高中数学一轮复习：空间角与空间距离

专题9.5空间角与空间距离

必备知识

1.异面直线所成的角

⑴定义：设%"是两条异面直线，经过空间任•点。作直线力'〃〃，把与〃所成的

锐角(或直角)叫做异面直线。与〃所成的角(或夹角).

⑵范围：(o(].

2.直线与平面所成的角

(1)平面的一条与平面Q交于点8,4。1a于点。,。8即为直线48在平面a上的射影，直线

AB与其投影08所成的锐角乙480,叫做直线4B和平面a所成的角.

直线与平面平行，所成角为0,直线与平面垂直，所成角为手

4

⑵范围：[o卷.

⑶最小角定理：平面的斜线与其在平面内的投影所成角是这条斜线和这个平面内任

何一条直线所成角中最小的角.

3.二面角

(1)在二面角a—夕的棱L上任取一点。，以点。为垂足，在半平而

%。内分别作垂直于棱1的射线。4。8,则射线。4和。8构成的乙4。8,叫

做二面角a-I-S的平面角.平面角为直角的二面角为直二面角.

⑵范围：

4.点到平面的距离与直线到平面的距离

⑴点P到直线Z的距离

设丽=匕正是直线1的单位方向向量，则向量Q在直线1上的投影向量而=3•访1.在

RtMPQ中，由勾股定理，得PQ=J研2一|而广=/五2一0.谟2.

u

p

⑵点P到平面a的距离

若平面a的法向量为元，平面。内一点为4则平面a外一点P到平面a的距离d=|加高=

喀如图所示.

⑶线面间距离、面面间跑离与线线间、点线间距离常常可以相互转化.

区教材改编

1.【人教A版选择性必修一142例7P36］（多选）在四边形4BCD中（如图1所示），

AB=40,乙4B0=45°,BC=BD=CD=2,将四边形4BCD沿对角线B0折成四面体48c0（

如图2所示），使得乙4'BC=90。，E,F,G分别为棱BC,A'D,A'B的中点，连接EF,CG,则

下列结论正确的是（）

A.A'C1BD

B.直线EF与CG所成角的余弦值为胃

JLO

C.C,E,F,G四点共面

D.四面体48CD外接球的表面积为8"

2.1人教A版选择性必修一习题1.4第7题P42］如图，四面体4—中，0,E分

别为BD,BC的中点，AB=AD=2,CA=CB=CD=BD=AO_L平面8C0,则点0

到平面4BC的距离为

考点归纳

考点一空间几何体中求夹角

【方法储备】

1,求异面直线所成角

⑴直接平移法：将异面直线小力平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形;

⑵补形平移法：对于一些三棱锥、三棱柱等几何形体可以“补形”后再平移;

⑶向量法：设异面直线h，0所成的角为。，其方向向量分别为。人则cos9=|cosV

丘力＞|=胆

'।lullvf

2.求线面角

⑴常规法：过平面外一点B作8夕_L平面a,交平面a于点夕；连接4夕，则乙849即为直

线4B与平面a的夹角.接下来在R£A4BB'中解三角形.即sin4B45'=警~嬴(其中也即点

/\o

B到面a的距离，可以采用等体积法求九，斜线长即为线段48的长度)；

(2)向量法：直线4B与平面a相交于B,设直线48与平面a所成的角为氏直线4B的方向向

量为正平面a的法向量为本则sin。=必＜即＞|=器.

3.平面与平面的夹角

（1）两平面的夹角：平面a与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四

个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平面0的夹角.

⑵求二面角

①三垂线法：在面a或面/?内找一合适的点A,作AO10于O,过A作

AB12于B,则BO为斜线AB在面/?内的射影，NABO为二面角a一1一/?的平面角，在RtA4BO

中解三角形；②射影面积法：凡一面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平

面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式：8$0=善=?"，求出二面角的大小；

s原SRABC

③补棱法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，

使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时,

也可直接用法三的射影面积法解题.

④向量法：设平面a,/7的法向量分别是近，底，平面a与平面口的夹角为仇

则cos”|cosv汨后＞1=黑.

注意:

1.线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.

2.二面角与两平面夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，要在图形中观察法向量的

方向，来确定二面角与法向量的夹角是相等，还是互补；而两平面的夹角的余弦值一定是非负的.

【典例精讲】

例1.（2025•辽宁省•模拟题）在正四棱柱ABC。一4QC1D1中,A-=2AB,比F,G分别是

CC〔,BD，GDi的中点，则直线4G与EF夹角的余弦值为（）

A・畀考C.?D.黑

例2.(2025•湖南省岳阳市•模拟题)

如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,/.CBA=Z.DBC=120°.^：

(1)直线40与直线8C所成角的大小；

(2)直线AO与平面8co所成角的大小；

⑶平面和平面8DC的夹角的余弦值.

例3.(2025•江苏省•模拟)在三棱锥A-8co中，已知CB=CD=屋,BD=2,。为8D的

中点，40_L平面BCD,<0=2,E为4c中点.

(1)求直线4B与0E所成角的余弦值；

(2)若点尸在8c上，满足设二面角F—DE—C的大小为仇求siM的值.

4

B

【拓展提升】

练1・1（2025•河南省漂河市•期末考试）在四棱锥P-ABCD中，平面P4BL平面4BCD,△

P4B为正三角形，4BC0为梯形，AD//BC,AB1i9C,AD=1,AB=2,BC=3,贝ij直线24

与平面PCO所成角的正弦值为（）

ACD\T30k/71八3AT76

A.D.---C.---U.----

2202126

练1-2（2025•浙江省金华市模拟）如图，在圆台。1。2中，圆。1的半径是1,圆。2的半径是

2,高是C，圆0i是△ABC的外接圆，AB=C，PC是圆台的一条母线.

（1）求三棱锥P-ABC体积的最大值；

⑵当P4=2C时，求平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值.

练1・3（2025•江苏省•同步练习）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体一一羡除，它下广

六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE,如图，

四边形4BC0,ABEF均为等馁梯形，AB//CD//EF,平面ABCD1平面ABEF,梯形4BC0、

4BEF的高分别为3,7,JBL4B=6,CD=10,EF=8,则|说|=,异面直线40、BF

所成角的余弦值是.

D

AB

考点二空间几何体中求距离

【方法储备】

1.求点到平面的距离

⑴直接法：过P点作平面a的垂线，垂足为Q,把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ

的长度就是点P到平面a的距离；

⑵转化法：若点P所在的直线，平行于平面a,则转化为直线［上某一个点到平面a的距离来

求；

⑶等体积法：当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面

的距离；

（4）向量法：设平面a的一个法向量为落4是a内任意点，则点P到a的距离为4=曾.

|n|

2.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.

【典例精讲】

例4.（2025•安徽省芜湖市•月考）在长方体力BC0-4B1GD1中，AB=1,AA,=2,40=4,

点E在棱BC上，且8C=4BE,点G为△4当。的重心，则点G到直线4E的距离为（）

A.?B"C.rD"

例5.（2025•江苏省连云港市•模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，PAJ•平面ABC,Z.BAC=

90°,D,E,尸分别是棱48,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2.

（1）求直线P4与平面DEF所成角的正弦值;

（2）求点P到平面OE尸的亚离.

（3）求点P到直线EF的距离.

【拓展提升】

练2・1(2025•天津市•期末考试)

如图，在直三棱柱中，ABAC=90°,AB=AC=AAr=2,E是8C中点.

(1)求证：4/〃平面AEG；

(2)求平面AEG与平面4所成角的余弦值；

(3)求点4到平面/EG的距离.

练2・2(2025•湖南省•模拟题)如图，在直三棱柱4BC-41B1G中，△ABC是正三角形，D为

4c的中点，点E在棱CG匕且CE=2EC「若48=2,441=3,则点4到平面BOE的距离

为____•

B

练23（2025•河北省名校联考）如图，ACHED,AC平面/CDE1平面4BC,

点、M,N分别是边4C,BC的中点，AC=2ED,BC=CD=DE=1.

E_____D

（1）证明：平面DMN〃平面4EB;

⑵求直线AC到平面DEB的距离；

（3）求平面DMN到平面4EB的距离.

新题放送

1.（2025•浙江省・模拟）如图，在菱形4BCD中,乙B/D=60。，线段40,BO的中点分别为

E,F,现将△48。沿对角线BO翻折，则异面直线BE与CE所成角的取值范围是（）

D4

A.（睛）B.（箕C.（品］D.已争

2.（2025•浙江省・模拟）已知椭圆C：W+，=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为&、F2,

离心率为点经过点a且倾斜角为。（0V。V1）的直线/与椭圆交于48两点（其中点A在x轴上

方），△ABF2的周长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，将平面xOy沿%轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面4斤尸2）与y轴

负半轴和％轴所确定的半平面（平面BF1F2）互相垂直.

①若8=半求异面直线犯和“2所成角的余弦值；

②是否存在。（0<9<3,使得AABF2折叠后的周长与折叠前的周长之比为葛？若存在,

求tan。的值；若不存在，请说明理由.

3.（2025•云南省昆明市•模拟题）

在如图所示的六面体48coEE中，矩形40EF1平面=AD=AF=1,CD=2,

CDLAD.AB“CD.

（1）设H为CF中点，证明：BH〃平面4DEF；

⑵求平面BCF与平面ABC夹角余弦值.

（3）求。点到平面BCF的距离.

【答案解析】

1.【人教A版选择性必修一1.4.2例7P36】

解：如图，取80的中点0,连接。4,0C.

对于4因为△4。。为等腰直角二角形，△BCD为等边二角形,所以=

0A'1BD,0C1BD,因为045。。=。，且。4,。。u平面。AC,

所以BO_L平面。AC,又ACu平面。AC,所以4CJ.8D,故A正确；

对于8,设瓦百万=b,瓦＞=笠，则葡=：下一2,FF=1(b+?—a),

易得1•口=0,a-b=b-c=2,

I茁1=J版一砌2=空|利=J海+仁3)2呼,

乔石_4\飞

所以前.CG=1(b+c-a)•(|c-5)=2,cos(EF,CG)=故B正确;

\EF\\CG\一15

对于C,连接GF.GF,CE显然是异面直线，所以C,E,F,G四点不共面，故C错误；

对于0,如图，过△BC0的重心H作直线m垂直于平面BC。，过点。作直线九垂直平面4BD,

则直线M与直线几交于点Q,即Q为四面体A8CD外接球的球心.连接QD.

因为乙48c=90°,所以AC=C,

所以cos乙40C==-汉则siMAOC==，

2OArOC2xlx<333

由上可知sin4&OC=sin(90°+乙QOH)=cos4Q0〃=?,在RtZkQ。，中，OH=芋,

所以°Q=°nnu=W从而QO=J。。2+0Q2=W，即四面体ABCO外接球的

cos^.QOH2v2

半径R=孚，则该外接球的表面积5=4几/?2=6兀，故。错误.

故选AB.

2.【人教A版选择性必修一习题1.4第7题P42]

解：VCB=CD,0为中点，・•・CO1B0,又40上平面BCO,BO,COu平面BCD,

AO1BO,AO1CO,

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0，8(/7,0,0),C(0,，^,0),D(—/7,0,0),

•••丽=(产0,-。)，BC=(-<^,^,0).

设平面ABC的法向量为五=(x,y,z),贝

即伴窘篇一令yj*(E，E

又而=(一二,0,一「)，

例1.解：解法一：以。为坐标原点，以。4DG0D]所在直线分别为％,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，因为44]=24B,瓦F,G分别是CG，BD，GD]的中点，

设—=2,则A4i=4,可得。(0,0,0),4式2,0,4),G(0,1,4),E(0,2,2),尸(1,1,0),

则下=(-2,1,0),EF=(1,-1,-2),所以|cos〈4；G,Eh|=3生当=—1—=^

\AiG\-\EF\7SxV610

D、G

E

解法二：设AB=2,则4％=4,如图所示，取4Bi的中点P,^APfPCltACltAC,

22

所以41P=PB1==2,CG=4,AC=VAB4-BC=2c,

AB

在正方形4$iGDi中，可得PC"/4G,在三角形AaCG中，因为民尸是CC”4C的中点,

可得4C"/EF,

所以乙PCp4（或其补角）是异面直线&G与EF的夹角，

在RMAaP中，可得用P—144］十』iP2一

在Rt^PBiG中，可得PG=JP8：+B©=G,

在R£△ACQ中,可得4cl=VAC24-CC1=2#，

在乙PG4中，由余弦定理得cosg4=喘券=督言=僵

故选：D.

例2.解：解：设48=1,作40_LBC于点0,连接。。，以点。为原点，。0,0C,。4的方

向分别为不轴、y轴、z轴方向建立坐标系，

得下列坐标：

0(0,0,0),D(?,0,0),B(0，,0),C(0,1,0),A(0,0,?),

⑴同=(?,0,-？)，玩=(0,1,0),

AD-BC=0,所以40与RC所成角等于90。；

(2)由(1)可知瓦=(0,0,1)为平面BCO的一个法向量，又而=

设直线40与平面BCO所成角大小为6,

贝Min。=|cos<y4D,n7>|=/।2।—=—,

J哼)2+(-?)2xi2

.•・百线4D与平面BCO所成角的大小45。；

(3)设平面4BD的法向量为底=(x,y,z),南=(0,：,-?)，

nJ-=0

所以

•AD=0

则无=(1,73,1),

设平面4B0和平面BOC的夹角为a,则cosa=|cos可，底)|=鲁%；=-^==

\n1\x\n2\ixv55

因此平面4BD和平面BDC的夹角的余弦为?.

例3.解：(1)如图，连接0C,•.・CB=CD,。为B0的中点，・•.C。J.BD.

E

D

以。为坐标原点，分别以OB,0C,。4所在直线为％,y,z轴建立空间直角坐标系.

•・♦BD=2,：・OB=0D=1,则0C=VBC2-OB2=V5-1=2.

5(1,0,0),4(002),C(0,2,0),D(-l,0,0),

•••f是/^的中点，，^"1」)，

・•・AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1).

设直线AB与DE所成角为a,

则cos。=塔曾=/J=二，

\AB\\DE\/TR71+1+115

即直线4B与OE所成角的余弦值为噂；

JLO

(2)vBF=-BC-.BF=-BC

、/4t4f

设F(x,y,z),则(x-l,y,z)=.♦.?(：,可)・

••・屁=(1,1,1)，而=(泊,0),沆=(1,2,0).

设平面DEF的一个法向量为沅=(%i，yi，Zi),

m•DE=%+%+Zi=0

由一7,in，取小=-2,得万=(-2,7,-5)；

[m-DF=-x1+-y1=0

设平面DEC的一个法向量为还=(%2，＞2*2)，

由”•DE=%2+、2+Z2=0

取％2=—2,Wn=(-2,1,1).

(n•DC=32+2y2=。

...IcosJI=师同=|4+7-5|=5

"11|m|-|n|V4+49+25V4+1+113

：■sinO=V1-cos20=/1——=至22.

y1313

练1・L解：取48的中点0,连接。P,

因为为正三角形，所以PO1AB,

又工F面P/2JL平面/BCD,面P4BCl平面/9C0=AB,

APO_L平面4BC0,

以。为坐标原点，。4OP所在直线为，z轴，

在平面/BCD内，过。点作。户的垂直线为y轴，

建立如图所示的直角坐标系，

则4(100),0(1,1,0),C(-l,3,0),P(0,0,C),

DP=(-1,-1,CD=(2,-2,0),

设平面PCO的法向量为记=Q,y,z),

则需m啕二第俨二°

令z=2,得x=y=V-3,

故平面PCD的一个法向量为五=(C,V3,2),

又而=(-1,0,

设P4与平面PCO所成角为仇

所以sin。=|cos(AP,n)|==票.

故选：B.

练1・2.解：(1)取中点M,连接。］M,0修，如图,

当。1、C、M在同一条直线上时，△ABC的面积最大，则三棱锥体积最大,

则44BC的高九=0科+0传=：+1=|,

3SMHC.5。203XGXX5X<3=%

即体积的最大值为不

4

(2)如图，以内为坐标原点，过。1与4B平行的直线为工轴，。1。2所在直线为z轴建立空间直角

坐标系，设以&,%，0)，P(2r0,2y0,<3),

,二4(一?,一表。)，8(?,一；,0),

••./%=J(2/++(2%+》+C)2=2/3,

又熠+羽=1，解得%0=?，丫0=%

则P(C,1,AT3),

设平面/MC的法向量为/=(x,y,z),贝I”?.竺="可取汨=(1,一二,0),

(九「4C=0,

同理可得平面PBC的一个法向量4=(-2,0,1).

设平面P4C与平面PBC的锐二面角为0,则cos。=萼导==.

|nil|n2|5

练1・3,解：过4分别作CD,EF的高，垂足分别为N.M,如图所示:

•.•平面ABCDL平面4BEF,AB//CD//EF,由AN1CD可得：AN1AB,

又平面4BCDn平面ABEF=AB,ANu面ABC。，

故ANJL平面/BEF,

乂AMu面4SE尸，故可得力N_L/4M

VANA.AB,4NJ.4M,又

故AN,AB,4M两两垂直，

以A为坐标原点，AB,俞，丽的方向分别为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系A-xyz,

则由题意可知8(6,0,0),。(-2,0,3),根(-1,7,0),力(0,0,0),根(7,7,0),

...DE=(9,7,-3),・••阿=V81+49+9=7^39.

又豆=(-7,7,0),AD=(-2,0,3),

而诉=14,

:，cos<>=,

V4+0+9-V49+49+013

故答案为V139；

例4.解：在长方体A8C0-A181clz中，建立如图所示的空间直角坐标系,

由48=1,44=2,AD=4,得4(0,0,0),C(l,4,0),当(1,0,2),

由点E在棱BC上，且BC=4BE,得E(l,l,0),△/当。的重心G(|j,|),

OOO

则荏=(LL0)，AG=AE-AG=2,\AG\=—,|^E|=<I,

3333

所以点G到直线AE的距离d=I\AG\2-^S=I1-2=^.

\匕|yl*5J

故选A.

例5.解：（1）如图所示,

以4为原点，AB,AC,4P所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系4-xyz.

由＜2=/C=1,PA=2,得4(0,0,0),9(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),

呜0,0),呜：,0),F(0,1,l).

设平面OEF的法向量五=(x,y,z),

则俨•屁=0,

hr方=0,

即卜,y,z).(03,0)=0,

[(%,y,z).(一另,1)=0,

解啜：oZ，

取z=1,则平面DEF的一个法向量记=(2,0,1).

设PA与平面OEF所成的角力仇

贝ijsin3=里里=—,

田川问s

故直线PA与平面OEF所成角的正弦值为学.

(2)vPF=(0,i,-l),元=(2,0,1),

.••点P到平面DEF的距离d=噂=?.

1«15

(3)vPF=(0,p-l),FF=(-|,0,l),

・•・点P在加上的投影为二著=一,

IS5

故点P到直线EF的距离为J忸?|~—(2^)2=J1+：—g=J'=宁7.

练2・1.解：(1)证明：如图所示，连接41c交4G于F点，连接EF,

由三棱柱的特征可知侧面4CC14是平行四边形，则F是A1。的中点,

又因为E是BC中点，所以£7"/48,

因为E尸u平面/EG，色平面/EG，

所以4B//平面4EC1；

(2)由已知可得A4iJ_底面48C,ABA.AC,

如图以4为原点，以4B、AC.A4所在直线分别为％、y、z轴建立空间直角坐标系,

则力(0,0,0),4(0,0,2),E(l,l,0),G(022),C(0,2,0),

故裾=(1,1,0),~AC[=(0,2,2),

设平面AEG的一个法向量为元=(x,y,z),且彳民福*在平面力5。1上,

则0.翌=%+y=0,

(n•AC[=2y+2z=0'

令y=-l,则％=1,z=1,

即冗=(1,-1,1),

易知旅=(0,2,0)是平面4BB出的一个法向量,

设平面AEG与平面ABB1&所成角为氏

向福_2_<3

则|cos6|=

|宿|祠-2X«5-3

由图可知，平面/EC】与平面所成角为锐二面角,

故平面AEG与平面所成角的余弦值为V；

O

(3)易知析=(0,0,2),

则点儿到平面AEG的距离d=窄声=言=平.

练22解：如图,取的中点F,G,因为A41平面ABC,尸8,尸Cu平面ABC,

所以/Mi1FB,AA11FC,

因为三角形48c是等边三角形，点F是＜8中点，所以F8_LFC,

所以FB,FC,/G两两互相垂直,

以点尸为坐标原点，尸&尸C,尸G所在直线分别为居y,z轴建立空间宜角坐标系,

因为CE=2ECi，48=2,441=3,。为4c的中点，

所以8(1,0,0),火一1,0,0),C(O,C,0),0(三,?,0)倒0,/3,2),公(-1,0,3),

所以布=(2,0,-3),而=弓,一?,0),丽=(1,一后,一2),

设平面的法向量为3=(居y,z),

所以_DBn=-x~y=^f令％=i,解得y=Gz=-l,

EB-n=x—\/~3y—2z=0

所以可取道=

点4到平面BDE的距离为喑^=若G=<5-

故答案为：<5.

练2-3.解：解：(1)证明：因为点M,N分别是边4C,BC的中点,

所以4B〃MN,AM=^AC.

4Bu平面4EB,MNU平面4EB,//^AEB,

因为4C=2EO,所以AM=EO.

因为4C〃ED,所以四边形是平行四边形.

所以4E〃M0,

AEu平面AEB,MO仁平面力EB,

MD〃平面4EB,

MNCMD=M,MN、MOu平面OMN,

所以平面DMN〃平面AEB.

(2)因为4c_L平面BCO,CD,CBu平面8C0,

所以4CJLCD,AC±CR,

因为平面4coE_L平面ABC,且平面ACOEn平面ABC=AC,CDu平面力COE,

所以COJL平面4BC,CBu平面ABC,所以CO_LCB,即C4、CB、CD两两垂直，

如图，以点。为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz,因为BC=CO=OE=1,

所以4(2,0,0),8(0,1,0),0(0,0,1),E(l,0,l),M(l,0,0),

所以屁=(1,0,0),BD=(0,-1,1),而=(0,0,1).

设平面BDE的法向量为记=(x,y,z),则

.沆=0,即W=0，

•沆=o,'l-y+z=o.

e取z=1,得y=1.所以记=(0,1,1)«

所以点C到平面DEB的距离为曾=士=W

|m|V22

由AC7/DE,DEu平面AC仁平面BOE,

故AC〃平面BDE,

则点C到平面BDE的距离即是直线4c到平面BDE的距离，

故直线AC到平面DEB的距离为

(3)由(2)可知荏=(-1,0,1),AB=(-2,1,0).

设平面4BE的法向量为五=(%i，yi，Zi),

则麻小d0.

取Zi=1,得=1,yi=2.

所以五=(1,2,1),又拓？=(1,0,0),

则平面0MN到平面的距离为啥=强=?.

|n|V66

1.解：可设菱形的边长为1,则BE=CF=?,BD=1,

线段4D,BD的中点分别为E,F,

：.BE=^(BA+BD\CF=^(CB+CD)=^(BD-2~BC)

乙乙乙

布•#=；画+而).(前一2硝

11»1»■一,]»2]»»

=—BA•BD——BA•+—BD——BD-BC

4242

=1_JCOS<^^>+1_1=1_1COS<^4^>,

'c°s<BE，CF>=慧急

由图可知向量瓦4方夹角范围（0号），则一：<cos<BAfBCXlf

<cos<BE.CFX婀量而，方夹角范围保号）,

因此，异面直线8E与CF所成角的取值范围是©，曰.

故选C.

2,解：（1）由椭圆的定义得：

\AFr\+\AF2\=2a,\BF1\+\BF2\=2af

ABF2的周长L=4a=8,.•・a=2,

椭圆的离心率e=£=2,c=1,b=Va2—c2=A/-3,

a2

由椭圆焦点在X轴上，得椭圆的标准方程为f+：=l.

43

（2）由（1）知，点&（一1,0）,倾斜角为。=g故直线L设为：y-0=「（x+l）,

_I_堂2z（y=AT-3（X+1）（_

①由直线八y-0=+1）与：+♦v=1可得：/2，联立求得4（0,15）,

43—+y—=]

（因为点A在％轴上方）以及8（-[一：/百）,

再以0为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原工轴，原y轴正半轴所在直线分别为工，y,z

轴，建立空间直角坐标系，

则F］（0,—l,0）,4（0,0,「），8弓<3,一20）,尸2（0,1,0）,

及5=（o,i,q）,眶与,o）,

*JO

记异面直线AFi和NF2所成角为3，则cost/?=|cos<~F^A,~BF^>|=£•鬻=3

②设折叠前4（右,%）,B（x2ly2）,折叠后4B在新图形中对应点记为A,B:

rff

由IAF2I+\BF2\+\AB\=\AF2\+\BF2\+|4B|=8,得|48|一|4夕|=%

在折叠后的图形中建立空间直角坐标系，原》轴仍然为％轴，原y轴正半轴所在直线为y轴,

原y轴负半轴所在直线为z轴，如图，

则4（不,九0）,夕（如0,一乃），

将直线1方程与椭圆方程我立，得：

my=%+1

x2y2,整理得（3m2+4）y2-6my-9=0,

—I—=1

43

6m9

丫1丫2-3m2+4'丫1、2—3m2+4,

|AB'|=J（Xi—七）2+y）+必，\AB\=J（%i—尤21+（%一丁2）2,