2025高考数学第二轮复习专练：直线、平面垂直的判定与性质

2025版新教材高考数学第二轮复习

7.3直线、平面垂直的判定与性质

五年高考

高考新风向

(2024新课标〃,17,15分，中)如图，平面四边形ABCD

中45=8,CO=3,AO=5V5,NADC=9()。,NBAO=3()。,点E.F满足荏而工荏.将△AE/

52

沿EF翻折至△PEF,使得PC=4V3.

⑴证明:E/LLPD

(2)求面PCO与面PB尸所成的二面角的正弦值.

I)

B

考点直线、平面垂直的判定与性质

1.(2023全国乙文,16,5分，中)已知点S,A,民C均在半径为2的球面上。ABC是边长为3的

等边三角形,SA_L平面A8C,则SA=.

2.(2023全国甲文,18,12分，中)如图，在三棱柱ABC-AiBCi中/C_L平面ABC,ZACB=90Q.

⑴证明:平面ACG4_L平面38QC;

⑵设A3=48,A4=2,求四棱锥Ai-BBiCiC的高.

3.（2021全国乙文,18,12分，中）如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PO_L底面ABCD.M为

3C的中点，且PBA.AM.

⑴证明:平面%MJ_平面PBD;

⑵若力）二001,求四棱锥P-ABCD的体积.

精品试卷•第2页（共29页）

4.(2021新高考/,20,12分，中)如图，在三棱锥A-3CO中，平面A3O_L平面3czM3=AZ),O为

3。的中点.

(1)证明:O4_LCD;

(2)若4OC。是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上,QE=2EA,且二面角E-BC-D的大小

为45。,求三棱锥A-BCD的体积.

5.(2020新高考/,20/2分，中)如图,四棱锥/MBS的底面为正方形,底面A3CD设平

面PAD与平面PBC的交线为I.

(1)证明:/，平面PDC\

(2)已知PD=AD=\,Q为/上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

精品试卷•第4页(共29页)

三年模拟

练思维

1.（2024江苏南通二模,2）在正方体4中，下列关系正确的是（）

\ADLB\CB.A\D±BD

C.ACI±AICD.ACI±CDI

2.（2024浙江温州二模,3）在正三棱台ABC-AiBiCi中，下列结论正确的是（）

B.A4J•平面AB\C\

C.A\BLB\CDAAiLBC

3.（多选）（2024海南诊断,11）在正方体A8CD-A山QDi中点P满足/巨=前+而+诟，其中

2£[1,+oo）,则下列说法正确的是（）

A.若A,B,O,Ai,P在同一球面上，则A=1

B.若〃平面4DP,则；=2

C.若点P到儿氏。工।四点的距离相等，则A=3

D.若4P_L平面P8。,则

4.（多选）（2024河北石家庄一模,10）如图,在圆柱OiO中，轴截面ABCD为正方形，点F是加

上一点,M为BD与轴01。的交点,E为MB的中点,N为A在。b上的射影，且E/〃平面

AMN,则下列选项正确的有（）

A.C/〃平面AMNB.AN1平面DBF

C.Q8_L平面AMND/是&的中点

5.（2024福建厦门二模,15）如图,三棱柱ABC-AiBiCi中，侧面ABB\A\是边长为2的菱

形,NA3B=OC=2/,M为A闰中点,CM=VH.

⑴证明:平面A8C_L平面

（2）若BO2,求平面ABC与平面ABC\夹角的余弦值.

6.（2024湘豫联考第三次模拟,17）如图，在直四棱柱ABCD-A\B\C\D\中,四边形ABCD为菱

形,NA00120。,点E,F分别为棱AB.CCx上的点.

⑴若荏二2而，且平面平面求实数2的值;

⑵若F是CG的中点，平面ABiDi与平面BDF的夹角的余弦值为答，求答的值.

精品试卷•第6页（共29页）

7.(2024浙江杭州二模，17)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边

形,N0A8=6(r,8O2PQ=4A为8C的中点,PQ〃8C,PD_LOC,Q8_LMD

(1)证明:/43。=9()。；

(2)若多面体ABCDPQ的体积为尊求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值.

8.（2024湖南岳阳二模,15）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱?2，底面

ABCDyPD=DC=2AD=2,E是PC的中点，作EFLPB交PB于点、F.

(1)求证:08_1平面DEF;

⑵求二面角3-OE-厂的正弦值.

9.（2024重庆顶级名校3月联考,17）如图,四边形ABCD为矩形,△且二面角

C-AB-E为直二面角.

⑴求证:平面ACEJ■平面BCE;

（2）设尸是BE的中点,AE=l,8E=/l,二面角E-AC-F的平面角的大小为“当［2,3］吐求cos

精品试卷•第8页（共29页）

。的取值范围.

10.(2024安徽安庆二模，⑺如图，将边长为2的菱形A8QC沿其对角线8C折叠,使得点A、

D分别位于边长为2的等边△P8C所在平面的两侧，且出=遍/。=8.设七是鬼的中点.

⑴证明:平面P8C_L平面ABC;

(2)求平面EBD与平面ABC夹角的正弦值.

B

练风向

1.（创新知识交汇）（多选）（2024贵州贵阳适应性测试（一）,11）在三棱锥P-ABC中.PC_L平面

A8C,PC="二3,平面ABC内动点D的轨迹是集合M={O||D4|二2|DB|}.已知C,D£M且Di

在棱4B所在直线上,工1,2,则（）

A.动点D的轨迹是圆

B.平面尸CG_L平面PCDi

C.三棱锥尸-A3c体积的最大值为3

D.三棱锥P-Oi6c外接球的半径不是定值

2.（创新知识交汇）（2024福建高三毕业班适应性测试』8）在△ABC

中,NABC=9（r,A8=6,NACB的平分线交AB于点。工。=2DB.平面a过直线AB,且与△ABC

所在的平面垂直.

⑴求直线CO与平面a所成角的大小.

（2）设点且NECZ>30>，记E的轨迹为曲线E

⑴判断〃是什么曲线，并说明理由；

（ii）不与直线AB重合的直线/过点。且交，于P,Q两点，试问:在平面a内是否存在定点

精品试卷•第10页（共29页）

T,使得无论/绕点。如何转动，总有NPTC=NQTC?若存在，指出点7的位置;若不存在，说明

理由.

7.3直线、平面垂直的判定与性质

五年高考

高考新风向

(2024新课标77,17,15分，中)如图，平面四边形ABCD

中,A8=8,CD=3,AO=5百,/4。090。,/班。=3()。,点E.F满足元而，而二工四.将△AEF

52

沿EF翻折至△PEF,使得PC=4V3.

(1)证明:上/_1_尸£>;

(2)求面PCD与面尸8尸所成的二面角的正弦值.

I)

解析（1）证明:・・•AB=8,AO=5百，荏=|而，而二［而，，而|=2A/5,|而1=4,

在ZkAE下中，NE4F=30°,・・・由余弦定理得

石尸=八后2+人产_2AEA尸cosNE八b=(275)2+42-2x275x4x^=4,

：.EF=2,：.AE?+EFq=AF\

・・・AEJ_"，即ED1EF,PE上EF,

又TEOu面PDE,PEu面PDE,EDCPE=E,

/.EF±ffiPDE,

又PDu面PDE,：.EFl.PD.

(2)连接EC,在RtAEDC中，

EC2=CD2+DE2=32+(3V3)2=36,EC=6.

又•・•PE=2A/3,PC=4A/3,：.PE2+EC2=PC\：.PELEC,

XVPE±EF,ECcffiFBCDE,EFu面FBCDE,

且ECC\EF=E,：,PE1^FBCDE,

.,・以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,275),0(0,375,0),Q3,3我,0),尸(2,0,0),

则说=(3,3岳2何丽=(0,3存2例时=(2,0,・2何

作8GL4O交A。于点G,

在RtAABG中，

AB=8,ZBAD=3O°,BG=4,EG=26,

则5(4,26,0)厕丽=(4,26,-2百),

设面PCD的法向量为/H=(XIJI,ZI),

精品试卷•第12页（共29页）

则，二,m=0，即+3b%—2遮Zi=

'[PD-m=0,＞（3回L-2恁i=0.

令zi=3,则）『23二0,，加二（0,2,3）.

设面PBF的法向量为〃=（X2J2,Z2）,

则霭・n=0,即4X2+2v3y2—2A/3Z2=0,

•n=0,2X2—2A/3Z2=0.

令Z2=1,则X2=J3J2=1,则7?=（V3,-1,1）.

设面PCD与面PBb所成的二面角为e,

则由年箭=悬泮自______

故sinUcos即11-（意）2=噤

...面PCO与面PBF所成的二面角的正弦值为蜜.

65

考点直线、平面垂直的判定与性质

1.（2023全国乙文,16,5分，中）己知点S,AAC均在半径为2的球面上，△A8C是边长为3的

等边三角形,SA_L平面ABC,则5/1=2

2.（2023全国甲文,18,12分，中）如图，在三棱柱A8C-A山Q中AC_L平面ABC,NACB=90。.

⑴证明:平面ACG4_L平面BBiCiC;

⑵设A8=A8,A4尸2,求四棱锥A\-BB\C\C的高.

解析⑴证明:・・•41CJ_平面ABCBCu平面ABC.

：.A\C.LBC.9：ZACB=90o,.e.AC±BC,

又•・,ACACu平面ACGAi,且A16AC=C,

・・・BC_L平面ACG4,又・・,BCu平面BBCC,

・•・平面ACGA」平面BBKiC.

⑵过4作AO_LCG,垂足为O,

♦・,平面ACG4_L平面331cle且平面ACGAif）平面881clC=CG,AiOu平面ACCIAI,

・・・4OJ_平面881cle，即A\O是四棱锥Ai-BBiCiC的高.

由(1)知N4C3=ZBCA=90°.

在RS4C8与RtAACB中,48=48,8C=8C,

ARtA4CB0RSACB,：.A]C=AC,：.A}C=A\C]1

又知4C_L4G,

AACAICI为等腰直角三角形,・・.40W。。二为4户1,即四棱锥AI-BBICIC的高为1.

3.（2021全国乙文』8,12分，中）如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PQJ_底面ABCDM为

的中点，且PBLAM.

⑴证明:平面玄M_L平面PBD\

（2）若PQ=QC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

解析（1）证明：由于PDA,平面ABCD,AMu平面ABCD,则PD1AM,又

P3_LAMP8nPO=P,P8,PQu平面尸8D,所以4M_L平面尸8。,因为AMu平面以M,所以平面

附M_L平面PBD.

（2）由（1）知AM_L平面尸3。,因为BQu平面PBO,所以AM±BD^\ikZMAB+ZABD=900,

因为四边形48CQ为矩形，所以ND4B=N4BM所以NMAB+NAMB=90。，

所以则丝二丝，

ABBM

又AB=DC=T,M为BC的中点，所以AD=a,

所以S矩形

所以丫四极卷P-ABCD^S矩形48s1

4.（2021新高考/,20,12分，中）如图，在三棱锥A-8CD中，平面A3。_L平面3clM3;AO0为

3。的中点.

精品试卷•第14页（共29页）

(1)证明:OA_LC£>;

(2)若^OCO是边长为1的等边三角形，点£在棱AO上，。斤2EA,且二面角E-8C0的大小

为45。,求三棱锥A-BCD的体积.

解析(1)证明:在△AB。中,TAB二AQ,。为BD的中点,・"OJL&),又\,平面48。，平面

BCD,平面ABDC\平面BCD=BD,AOu平面ABD,：.AO1平面BCD,又CDu平面

BCDS.OAYCD,

⑵解法一:在△ABD中，过E作EN//AO交BD于N,

则由AOJ•平面BCD得ENJ_平面BCDJ.'BCu平面BCD,：・ENLBC,

VOB=OD=OC=1,AZ^CZ>90°,HPDCIBC.

在^BCD中，过N作NM//CD交BC于M则NMIBC.

连接EM/：BCtEN,BC上NM,ENCNM=N,

・・・8C_L平面EMN「；EMu平面EMN,；・EM1BC,

・•・NEMN为二面角E-BC-D的平面角，

又知二面角E-BC-D的大小为45°,

・•・ZEMN=45°,.\△EMN为等腰直角三角形，

又由DE=2EA得DN=2N0,：・MN*CD金=EN=ND、

33

：.AO=OD=1,・•・VA-BCD=^BCD-AO=^X1x<3xl=字.故三棱锥A-BCD的体积为卫

33266

解法二:由0000=08得8C_LC。,由(1)知AO_L平面8CQ,以C为原点，而，而，况的方向

分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0.0),B(0,V5,0),则

方二(0,g,0),设AO=a.

则呜今沁，叫渭

n•CB=0,

设平面EBC的法向量为〃=(x,y,z),则

ri-CE=0,

(V3y=0,

即2V32令贝ljZ=-l,

-xH——y+-az=0,

匕3J3

/?=(6/,(),-1),

易知平面BCD的一个法向量为加=(0,0,1),

由题可知|COS<，M>|=|扁铜岛河，

二•el,即AO=\.

1x1,V3

VA-BCI

3261

故三棱锥A-BCD的体积为言.

6

5.(2020新高考/,20,12分，中)如图,四棱锥P-ABCO的底面为正方形/力底面A5CD设平

面PAD与平面PBC的交线为I.

⑴证明:/，平面PDC;

(2)已知PD=AD=\,Q为/上的点，求PB与平面QC。所成角的正弦值的最大值.

解析⑴证明:因为raj•底面A6CD,所以尸O_LAD又底面ABC。为正方形，所以AO_LOC.

因此A/)J_平面PQC.

因为AO〃8C/D仁平面P8C,所以4。〃平面PBC.

由已知得/〃AD

因此/_L平面PDC.(5分)

(2)以D为坐标原点,万彳的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Q-qz.则

D(0,0,0),C(0,1,0),5(1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),P5=(1,1<1).

精品试卷•第16页(共29页)

由（1）可设om,0/）,则丽二（”,0,1）.

设〃=（xj,z）是平面QCD的法向量,

•丝=0,即ax+z=0,

-DC=0,y=o.

可取n=（-l,0,a）.

所以cos<n^PB>=^r~2-

|n|-|PB|V3Vl+a2

设PB与平面QCD所成角为4则sinQ争震詈

V4+-1，（易错:余弦值转化为正弦值后应该是正数）.

3yjQ4+1

因为今J1+等不£当且仅当时等号成立，所以PB与平面QCO所成角的正弦值的最

大值为俘（12分）

三年模拟

练思维

1.（2024江苏南通二模,2）在正方体A6CQ-AI8CI。]中，下列关系正确的是（D）

\ADLB\CB.A\D±BD

C.ACI±AICD.ACI±CDI

2.（2024浙江温州二模,3）在正三棱台ABC-AiBiCi中，下列结论正确的是（D）

B.A4J•平面AB\C\

C.A\BLB\CDAAiLBC

3.（多选）（2024海南诊断,11）在正方体A8CD-A山QDi中点P满足/巨=前+而+诟，其中

%£[1,+oo）,则下列说法正确的是（ABD）

A.若A,B,O,Ai,P在同一球面上，则A=1

B.若〃平面4DP,则；=2

C.若点P到儿氏。工।四点的距离相等，则A=3

D.若4P_L平面P8。,则

4.（多选）（2024河北石家庄一模,10）如图,在圆柱OiO中，轴截面ABCD为正方形，点F是加

上一点,M为BD与轴01。的交点,E为MB的中点,N为A在。b上的射影，且E/〃平面

AMN,则下列选项正确的有（BCD）

A.CF//平面AMNB.AN1平面DBF

C.O8J_平面AMND.F是脑的中点

5.（2024福建厦门二模,15）如图,三棱柱ABC-AiBiCi中，侧面ABB\A\是边长为2的菱

形,NA3B=OC=2/,M为A闰中点,CM=VH.

⑴证明:平面A8C_L平面

（2）若BO2,求平面ABC与平面ABC\夹角的余弦值.

精品试卷•第18页（共29页）

解析⑴证明:连接在菱形ABB/i中,4A=4Bk2,NA4B尸/488尸今故4AA\B\

为正三角形，

又M为AiBi的中点，故4M_LA山I,且

又A8〃4B,故AM_LAB,

由CM二旧/。二2&/用二百得AM2+AC2=CM\

故AM1AC,

而ABC\AC=A,AB,AC(z^[SABC,故4MJ_平面ABC,

又AMu平面ABBiAi,故平面A8C_L平面AB81Al.

(2)由5C=A3=2402&得3c2+.2乂。2,故CB_LA仇

又平面A8C_L平面平面48Cn平面ABB\A\=AB,

CBu平面ABC,故C8_L平面

取BB\的中点。由△ABB1为正三角形，得40_LBBi,

作OH//BC沃CCi于H,故。斤_L平面ABBMi,

又B8,04u平面ABBiAi,故0H工OA,OH_LOBi,

则04,08,0”两两垂直，

以。为坐标原点,分别以QA,。8,。”所在直线为xj,z轴，建立空间直角坐标系，

则A(V3,0,0),B(0,-l,0),C(0,-l,2),Ci(0,l,2),M(T，j，0),则游二(V5,1,0),西二(0,2,2),

因为W平面A8C,所以而7=(-今I，0)是平面ABC的法向量，

设平面ABQ的法向量为〃=(xj,z),则卜.竺=

n•BC]=0,

叫或；/二;令尸祗则可得片（1,-祗何

故cosvA/>=『

'|n:|-能HM|V3x^7'

而平面ABC与平面ABC夹角的范围为

故平面ABC与平面ABG夹角的余弦值为三产.

6.（2024湘豫联考第三次模拟,17）如图，在直四棱柱ABCD-A\B\C\D\中,四边形ABCD为菱

形,NAOC=120。,点E,F分别为棱A昆CG上的点.

（1）若裾=2彳5,且平面DOE_L平面ABBIAI,求实数2的值；

⑵若F是CG的中点，平面AB\D\与平面BDF的夹角的余弦值为察，求券的值.

JLU/\D

解析⑴解法一:如图1,取AB的中点F,连接DE\

因为四边形ABC。是菱形，且/。相=180。-120。=60。，

所以△ABD是等边三角形，所以DE'LAB.

因为DDiJL平面ABCRABu平面ABC。,所以DDilAR

因为DECO。产。,O£u平面OOiE',OO]U平面DDiE：

所以A3_L平面DDE（3分）

因为A3u平面A331Al，所以平面平面ABBiAi,

所以E点和E'点重合，

所以诟号被即修;被即桔（6分）

解法二:如图2,在A\B\上取一点G,使AiG=AE,连接EG,OiG则平面OiQEn平面

A8%Ai二七G,且DDi〃EG.

因为。。1JL平面ABCRABu平面ABCD,所以DDilAB,

精品试卷•第20页（共29页）

所以EGJ_A5.(2分)

又平面。。石_L平面A884,平面OiOED平面A884=EG,A8u平面A8B4,所以48_1平

面D\DE.

又O£u平面。|。£所以ABLDE.(4分)

乂因为四边形ABCD是菱形，且/043=180。-120。=60。,

所以AAB。是等边三角形,

所以福河即号(6分)

(2)取AB的中点M连接OM建立如图3所示的空间直角坐标系Dqz贝I］。(0。0),

不妨设AB=2A4i=2〃,则A(V5,-1,0),5(75,1,2〃),£>i(0,0,24),8(75,1,0),尸(0,2,。),

所以丽二((),2,2〃),瓦瓦二(6,1,()),丽二(百,1,()),房

设平面AB\D\的法向量为〃=(xi

…%=0,即(2y1+2azi=0,

则

(V3%I+yi=0,

n,D1B1=0,

令XI=V5,则zi=')『-3,则〃=(V5,-31),(8分)

设平面8QF的法向量为片(X2J2,Z2),

m.翌=0,即

则+72=0,

m-DF=0,az2=0.

令X2=V5,则了2=-3/2=,则〃尸(国,一3,g),(11分)

设平面AB\D\与平面BDF的夹角为

|nm||>/3X>/3+(-3)X(-3)+^X^|

则cos3=-

1nHm|

卜2+》］12+翁

12a2+18

V12az+9xV12az+36,

令,____1_2a2+18,二/竺解得/=3或*23，

42a2+9XV12a2+3610，腑［守

所以4=75或6/=y.

所以答二乎=8或答二当(15分)

7.(2024浙江杭州二模,17)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边

形,NOAB=6(T,BC=2PQ=44B=4,M为BC的中点,PQ〃BC,POJLOC,QBJ_MO.

(1)证明:/48。=90。；

(2)若多面休ABCDPQ的休积为拼求平面PCD与平面QA8夹角的余弦值.

解析(1)证明:连接尸M

在^DCM中,由余弦定理得DM=®

所以DW+QCJCM,所以/M0090。,所以DMLDC.

又因为OC_LPOQMnP0=D，所以OC_L平面PDM.

所以DC.LPM.

显然,四边形PQBM为平行四边形，所以PM//QB.

乂AB〃OC，所以

所以NAB890。.(6分)

(2)因为QB_LMQ,PM〃。也所以PM_LMQ,又PMJ_QC,MZ)nOC=O,MD,OCu平面ABCD,

所以PA/_L平面A8CD

取AO中点£连接PE,设PM=h.

设多面体ABCDPQ的体积为V,

贝ijV=VZ：^ABQ-EMP+V四段惟?8上”二3弘-刊力/+丫四核镣P-CDEM=3VP-AEM+V四核修P-COEM=SA四边

O

形CDEMh=S&XAMAAEMh=^\

4EM〃+：O2S4E/»=O|SCt

解得PM=h=3®（9分）

建立如图所示的空间直角坐标系，则C(V3,-l,0),D(V3,0,0)/(0。,38),所以

CD-（O,I,0）,丽-（V5,o,-3V5）,

精品试卷•第22页(共29页)

、

z♦

B

易知平面QAB的一个法向量为n=（1,0,0）.

m•CD=。,

设平面PCD的法向量为〃户（工,），,）则,

0•PD=0,

叫法）3岳=0取片3。』）.

设平面PCD与平面QAB的夹角为仇

所以平面PCD与平面Q48夹角的余弦值为（15分）

8.（2024湖南岳阳二模,15）如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形，侧棱尸D_L底面

ABCD,PD=DC=2AD=2,E是尸C的中点，作EFA.PB交PB于点F.

⑴求证:PB_L平面DEF;

（2）求二面角8-DE-尸的正弦值.

解析（1）证明:因为PO_L底面A8C0,8Cu平面A3CO,所以PDLBC,

因为四边形ABCD是矩形，所以CD上BC,

又因为PD、CQu平面PCD,PDCCD二D,

所以BC_L平面PCD,又OEu平面PCD,所以BC上DE,

又因为M=DC=2,E是PC的中点，所以DE1PC,

又PC,BC是平面PBC内的两条相交直线，

所以OE_L平面PBC,

又P8u平面P8C,所以DELPB,

又EFLPB^DECiEF=匕所以尸B_L平面DEE

(2)以D为原点，以DA.DC.DP所在直线分别为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),B(l,2,0),E(0,l』),P(0,0,2),则屁=(0,1,1),丽=(1,2,0),

由(1)知尸8，平面QER所以而=(1,2,・2)为平面。石尸的一个法向量,

设平面BDE的法向量为，k(xj,z),

n-DE

则由=0,

n•DB=0

得建屋'。,取01』)，

则3＜炉＞=璃急笔

设二面角B-DE-F的平面集的大小为仇

则sin叙J1-cos?vn,而＞=J1-(一半)二手，

所以二面角片。石孑的正弦值为摩

9.(2024重庆顶级名校3月联考』7)如图,四边形ABCD为矩形,△ACOgZXACE,且二面角

C-A8-E为直二面角.

(1)求证:平面ACE_L平面BCE;

(2)设厂是BE的中点,AE=1,BEU二面角E-AC-F的平面角的大小为。，当2£[2,3]吐求cos

。的取值范围.

解析(1)证明:因为二面角C-AB-E为直二面角，

所以平面ABCJ_平面A8E,

又AB1AC,平面A8CCI平面48/三平面ABC,

则8C_L平面ABE,

精品试卷•第24页(共29页)

又AEu平面ABE,所以BCLAE,

又四边形ABCD为矩形,△ACD^AACE,

则NA£C=NAOC=90。,即AELCE,

又BCnCE=C,8C,CEu平面8CE,所以AE_L平面BCE,

乂AEu平面ACE,所以平面4CE_L平面BCE.

⑵由⑴知4七_1_平面BCE,又BEu平面ACE,故AEJ_BE.以E为坐标原点为8,以所在直线

分别为轴，过点E且与平面ABE垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图，

贝ij£(0,0,0),A(0,1,0)乃(九0,0),。(九0,1)/Q,0,0),则

E4=(0,1,0),EC=(A,0,1),FX=(-\,l,0),FC=g,0,1),

m-EA=0,

设平面EAC的法向量为加二（乂k1）,则

m•EC=0,

即以U=o则团=（一"力

设平面FAC的法向量为“包别,1）,则卜•竺="

-1+丫1=。，/7\

{”1+1=0,J）

由图可知二面角E-AC-F为锐二面角，

从而有cosgcos<m,〃>|=|氤屋（/荔小）咚J1+/，

而问2,北则品£片屈Jl+六金店，周，所以8sg陪同

10.（2024安徽安庆二模,17）如图，将边长为2的菱形A8OC沿其对如线折叠,使得点A、

D分别位于边长为2的等边△尸8C所在平面的两侧，且以二后,PD=V5.设£是雨的中点.

⑴证明:平面P8C_L平面ABC;

⑵求平面EBD与平面ABC夹角的正弦值.

解析⑴证明:取8C的中点0,连接04、OP、。。,如图所示.

因为四边形ABDC是边长为2的菱形。PBC是边长为2的等边三角形，所以△ABC是边

长为2的等边三角形，

在等边△PBC中，。是8。的中点，则OPLBC且0P二相,

又因为以二通，所以以2二。芯+。尸2,所以OPJ_OA,

因为OAnBC=。,且OA,BCu平面ABC,

所以。2，平面48。.

又因为。尸u平面尸8C,所以平面08CJ_平面ABC.

(2)由(1)知,0PJ_8C,0P_L0A.

因为O是等边△ABC的8c边中点，所以Q4_L8C

所以以O为原点，分别以OA,OB,OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系,如图所

示，则示75,0,0)4(0』,0),C(0,-1,0),P(0,0,V3),E(^,0,外所以而二g.T，4)，

连接OD,因为△O5C是边长为2的等边三角形，故。。=OP二百二尸。,所以NPOD=6()。,且

OD1BC,

又因为OPJ_8C,O£)nOP=O,OO,OPu平面OOP,所以8C_L平面OOP,则D在平面xOz内,

可得0(-|,0,?),则而=(-|,-1,日)，

易知平面ABC的一个法向量为m二((),()」)，

设平面EBD的法向量为〃=(xj,z),

精品试卷•第26页(共29页)

fn-FF=-x—y+—z=0,

则一2之

In-BD=——x—y-\—z=0,

'22

令z=2,则x=0,)=V5,即n=(0,V3,2),

所以cos<m,n>_mn_2_2\7

一|m||n「五-7'

设平面EBD与平面ABC的夹角为0,

则sin1—cos2<m,n

故平面EBD与平面ABC的夹角的正弦值为手.

练风向

1.（创新知识交汇）（多选）（2024贵州贵阳适应性测试（一）,11）在三棱锥P-ABC中,PC_L平面

ABC/C=4B=3,平面ABC内动点D的轨迹是集合M={O||D4|二2|O3|}.己知C,D£M且Di

在棱4B所在直线上/二1,2,则（ABC）

A.动点。的轨迹是圆

B.平面PCZ）i_L平面PCD?

C.三棱锥P-A8C体积的最大值为3

D.三棱锥P-DD2c外接球的半径不是定值

2.（创新知识交汇）（2024福建高三毕业班适应性测试』8）在△ABC

41,Z/4BC=90°4B=6,ZACB的平分线交AB于点DAO=2OB.平面a过直线A8,且与△ABC

所在的平面垂直.

⑴求直线CO与平面a所成角的大小.

（2）设点后£夕,且/七。。=30；记E的轨迹为曲线E

⑴判断r是什么曲线,并说明理由；

（ii）不与直线AB重合的直线/过点。且交〃于P,Q两点，试问:在平面a内是否存在定点

工使得无论/绕点。如何转动，总有NPTYXNQTC?若存在，指出点7的位置;若不存在，说明

理由.

解析⑴因为平面A8CL平面a,平面ABC平面a=>4B,BCu平面ABC,BC_LAB,

所以8CJ_平面a（1分）

所以直线CD与平面a所成角为NCDB