/4x3»，5x3，、’6x3......

,第10个数据应是J(10-l)x3=技=3夕.

故答案为：3G.

17.(l)x.2

(2/为任意实数

(3)x>0

(4)x..O且xol

【解析】略

18.(1)5

⑵2-&

【分析】本题考杳二次根式的混合运算，考杏知识包括零指数幕，实数绝对伯，二次根式性

质化简等.正确解答的关键是熟练掌握相关知识进行计算.

(1)先根据公式：值=同，(6丫=〃(〃20),化简，然后计算即可；

(2)先去绝对值，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.

【详解】(1)解：原式=3-1+3

=5；

(2)原式=6-0+2-/

=2—>/2•

19.(1)数形结合思想，分类讨论思想

(2)当〃<3时，原式=1()一2〃；34a47时，原式=4；当〃>7时，原式=2々-1()

【分析】(1)根据题中的解题过程即可得出结论；

(2)分。<3,及〃>7三种情况进行讨论即可.

【详解】(1)数形结合思想：借助数轴进行分析+4。-盯的值;

分类讨论思想：在数轴上看，讨论。在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点

之间还是在数4表示的点右边.

(2)原式=|3_4+,_7|

①当a<3时，原式=3-q+7-a=10-2a；

②当时,原式=a-3+7-/=4；

③当〃>7时，原式=。-3+。-7=2。-10.

【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论.

20.(1)(“3)

(2)37或161

(3)(71,72)

【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件：

(1)根据“美好区间’'的定义，确定-JB在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”；

(2)根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求

出C的值；

(3)先根据X+)-202420,2024-x-.y>0,得出x+.y=2024,进而得出2x+3.y+"z=0,

3x+2y—3.=0,两式相加得5(x+y)-2"?=o,得，〃?=5060,再根据“美好区间''的定义即

可求解..

【详解】(1)V9<13<16,

A3<Vf3<4,

—4<—\/1-3<-3

•••无理数的“美好区间”是(T-3),

故答案为：(T「3)

(2)•・•(〃[,〃)为“美好区间”

・•・加，〃为连续的整数

x-m

又丁厂是关于x,5的二元一次方程〃“-州=。的一组正整数解

y=\/fi

・•・〃是一个平方数

又：10<加+Vn<20

m=8=

・•・满足题意的〃的值为c或“

〃=9〃=16

机=8x=8

当”9时，

y=3

/.8x8-9x3=C

，C=37,

m=15x=15

当〃=16时，

y=4，