四川巴中市2025-2026学年八年级上学期期末测试数学试题（北师大版）试卷+解析

2025年秋八年级期末考试数学（北师版）试卷

（满分150分120分钟完卷）

注意事项：

1.答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚.

2.所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效.

3.考试结束后，将本卷和答卷交监考老师.

一、选择题（每小题，共40分）

1.下列实数中是无理数的为（）

A.yB.我C.如D.-3.14

2.下列各组数能作为直角三角形三边长的是（)

A.6,7,8B.9,12,15C.12,35,36D.5",石

3.下列命题中，真命题有（）个

①如果两个角相等，那么它们是对顶角：②声源振动越快，音调就越高：③若2/>0,那么x〉0：④病

毒都不能独立生活.

A.1B.2C.3D.4

4.点。（〃?+2,〃-1）关于^轴对称的点的坐标为（3,5）,则2〃?+〃的值为（）

A.-2B.2C.4D.-4

5.下列说法正确的是（）

A.-9的平方根是-3B.64的立方根是4

C.若yfm=,则m=1D.J相的算术平方根是5

6.一次函数y=〃"7x（〃〃zw0）的图象经过第一、三象限，则歹=〃吠+〃的图象大致为（)

7.古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫二尺、罗五尺，共价二百八十文.问绫、罗尺价各

几何？”设绫每尺价X文，罗每尺价歹文，根据条件可列方程组是（）

7x=9y7y=9x

3x=280+5y5y=280+3x

r7x=9y7y=9x

3x+5y=2803x+5y=280

&岩x=6■-6,y=y/2+y/3»则代数式』+---3的值是（）

%y

A.-11B.11C.13D.-13

9.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）.现分别连接大、小正

方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为

10,较短直角边为6,现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（）

10.2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米

马拉松赛.比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发.下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的地离s（千米）

与时间/（小时）的函数图象.下列说法正确的有（）

21

①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③/二一时，甲、乙两队相遇；©t=-

55

31

或一时，甲、乙两队相距一千米

55

A.①③B.②③C.②④D.②③④

二、填空题（每小题，共1）

11.若代数式二7有意义，则x的取值范围是,

12.若点力（一3,弘），8（-2,%），。（1,必）均在一次函数V=-3x+Z?的图象上，则必，y2,外的大小关

系是（用“<”符号连接）.

x-2y=3m

13.已知关于x,y的二元一次方程组八，且3x-y=15,则〃为___.

2x+y=9

14.在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母—明文数

字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如A-1,Bf2,……，Z-26）；

明文数字一加密数字：若设明文数字为〃-

①计算，〃的算术平方根，取其整数部分为〃；

②计算差值：d=m-n2\

③加密数字为：10〃+".

若收到的加密数字分别：“34、10、44、24"，则明文字母按序飘成的单词为.

15.如图，V4BC是边长为6的等边三角形，三角形内部有一个动点/满足54必然=:5=*■，则

周长的最小值为.

三、解答题（8小题，共9）

16.计算：

（1）（-1）2026XV5+12-V51+

17.如图，在V18C中，AB=AC,过点/作8c的垂线，交8c于点Q,延长40至点使

DE=AD，连接8E.

（1）求证：AC||BE；

（2）若/ABE=60。,AB=4,求“BE的面积.

18.已知3。+1的算术平方根是4,6-1是8的立方根.

（1）求处6的值；

222

（2）求亍~■=+-==一7^=+,~的值.

\[a+y[b&i+24-"+2J-+4+"+4

19.某中学开展航空航天知识问答活动，为了解活动效果，分别从八年级1、2班随机抽取10名学生的成

绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）.

八年级1、2班抽取的学生的成绩统计表

班级平均数中位数众数方差

1班86.69075118.44

2班abC81.44

（1）上表中，a=,b=,c=；

（2）补全2班的箱线图；

（3）请结合以上数据信息，评价八年级1、2班学生的成绩谁更优秀，要求用学过的统计量及其意义客观

说明理由.

20.我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具.活动第一天,

卖出4本课外书和6本笔记本，共收入70元；第二天，他以同样的定价卖出3本课外书和5不笔记本，共

收入55元.所有收入全部捐赠.

（1）请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？

（2）为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖.打折后，课外书的销量比第一天增加

了50%,笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了20%.请问第三天课外书是几折出售

的？

21.在平面直角坐标系中，已知点力（2,2）,8（4,2）,C（5,-1）,7）（1,-1）,是否存在点尸，使得

△APDq/\BPC,且S'.产S.DCP，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

“逐步确定”策略是解决数学问题的重要思想，请根据此办法完成本题:

第一步若AAPDgABPC,则点P的横坐标的值为

第二步在第一步的基础上，求出满足的所有点P的坐标.

22.问题情境：

如图，在RtZ\45C中，ZC=90»BC=l,AC=2+6,求力B的长度.小许同学利用勾股定理求出

AB=j8+29，老师告诉他：,8+2后中，根号下含有杈号，不是最简二次根式，还需要继续化简.

B

方法回顾：

小许回想到二次根式化简

也=,（±3）2=|±3|=3;

又。Jx」+2盯+/=^（x+y）2=\x+引，

/.17+28=Jl+2a+6=J[l+&）=1+>/6|=14-y/6:

所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的.

方法应用：

（I）J3+20=，2+2近+1=；

问题解决：

（2）AB=&+2屈=；

方法迁移：

（3）计算：J8+2近+小\-4百.

23.如图1,在平面直角坐标系中，直线45:y=6+2A（A工0）交x轴于点力，交），轴于点B,（）8=2,

点。（3,〃?）在直线上.

（1）求〃[的值和直线48的表达式；

（2）如图2,过点力作直线4。轴，若点。在直线力。上，且满足S"e=5S&og,求点。的坐

标；

（3）如图3,点尸在线段力。上运动，过点。作4C的垂线交工轴于点尸，线段上有一点〃，使

CH=AP,求夕〃的最小值.

24.综合与实践

A4纸是国际标准纸张尺寸之一，它的长与宽之比为0:1.神奇的是，将A4纸沿着长边中点所在直线对

折一次，得到的两张A5纸，其长与宽之比也为JI：1,继续对折也有一样的结论.数学课上，老师组织了

探究A4纸中的数学折叠问题的活动.

(1)如图1,矩形/8C。表示一张A4纸，其中川"4。=0:1.将矩形N8C。沿长边中点所在直线

对折，使点8与点力重合，点。与点。重合，折痕为MN,点M在4B上，点、N在CD上,请说明矩形

AMND的长与宽之比也为近：］.

(2)小明在折纸过程中，按以下步骤折出了纸飞机

步骤一：如图2,将A4纸张力沿直线,ME和/”对折，使得/、8两点落在直线/MV上的点G处，

得到图3.

步骤二：如图4,将得到的图形沿直线A/"、A//对折使得£、b在直线A/N上，得到图5,纸飞机完成.

①请证明步骤二中，折叠后E、?刚好与N点重合；

②苦原A4纸张长为J5，宽为1,请求出舐飞机机翼(即图5)的面积.(图6为纸飞机展开后，A4纸的

折痕图)

2025年秋八年级期末考试数学（北师版）试卷

（满分150分120分钟完卷）

注意事项：

1.答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚.

2.所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效.

3.考试结束后，将本卷和答卷交监考老师.

一、选择题（每小题，共40分）

1.下列实数中是无理数的为（）

A.—B.圾C.屈D.-3.14

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：!/等、开方开不尽的数、

2

0.1010010001…等这样有规律的数.无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答

案：

【详解】解:A、£是无理数，该选项符合题意；

B、我=2是整数，是有理数，该选项不符合题意；

C、M=7是整数，是有理数，该选项不符合题意；

D、-3.14是有限小数，是有理数，该选项不符合题意：

故选：A.

2.下列各组数能作为直角三角形三边长的是（）

A.6,7,8B.9,12,15C.12,35,36D.6，〃，逐

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.利用勾股定理的逆定

理，进行计算逐一判断即可解答.

【详解】解：A.V62+72=36+49=85，82=64，85H64,

该组不能作为直角三角形三边长，故不符合题意;

B.V92+122=81+144=225.152=225，225=225,

.•.该组能作为直角三角形三边长.

C.v122+352=144+1225=1369，36?=1296，1369,1296,

该组不能作为直角三角形三边长.

D.,.,（6）2+（历=3+4=7,（灼、5,7.5,

.•.该组不能作为直角三角形三边长，

故选：B.

3.下列命题中，真命题有（）个

①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若2/>0,那么x〉0;④病

毒都不能独立生活.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查判断真假命题，涉及数学，物理、生物等知识，逐项判断真假即可.

【详解】解：①•.•相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，二①是假

命题;

②•.・声源振动越快，频率越高，音调越高，这是声学基本规律，.•・②是真命题；

③1•当x=—1时，2x（-l『=2>0,但工=一1<0,・•・“若2/>0,那么x>0”不成立，③是假命

题；

④•••病毒无细胞结构，必须寄生在活细胞内才能生活，不能独立生活，，④是真命题：

综上，真命题共2个，

故选：B.

4.点产（〃7+2,〃-1）关于^轴对称的点的坐标为（3,5）,则2加+〃的值为（）

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查关于歹轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出〃?、〃的值，再代入计算2〃?+〃

即可.

【详解】解：•••关于，轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数,

又•.・点P(m+2,〃-1)关于轴对称的点的坐标为(3,5),

.,•〃[+2=—3,〃-1二5,解得加=—5,〃=6,

2m+w=2x(-5)+6=-10+6=-4.

故选：D.

5.下列说法正确的是()

A.-9的平方根是-3B.64的立方根是4

C.若诟=1£，则加=1D.，云的算术平方根是5

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳平方根、立方根、算术平方根的定义，需根据相关定义逐一分析各选项的正误，熟练学

握平方根、立方根、算术平方根的定义是解此题的关键.

【详解】解：A、-9是负数，负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意；

B、版二4,即64的立方根是4,故原说法正确，符合题意；

C、当〃7=0时，yfm=0»ifm=0»也满足=故原说法错误，不符合题意;

D、725=5,故屈的算术平方根是百，故原说法错误，不符合题意:

故选:B.

大0)的图象经过第一、三象限，则y=+〃的图象大致为()

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数的系数和图像性质的关系，熟练掌握性质是关键;

m>0m<0

根据一次函数y=〃?〃x(〃7〃wO)的图象经过第一、三象限，判断出〃〃2>0,即，或1”0,再分

〃>0

别判断y=〃犹+〃的图象即可.

【详解】解：•・•一次函数＞二朋〃工（加〃工°）的图象经过第一、三象限，

inn>0,

m>0m<0

，用、〃同号，即，或1

〃>0,n<0

加＞0

当二＞0时'丁一〃口一+〃的图象大致为

m<0

当＜

n<0

・•・选项A符合题意,

故选：A.

7.古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文.、罗尺价各

几何？”设绫每尺价x文，罗每尺价7文，根据条件可列方程组是（）

7x=9y7y=9x

A.<B.

3x=280+Sy5y=280+3x

7x-9），7y=9x

C.<D.

3x+5”2803x+5y=280

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键.

根据题目中的两个等量关系分别列出方程，组成方程组即可.

【详解】解：二•绫七尺、罗九尺，共价适等,

，7x=9y,

•••绫三尺、罗五尺共价二百八十叉,

/.3x+5y=280,

7x=9y

可列方程组为

3x+5y=280'

故选项C符合题意.

故选：C.

8.若x二收一百，y=V2+V3»则代数式上+*-3的值是（）

xy

A.-11B.11C.13D.-13

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出x+歹、切的值，再将所求式子进行变形，整体代入计

算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解：=J=V2+V3,

**•x+y=>/2—>/3+V2+6=2V2，x））—（5/2—^3+5/3j=2—3=—1,

/.—+——3

%y

J23

孙

[x+y^-2xy

--------------------J

xy

（2V2）2-2x（-1）

=--------------------------3

-1

8+2,

=--------5

-1

=-10-3

=-13,

故选：D.

9.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）.现分别连接大、小正

方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为

10,较短直角边为6,现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了几何概率，勾股定理，求出阴影区域的面积是解题的关键；

根据题意易得8。=8。-8=10-6=4,则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成

的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可.

【详解】解：如图，标记字母

由寇意可知，AB=CD=6,8。=10,

・•・BD=BC-CD=\0-6=4f

22222

：.S,人01L刀方形步=JC=/i5+5C=6+10=136,

则中间小正方形的面积为4x4=]6,

・••小正方形外阴影部分的面积为4s“g=4x；x4x6=48,

二阴影部分的面积为16+48=64,

64X

・•・针尖落在阴影区域的概率为一「二一，

13617

故选：D.

10.2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米

马拉松赛.比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发.下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的羽离s（千米）

与时间，（小时）的函数图象.下列说法正确的有（）

21

①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为II千米/小时；③/二三时，甲、乙两队相遇；④t二1

JJ

或3时，甲、乙两队相距:千米

55

A.①③B.②③C.②④D.②③④

【答案】D

【解析】

【分析】本题考杳了一次函数的应用，正确理解题意是关键.

对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断；

对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度：

对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可；

对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间f（小时）的函数解析式，并针对和，之（，

分别列方程求解即可.

【详解】解：对于①,

由图可知，

当Oyv1时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢,

所以①错误；

对干②,

12--

中减速后的速度为“？=11（千米/小时）,

2）oI

555

所以②正确;

对干③，

12

乙的速度为l=12（千米/小时）,

根据题意，得；+—；)=12f

解得t=—

所以当时，甲、乙两队相遇，

所以③正确；

对干④，

设减速前甲队的函数关系式为5=短，

/113、113

-,-T代入S=外,得=

=13,

减速前甲队的函数关系式为s=13/,

设减速后甲队的函数关系式为s="+b,

1,,13

(11八/CQ\-K1+^--

把一彳，屋,12代入sT+b,得;

25J155J生2=1：

155।

>,=11

解得12，

b——

5

2

所以减速后甲队的函数关系式为5=1»+—,

5

设乙队的函数解析式为$=%/，

把(1/2)代入s二包，得&xl=12,

人=12,

所以乙队的函数解析式为s=12/,

当时，令13-12/二!

55

解得，二三(舍去);

当iA，时，令12，一。1/I2]=1,

5I5)5

21

i—=—,

3、1

解得t=1或/=一,

55

所以④正确；

综上所述，说法正确的有②③④.

故选：D.

二、填空题（每小题，共1）

11.若代数式15x-1有意义,则x的取值范围是.

【答案】x>-

5

【解析】

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数必须大于或等于零是解题的关键.根据二次根式

有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列出不等式求解即可.

【详解】解：•・•代数式后二7有意义，

5x-1>0,解得不之".

故答案为：x>—.

5

12.若点/（一3,必），8（-2,%）,C（l,%）均在一次函数y=-3x+b的图象上，则弘，y2,外的大小关

系是（用“<”符号连接）.

【答案】yi<y2<yi

【解析】

【分析】本题考查一次函数的图象与性质；当一次函数的女<0时，y随着X的增大而减小，即X值越大y

值越小，比较各点x值大小可得产值大小关系.

【详解】解：•・•点力（-3,%），8（-2,8），。（1,乃）均在一次函数y=-3x+b的图象上，且左二—3<0,

随着x的增大而减小，即x值越大y值越小，

***1>—2>—3,

•,­%<%<%•

故答案为：为<必<必.

x-2y=3/w

13.已知关于X,y的二元一次方程组r八，且3x-y=15,则〃?为____

2x+y=9

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了解二元一次方程组，将两个方程相加得出3x-y=3〃z+9,再结合3x-y=15得出

3/«+9=15,求解即可得出结果，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键.

x-2y=3〃?①

【详解】解:

2x+y=9②

由①+②可得：3x-y=3m+9t

V3x-y=15,

/.3m+9=15,

解得：ni=2,

故答案为：2.

14.在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母一明文数

字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如A->1,B->2,……，Z726）；

明文数字一加密数字：若设明文数字为机：

①计算〃?的算术平方根，取其整数部分为〃；

②计算差值：d=m-n2\

③加密数字为：10〃+d.

若收到的加密数字分别：“34、10、44、24"，则明文字母按序组成的单词为.

【答案】MATH

【解析】

【分析】本题考查算术平方根，一元一次方程的应用；根据加’言规则，对每个加密数字反向推算明文数字,

再转换为字母即可.

【详解】解：TAfl,B-2,……，Z726,

Al<w<26,且为整数，

・•・・西・而,

•・•〃为赤的整数部分，

1<7?<5,且为整数，

•*«m>n2，

•**d=in-n2>0

当加密数字为34时，10〃+d=34,当〃=3时，10x3+1=34,解得：d=4,

...4=m-32>解得：〃?=13,

,•,3<拒<4，

・••整数部分正好是3,符合题意，

・••加密数字34对应的明文数字为13,对应的字母为M,

当加密数字为10时，10〃+d=10,当〃=1时，10xl+d=10,解得：d=0,

0=-I2»解得："2=1,

**VT=1»

・••整数部分正好是1,符合题意，

・••加密数字10对应的明文数字为1,对应的字母为A,

当加密数字为44时，10〃+d=44,当〃=4时，10x4+1=44,解得：d=4,

:.4=/w-42>解得:m=20»

,・,4〈亚<5，

・••整数部分正好是4,符合题意，

・•・加密数字44对应的明文数字为20,对应的字母为T,

当加密数字为24时，10〃+4=24,当〃=2时，10x2+1=24,解得：d=4,

:.4=〃?一2?，解得：=8,

•・•2（返<3，

・••整数部分正好是2,符合题意，

・••加密数字24对应的明文数字为8,对应的字母为H,

综上：明文字母按序组成的单词为MATH.

故答案为：MATH.

15.如图，V4BC是边长为6的等边三角形，三角形内部有一个动点〃满足■，则△“力3

周长的最小值为.

【答案】473+6

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形，面积桥，将军饮马，勾股定理等知识；先由等边三角形的边长求出等边

三角形的高，再由同底三角形面积比等于高的比求出的高度，最后由将军饮马和勾股定理求出

4%+4历的最小值，最后求出△力5M周长的最小值

【详解】解：如图，过点、C作CE工AB交4B于点E,

过点M作EM||48交CE于点F,

作点B关于直线MF的对称点为"，

连接力8',

则,44'为AM+BM的最小值，

周长的最小值为48'+力8,

•:VABC是边长为6的等边三角形，

•••AB=AC=BC=6，

,:CEJ_AB,

•••CE为△43C的中线，

AE--AB=—x6=3,

22

•••CE=ylAC2-AE2=V62-32=36，

..s_lc

■=~^A^C»

设的高为力，

.•.-ABh=-x-ABCE=-x-ABx3y/3,

23232

h-y/3，

•・•点B关于直线A4F的对称点为"，

•••BB'=2h=273，

•.•RW||45,点8关于直线历b的对称点为川

•••AB1BB'

在RsABB'中,AB，7AB2+BB'=旧+（2国=4百

••.△/8"周长的最小值为/5'+/8=46+6.

故答案为：4>/3+6.

三、解答题（8小题，共9）

16.计算：

（1）（-1）202<，xV5+12->/51+yl（-4）2

⑵1小应上品寻7T

【答案】（1）2石+2

（2）271+36

【解析】

【分析】木题考查了实数的混合运算，涉及乘方运算，绝对值的性质，二次根式的加减.乘法及乘法分配

律，解题的关键是正确进行相关运算.先进行乘方运算，化简绝对值，利用乘法分配律去括号，然后再进

行合并即可；

（1）先算乘方，绝对值和算术平方根，再算乘除和加减即可；

（2）先利用乘法分配律和分母有理化化简计算，再合并计算即可.

【小问1详解】

解：（-产」后+|2_四+川4）2

=lx逐-2+逐+4，

=275+2;

【小问2详解】

解:市+同*指+^

=&+2石+6+亚，

=2&+3G.

17.如图，在V/8C中，AB=AC,过点/作8c的垂线，交8c于点。，延长4。至点E,使

DE=AD，连接8E.

（1）求证：AC||BE；

（2）若NABE=60。,AB=4,求七的面积.

【答案】（1）见解析（2）4后

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的判定与

性质，勾股定理等知识点.

⑴先由等边对等角得到乙48C=NC,然后证明△4）8g^EZM（SAS）,则4BD二NEBD,继而等

量代换即可证明；

（2）先证明△/〃石为等边三角形，然后勾股定理求解再由三角形面枳公式求解.

【小问1详解】

解：vAB=AC

;"ABC=ZC

又•」ADIBC

.../ADB=/EDB=90。

二在■△ADB与AEDB中

AD=DE

<ZADB=4EDB

DB=DB

，△/Q5%EO8（SAS）

；.NABD=ZEBD

:"EBD=ZC

:.AC//BEx

【小问2详解】

解：由（1）知"DB义&EDB

AB=BE

又N/iBE=60。

「.△/BE为等边三角形

AE=BE=AB=4

:.DE=AD=2

・•.在中，ZADB=90"

BD=>JAB2-AD2="2-2?=2A/3

SfBE=.BD=gx4x26=•

18.已知3。+1的算术平方根是4,6-1是8的立方根.

（1）求。，b的值；

222

（2）求7~尸+]----~1^=+-j=~的值.

yja+y]bJa+2+J〃+2Jq+4+J/?+4

【答案】（1）。=5；6=3

⑵3-6

【解析】

【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是

关键.

（1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可；

（2）先对每个二次根式分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可.

【小问1详解】

解：•.•3。+1的算术平方根为4,6-1是8的立方根，

.•.34+1=16；b-\=&=2.

.,.。=5；6=3；

【小问2详解】

解：・・・〃=5；b=3,

222

原、•式=京市+京亚+京田

2（V5-5/3）2（V7-V5）2（V9-V7）

（遥+码（退一百）+（行+码（近一石了心+⑺（囱一⑺

=>[5--\/3-i-y/l—y[5-i-y/9—y/l

=>/9—VJ

=3-G-

19.某中学开展航空航天知识问答活动，为了解活动效果，分别从八年级1、2班随机抽取10名学生的成

绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）.

八年级1、2班抽取的学生的成绩统计表

班级平均数中位数众数方差

1班86.69075118.44

2班abC81.44

（1）上表中，a=,b=

（2）补全2班的箱线图;

（3）请结合以上数据信息，评价八年级1、2班学生的成绩谁更优秀，要求用学过的统计量及其意义客观

说明理由.

【答案】（1）86.6,88,88

（2）见解析（3）见解析

【解析】

【分析】本题考查了画箱线图，平均数、中位数、众数，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关

键.

（1）根据平均数，众数和中位数的计算方法进行求解即可；

（2）根据数据补全2班的箱线图即可：

（3）利用平均数和方差综合分析即可.

【小问1详解】

⑼皿68+75+82+87+88+88+90+92+96+100866

解：平均数Q=----------------------------------------=—=86.6；

1010

将2班数据由小到大排序为：68,75,82,87,88,88,90,92,96,100,

.八皿？88+88

・•・中位数力=-------二88：

2

•・•数据88出现的次数最多,

二・众数c=88；

故答案为：86.6,88,88；

【小问2详解】

解：根据数据补全2班的箱线图，如图所示,

【小问3详解】

解：八年级1,2班抽取学生成绩的平均数相同，但是2班成绩的方差小于1班成绩的方差，说明2班整

体成绩波动相对1班小，稳定性好，说明八年级2班的成绩相对较好.（答案不唯一）

20.我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具.活动第一天,

卖出4本课外书和6本笔记本，共收入70元；第二天，他以同样的定价卖出3本课外书和5K笔记本，共

收入55元.所有收入全部捐赠.

(I)请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？

(2)为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖.打折后，课外书的销量比第一天增加

了50%,笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了20%.请问第三天课外书是几折出售

的？

【答案】(1)每本课外书的单价为10元，每本笔记本单价为5元.

(2)九折

【解析】

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用.

(1)设每本课外书的单价为X元，每本笔记本单价为y元，根据卖出4本课外书和6本笔记本，共收入70

元；卖出3本课外书和5本笔记本，共收入55元，列方程组求解；

(2)设第三天打"折，根据打折后，课外书的销量比第一天增加了50%,笔记本销量与第一天相同，当天

总收入比第一天增加了20%.列一元一次方程求解.

【小问1详解】

解：设每本课外书的单价为x元，每本笔记本单价为了元，

4x+6y=70

由题意得：

3x+5y=55

x=10

解得：,

y=5

答：每本课外书的单价为10元，每本笔记本单价为5元；

【小问2详解】

解：设第三天打。折，

由题意得：4x—x10---F5x6=70x—,

2105

解得：。=9,

答：打9折.

21.在平面直角坐标系中，己知点4(2,2),8(4,2),C(5,-l),Z)(l,-1),是否存在点P,使得

△APD冬丛BPC,且S“外书，若存在，请求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

“逐步确定”策略是解决数学问题的重要思想，请根据此办法完成本题:

第一步若44PD注ABPC,则点尸的横坐标的值为：

第二步在第一步的基础上，求出满足S08P二10"的所有点P的坐标.

【答案】3；尸（3,0）或（3,-4）

【解析】

【分析】本题考查了坐标与图形的综合问题，全等三角形的判定与性质，分情况讨论是关键.

（1）根据三角形全等，可知PA=PB,PC=PD,即知点。在线段45和CQ的垂直平分线上，即可求

得答案；

（2）设。（3,。），分P点在四边形48CQ内部和下方两种情况讨论，分别根据列方程求解即

可.

【详解】解：•.•△/PZ注△8PC，

:.PA=PB,PC=PD,

「•点P在线段AB和CD的垂直平分线上，

2+4

点P的横坐标的值为——=3.

2

故答案为：3.

设P（3,a）,

•/AB<CD,

「•点P可分两种情况：

①当P点在四边形ABCD内部时，

,,S2ABP=S&DCP，

—x-a）=—xC£>x（a+1）,

22

又,：AB=2,CD=4,

—x2x（2-a）=—x4x（a+l）,

22

/.4=0,

②当P点在四边形ABCD下方时,

•''dABP=、ADCP»

/.-xJ/?x（2-a）=—xCDx（-l-a）,

22

又:.AB=2，CD=4,

（x2x（2-a）=gx4x（一1一a）,

a=—4,

，P（3,-4）；

综上所述：。（3,0）或（3,-4）.

22.问题情境：

如图，在Rt△彳3C中，NC=9（y,BC=T,AC=2+瓜求43的长度.小许同学利用勾股定理求出

AB=48+2阮，老师告诉他：,8+2行中，根号下含有杈号，不是最简二次根式，还需要继续化简.

方法回顾：

小许回想到二次根式化简

•.•7^=同，

M=1（±3）2=|±3|=3:

22

又y/x+2xy+y=J（x+yj=|x+j；|,

g+2“=Jl+26+6=+=1+V6|=1+a:

所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的.

方法应用：

⑴>/3+2>/2=72+272+1=；

问题解决：

⑵AB=g2至=____:

方法迁移：

（3）计算：，8+2近+41-4".

【答案】（1）V2+1：（2）V6+V2;（3）277-1

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关

键.

（1）将2+2亚+1配方成（立+1『，即可得到答案：

（2）将8+2a配方成（、伺+板）2,即可得到答案；

（3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可.

【详解】（1）解.：）3+20=也+2应+1="0+1）2=0+1.

故答案为：y/2+1•

（2）解：AB=&+2至=加+2辰应+2="n+司=瓜+近.

故答案为：

（3）解：原式=g+2近+1+77-2近><2+4

=77+1+77-2

=277-1.

23.如图1,在平面直角坐标系xoy中，直线48:y=h+2M女60）交x轴于点力，交y轴于点4,。8=2,

点。（3,〃?）在直线44上.

（1）求，〃的值和直线力8的表达式；

（2）如图2,过点力作直线4。轴，若点。在直线Z0上，且满足SaenSS4g,求点。的坐

标；

（3）如图3,点〃在线段/C上运动，过点。作4c的垂线交工轴于点/，线段CE上有一点〃，使

CH=AP,求取的最小值.

【答案】（1）m=5,y=x+2

⑵（-2,4）或（-2,-4）

（3）5.

【解析】

【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正

确的求HI函数解析式，利用数形结合的思想进行求解•，是解题的关键：

（1）求出点8的坐标，进而求出函数解析式，再求出〃，的值即V；

（2）先求出/点坐标,设出。点坐标,根据S、ACD=5s“aj和面积公式进行求解即可:

(3)过力点作x轴的垂线力M,过点P作直线4C的垂线交直线4W于点N,连接CN、PH，证明

△“W丝△COH(AAS),得到叩=CN,进而得到当CN最小时，PH最小,根据点到直线垂线段最短,

得到CN最小为点C到直线4M的距离，即可得出结果.

【小问1详解】

解：•••04=2,

.•.8(0,2).

•・,直线48：y=h+2左(左。0)交x轴于点力，交歹轴于点8,

2k=2,

.,.4=1,

直线44的表达式：y=x+2