高三物理一轮教案（人教版）第三章 第13课时 动力学中的连接体和临界极值问题

第13课时动力学中的连接体和临界、极值问题

【目标要求】I.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。2.理解几种常见的临

界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题，

考点一动力学中的连接体问题

多个相互关联的物体连接（叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系）在一起构成的物体系统称为连接体。系

统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度（或速度、加速度大小相等）。

1.共速连接体

两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。

（1）绳的拉力（或物体间的弹力）相关类连接体

（2）叠加类连接体（一般与摩擦力相关）

【例1】如图所示，水平面上有两个质量分别为皿和〃72的木块1和2,中间用一条轻绳连接，两木块的

材料相同，现用力尸向右拉木块2,当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g,下列

说法正确的是（）

〃）〃〃"〃〃，〃〃〃〃〃力〃〃〃

A.若水平面是光滑的，贝lj〃?2越大，绳的拉力越大

B.若木块和水平面间的动摩擦因数为〃，则绳的拉力为」4+卬川且

C.绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关

D.绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关

答案C

解析若设木块和地面间的动摩擦因数为〃，以两木块整体为研究对象，根据牛顿第二定律有

4-mi)g=(mi+mi)a,

得”二~曹；曹"g,以木块1为研究对象，根据牛顿第二定律有用一〃〃?送=如。，得。;铝詈，系统加速

度与木块1加速度相同，联立解得FT=J—尸，可知绳子拉力大小与动摩擦因数〃无关，与两木块质量大

mi十m2

小有关，无论水平面是光滑的还是粗糙的，绳的拉力大小均为臼=——尸，且〃7?越大，绳的拉力越小，故

mi+m2

选C。

拓展1两个质量分别为〃八和"72的木块I和2,中间用一条轻绳连接。

①如图甲所示，用力下竖直向上拉木块时，绳的拉力大小FT=

②如图乙所示，用力/沿光滑固定斜面向上拉木块时，绳的拉力大小为;斜面不光滑时绳的

拉力大小FT=O

答案①_2空_②_©一上把_

mi+m2nii+mznti+niz

拓展2若质量为必和〃?2的木块A和B叠放在一起，放在光滑水平面上，B在拉力户的作用下，A、B

一起（相对静止）做匀加速直线运动，则A受到的摩擦力大小为

mF

答案1

7711+7712

B总结提升

1.整体法与隔离法在分析共速连接体问题中的应用

（1）整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿

第二定律求出加速度；

（2）隔穆法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求

解；

（3）整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用力

时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外力，

可以先隔离杲一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力。

2.共速连接体对合力的“分配协议”

一起做加速运动的物体组成的系统,若外力〃作用于皿上，则如和硒之间的相互作用力臼=」?一，若作

用于初上，则后=一哈。此“协议”与有无摩擦无关（若有摩蒙，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相

同），与两物体间有无连接物、是何种连接物（轻绳、轻杆、轻弹簧）无关，而且无论物体组成的系统处于平

面、斜面还是竖直方向，此“协议”都成立。

2.关联速度连接体

轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大

小相等，方向不同。

【例2】（多选）如图所示，固定在地面.上的光滑斜面体倾角为夕=3（）。，一根轻绳跨过斜面体顶端的光滑定

滑轮，绳两端系有小物块a、h,a的质量为2m.h的质量为重力加速度为外定滑轮左侧轻绳与斜

面平行，右侧轻绳竖直。将a、b由静止释放，则下列说法正确的是（）

A.绳子对b的拉力大小为4〃吆

B.a的加速度大小为日

C.绳子对定滑轮的作用大小为2百"电

D.在相同时间内（b未触地），a、b速度变化量大小不相等

答案BC

解析在相同时间内（b未触地），a、b加速度的大小相等，速度变化量大小相等，D错误；以b为研究对

象，设绳子拉力为FT,由牛顿第二定律有4〃吆一臼=4〃心，以a为研究对象，由牛顿第二定律有臼一2Mgsin

0=2ma,联立解得FT=2fng,a=^，故A错误，B正确；由几何关系知，两侧绳子的夹角为60°，则绳子对

定滑轮的作用力大小为F=2FTCOS30。=28〃%,故C正确。

3总结提升

关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般采用分别选取研究对象，对两物体分别列牛顿

第二定律方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。

考点二动力学中的临界和极值问题

1.常见的临界条件

（1）两物体脱离的临界条件：FN=0O

（2）相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。

⑶绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临

界条件是FT=0O

2.处理临界问题的三种方法

把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达

极限法

到正确解决问题的目的

临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中

假设法

可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题

数学法将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件

【例3】如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到从零开始逐渐增大的水平拉力厂的作

用，A、B间的摩擦力0、B与地面间的摩擦力尺随水平拉力”变化的情况如图乙所示。已知物块A

的质量加=3kg,g取10mH,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

(1)分析图乙可知，A、B间最大静摩擦力为N,B与地面间最大静摩擦力为N,F=_

N时，B开始滑动，F=N时，A、B间发生相对滑动：

(2)下列说法正确的是。

A.两物块间的动摩擦因数为0.2

B.当0<P<4N时，A、B保持静止

C.当4NVFV12N时，A、B发生相对滑动

D.当E>12N时，A的加速度随产的增大而增大

答案(1)64412(2)AB

解析(2)根据题图乙可知，发生相对滑动时，A、B间的滑动摩擦力为6N,所以A、B之间的动摩擦因数儿

=皿=0.2，选项A正确；当0<F<4N时，根据题图乙可知,凡还未达到B与地面间的最大静摩擦力，此

mg

时A、B保持静止，选项B正确；当4N<F<12N时，根据题图乙可知，此时A、B间的摩擦力还未达到最

大静摩擦力，所以没有发生相对滑动，选项C错误；当Q12N时，根据题图乙可知，此时A、B发生相对

滑动，对物块A有〃="坨=2m/Y，加谏度不变，诜项D错误。

m

【例4】(2024.山东青岛市第十九中学月考)如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个

质量均为1kg的物体A、B(B物体与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为4=50N/m,初始时系统处于静止状

态。现用一方向竖直向上的拉力产作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度大小。为4m/s2的匀加

速直线运动，重力加速度g取lOmd,空气阻力忽略不计，下列说法正确的是()

A

B

A.外力/刚施加的瞬间，尸的大小为4N

B.当弹簧压缩量减小到0.3m时，A、B间弹力大小为1.2N

C.A、B分离时，A物体的位移人小为0.12m

D.B物体速度达到最大时，B物体的位移为0.22m

答案C

解析施加外力前，系统处于静止状态，对整体受力分析，由平衡条件得2〃场=辰0,代入数据解得的=0.4

m,外力施加的瞬间，物体A加速度为4m/s2,对整体，由牛顿第二定律得产一2〃吆+依。=2〃以，代入数据解

得r=8N,故A错误；当弹箸压缩量减小到0.3ni时，设A、B间弹力大小为FAB,对A受力分析，由牛顿

第二定律得F1+FAB-m8=ma，对A、B组成的系统受力分析，由牛顿第二定律得F'+k.^-2mg=2ma，代

入数据联立解得FAB=1N,故B错误；设A、B分离时，弹簧的形变量为也，对B受力分析，由牛顿第二定

律得kx2—mg=ma，代入数据解得及=0.28m,所以A物体的位移大小为的一及=0.4m—0.28m=0.12m,故

C正确；当B物体的合力为零时速度达到最大，由C项可知A、B分离时有向上的加速度，所以速度最大时

A、B已经分离，当合力为零时，对B受力分析，由平衡条件得依3=〃也，代入数据解得即=0.2m,故B物

体的位移大小为xo-^3=0.2m,故D错误。

拓展求A、B分离时B的速度大小及B匀加速运动持续的时间？

答案2m/s在s

510

解析A、B分离时，A、B的位移大小相等，速度大小也相等

由。2=2〃(的一刈)，解得。=当m/s

由v=at,解得/=得So

【例5】(2025•山东青岛市校考)如图甲所示，一个质量〃?=0.5kg的小物块(可看成质点)，以oo=2m/s的

初速度在平行斜面向上的拉力F=6N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经/=2s的时间物块由A点运动

到B点，A、8之间的距离L=8m,已知斜面倾角。=37。，重力加速度g取10m/s\sin37°=0.6,cos

37°=0.8o求：

(1)物块加速度。的大小；

⑵物块与斜面之间的动摩擦因数〃；

(3)若拉力尸的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，尸的最小值是多少。

答案(1)2m/s2(2)0.5(3月小N

解析⑴根据乙=加+济，

代入数据解得〃=2m/s2。

(2)根据牛顿第二定律有F—〃?gsingeos0=ma，代入数据解得〃=0.5。

(3)设尸与斜面夹角为a,

平行斜面方向有Feosa-〃琢sin8—pFz=ma

垂直斜面方向有FN+Fsina=mgeos0

联立解得F7na+mg(sin8+〃cos8)

cosa+〃sina

_ma+mg(sin6+〃cos。)

，2+isin(@+a)

当sin(夕+a)=l时，/有最小值Fmir,

代入数据解得/访=噌No

课时精练

（分值：100分）

15基础落实练

1〜7题每小题8分，共56分

1.（2023・北京卷⑹如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1kg,细线能承受

的最大拉力为2N。若在水平拉力尸作用下，两物块•起向右做匀加速直线运动。则厂的最大值为（）

A.lNB.2NC.4ND.5N

答案C

解析对两物块整体受力分析有Fn^=2ma,再对后面的物块受力分析有Fjnux=ma,又臼皿=2N,联立解

得耳皿=4N,故选C。

2.（多选）如图所示，用力尸拉着三个物体在光滑水平面上运动，现在中间的物体上加一块橡皮泥，它和中间的

物体一起运动，且原拉力尸不变，那么加上橡皮泥以后，两段绳的拉力臼A和产TB的变化情况是（）

I1|~|rF

，/力

A.FTA增大B.FTBB.FTB增大

C.FRA减小D.FTB减小

答案AD

解析设最左边的物体质量为m,最右边的物体质量为m',整体质量为M,整体的加速度a=-,对最左边

的物体分析乃3=〃也=当，对最右边的物体分析，有F-F^=m'a,解得国人二/一乎，在中间物体上加上

MM

橡皮泥，则整体的质量M增大，因为"不变，所以FTB减小，FTA增大。故选A、Do

3.（2024.全国甲卷.15）如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P,P置于水平桌面上，与桌面间存在摩

擦；绳的另一端悬挂一轻盘（质量可忽略），盘中放置祛码。改变盘中祛码总质量”并测量P的加速度大小

小得到。一〃?图像。重力加速度大小为在下列。一〃7图像中，可能正确的是（）

答案D

解析当〃7质量较小时，由于P与桌面存在摩擦，4=0；当〃7趋于无穷大时，加速度大小趋近于g。故选

Do

4.（2021.海南卷.7）如图，两物块P、Q用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P静止在水平桌面上。将一

个水平向右的推力”作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半。已知P、Q两物块的质量分别为加P=0.5

kg、〃?Q=0.2kg,P与桌面间的动摩擦因数〃=0.5,重力加速度g=10m/s2。则推力尸的大小为（）

由

A.4.0NB.3.0N

C.2.5ND.1.5N

答案A

解析P静止在水平桌面上时，由平衡条件有Fn=〃?Qg=2N,R=Fn=2Nvw〃pg=2.5N,推力/作用在P

i

上后，轻绳的张力变为原来的一半，即FT2=^=lN，故Q物块加速下降，有〃?Qg-FT2=〃7g,可得。=5

m/s2,而P物块将以相同大小的加速度向右加速运动，对P由牛顿第二定律白产T2+“一"小pg=/"p〃，解得/'=

4.0N,故选Ao

5.如图，质量〃以=0.1kg、〃?B=0.4kg的A、B两物体在水平推力r=1.5N的作用下，沿光滑水平面做匀加

速直线运动，物体A、B始终保持相对静止。A和B接触面竖直，且A不与地面接触。已知物体A和B之

间的动摩擦因数为0.9,重力加速度g取lOm/s?,则下列说法正确的是（）

-LJTTR-

八D

A.A、B两物体的加速度大小为0.3m/s2

B.A、B两物体之间的压力大小为1.2N

C.A、B两物体之间的摩擦力大小为1.08N

D.B物体对地面的压力大小为4N

答案B

解析对A、B两物体整体进行受力分析，根据牛顿第二定律/=（〃7A十〃阻）。，解得A、B两物体的加速度大

小为。=3m/s2,故A错误；对A、B两物体整体进行受力分析，竖直方向有人=（"八+〃3尔=5N,故B对

地面的压力大小为5N,故D错误；对A进行受力分析，水平方向有F-FBA=/WA«，故B对A的弹力FBA=

1.2N,故B正确；对A进行受力分析，竖直方向有RAB=〃?W=1N,故A、B之间的摩擦力大小始终为1

N,故C错误。

6.（多选）（2025•山东膝州市第一中学月考）如图所示，质量为M=2kg的凹形槽在水平拉力F作用下向左做匀加

速直线运动。凹形槽与水平地面间的动摩擦因数为川=0.7,凹形槽•内有一质量为〃-1kg的小铁块恰好能静止

在后壁上，铁块与凹形槽间的动摩擦因数为心=0.5。运动一段M间后逐渐减小拉力（但凹形槽仍做加速运动），

铁块开始沿凹形槽竖直的后壁落到底部且不反弹。之后当凹形槽的速度为国=4m/s时突然撤去拉力，最终铁块

恰好没有与凹形槽的前壁相碰，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取lOmM,不计铁块大小和槽的厚度，则

开始运动时拉力F的大小和凹形槽的长度L分别为（）

M

A.F=8INB.F=162N

C.L=0.6mD.L=1.2m

答案AC

解析铁块恰好能静止在凹形槽后壁上，竖直方向受力平衡，由平衡条件有mg个FN，对铁块，在水平方向上，

根据牛顿第二定律有F^=ma,以铁块和凹形槽组成的整体为研究对象，根据牛顿第二定律有

加（M+m）g=（M+m）a,联立解得F=81N,因为川＞偿，所以撤去拉力后铁块与凹形槽发生相对滑动，当凹形槽

停止后，铁块继续减速至零。对铁块受力分析，根据牛顿第二定律有a/ng”，对凹形槽受力分析，根据牛

顿第二定律有川（M+〃?）g〃2〃?g=M〃2,铁块运动的位移为国二¥,凹形槽运动的位移为M学,凹形槽的长度为

2QI2a2

L=XIX2,联立解得L=0.6m,故选A、Co

7.（2025•山东泰安市模拟）如图所示，细线的一端固定在倾角为30。的光滑楔形滑块A的顶端?处，细线的另

一端拴一质量为,〃的小球，静止时细线与斜面平行。已知重力加速度为g。使滑块以加速度a=2g水平向左

加速运动，小球与滑块相对静止，则下列说法中正确的是（）

7.777.77.777.77.777.77.7777，7哂7777777、77777…7/7

A.细线对小球的拉力大小为y〃?g

B.细线对小球的拉力大小为（b十5Mg

C.小球对滑块的压力大小为日Mg

D.小球对滑块的压力大小为2mg

答案A

解析设当小球贴着滑块一起向左运动且支持力为零时加速度为。0，小球受到重力、拉力作用，根据牛顿第

二定律ao=gtan60o=75g,当滑块以加速度a=2g向左加速运动时,此时小球已经飘离斜面，则此刻小球对

滑块的压力为0,设此时细线与水平方向的夹角为a,故有Fjsina=nig,FTCOSa=ma=2mg,解得FT=

y/Smg,故A正确，B、C、D错误。

IR能力综合练

8、9题每小题9分，10题16分，共34分

8.（多选）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为〃?=0.6kg的匀质小球，。线与水平方向

成37。角，人线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是小=15N,已知$而37。=0.6,8537。=0.8,g取10

m/s2,＞W（）

A.系统静止时，。线所受的拉力大小12N

B.系统静止时，8线所受的拉力大小8N

C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5mH

D.当系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10mH

答案BC

解析系统静止时，小球受力如图甲所示，竖直方向有此6^37。=〃火，水平方向有凡・cos370=B,解得此

=10N,A=8N，故B正确，A错误；系统竖直向上匀加速运动时，小球受力如图乙所示

mgmg

甲乙

当a线拉力为15N时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fmsin37。一〃吆=.，水平方向有F.-cos3V=Fh,

解得泾=12N,此时加速度有最大值a=5m/s2，故C正确；系统水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律

得，竖直方向有居・sin37°=mg,水平方向有Fh-Fa-cos37°=ma

解得A=10N,当Q,=15N时，加速度最大为^11.7m/s2,故D错误。

9.马车是古代的主要运输工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物，其中最上面有两个木板A和B,A、B

之间和B与车之间接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为川.B与车之间的动摩擦因数为〃2,A质量为

m,B质量为2〃?，车的质量为5〃z,地面对车的摩擦力不计，马给车的水平拉力为F,A、B始终没有离开车

表面，重力加速度为g,则下列说法正确的是（）

A.若川＞"2,逐渐增大立A会相对B先滑动

B.若〃|＞偿，当/=842〃78时，B与车之间开始相对滑动

C.若川＜丝，不管尸多大，A、B都不会相对滑动

D.若川<〃2，A、B与车都相对静止,产的最大值为6〃即g

答案B

解析若川>"2,B相对于车比A相对于B先滑动，所以不管尸多大，B相对车滑动后，A相对B一直静

止，故A错误；若川>〃2,整体相对静止的最大拉力F=8gi2mg,当7g时，B与车之间开始相对滑

动，故B正确；若川<心，A相对B比B相对于车先滑动，故C错误；若⑷<偿,A、B与车都相对静止，系

统的最大加速度为a=wg,则对整体受力分析知最大拉力尸=&/mg,故D错误。

10.（16分）如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M—8kg,重

物质量〃?=2kg,木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10mH。

木箱.

7>7,>>>>>>，>〉，〃〃〃〃〃〃〃〃>>>,¥，

□

（1）（6分）要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？

（2）（10分）若木箱与地面间的动摩擦因数〃=0.4,用大小为80N的水平拉力产将木箱由静止向左拉动位移x=

0.5m时，求重物的速度大小0。

答案（1）/^0.5⑵&m/s

解析（1）对重物受力分析，根据受力平衡可得

产「=〃尔=20N

对木箱受力分析，可得吊=2臼，又Ff="Mg

联立解得〃=0.5,故要使装置能静匕，木箱与地面间的动摩擦因数需满足〃20.5。

（2）设木箱加速度大小为。，则重物加速度大小为2a,对重物受力分析，根据牛顿第二定律可得

FT，—mg=2ma

对木箱受力分析，有F-wWg-2Fr'=Ma

解得。=0.5m/s2

当拉动木箱向左匀加速运动的位移为x=0.5m时，重物向上的位移为h=2x=lm,由2义2。力=",可得此

时重物的速度大小为v=\[2