函数的图象与性质-高考二轮数学专项复习

专题一函数与导数

微专题1函数的图象与性质

[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、

函数图象的识别与应用以及函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用，难度属于中等及以

上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题

相结合命题.

考点一函数的概念与表示

1.复合函数的定义域

⑴若.仆）的定义域为M〃],则在以四））中，由〃Wg（x）W〃解得X的范围即为的定义域.

⑵若德（刈）的定义域为M〃],则由加WW〃得到g（x）的范围，即为/*）的定义域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.

例1（1）（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（）

A.已知函数/（x）的定义域为（1,+8）,则困数/（#=/（2・3）+忤q的定义域为（2,3]

B.函数的定义域4GR,值域8={4},则满足条件的有2个

C.若函数./（Igx尸X,则/（；）=何

D.函数的值域为{y|yK1}

答案ACD

解析对于A,由题可知，{£二3或1，={:H=2〈xW3,故函数》（的的定义域为（2,3],故A正确；

对于B,令人x）=xM,可得-±2,故定义域/可以为{-2},{2},{-2,2},共3个，即满足条件的危）有3

个，故B错误；

对于C,令电色，得所以故C正确；

对□T于HDrx,尸x寸+l—3=|1宣3，

因为40,所以讨I,

所以值域为{贝以1},故D正确.

(2)［隹谷猜想］“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谭证明.“角谷运算”指的

是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2,如果它是奇数，我们就把它乘以3

再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一

串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为I.我们记一个正整数〃(中1)经过J(〃)次角

谷运算后首次得到1(若〃经过有限次角谷运算均无法得到1,则记J(〃)=+oo),以下说法有误的是()

AJ(〃)可看作一个定义域和值域均为N*的函数

BJ(〃)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值

C.对任意正整数〃(存1),都有

DJ(2")=〃是真命题，J(2〃-1)<J(2"+1)是假命题

答案A

解析依题意，人〃)的定义域是大于1的正整数集，A错误；

由J(4)=2,45)=5,J(8)=3,得在其定义域上不单调，而人2尸1,则J(〃)有最小值1,由〃经

过有限次角谷运算均无法得到1,记./(〃)=~，得./(〃)无最大值.R正确；

对任意正整数〃(〃#】)，J(2n)=J(n)+i,而1(2)=1,因此J(〃)J(2)=J(〃)=J(2〃)-1,C正确；

对任意正整数凡2〃每次除以2,最后得到1的次数为处因此J(2〃)=〃，

由J(22・1)=J(3)=7,J(22+1)=J(5)=5,知J(2〃-1)WJ(2〃+1)是假命题，D正确.

［规律方法］(1)形如人g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.

l,x>0,

跟踪演练1(1)(2024•临沂模拟)已知函数sgn(x)=0,%=0,则“sgn(Cl)+sgn(»H)=0"是跟>1”的

-1,x<0,

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必耍条件

答案B

(tx>0f

解析因为sgn(x)={0,%=0,

(—1,xV0,

当sgn(e'-l)+sgn(-"l)=0时，取则e'-l<0,-x+l>0,

此时sgn(e'-l)+sgn(-x+1)=-1+1=0,则x>1不成立，即充分性不成立；

当x>I时，eM>0,1<0,所以sgn(er-l)+sgn(-x+1)=1-1=0,即必要性成立,

所以usgn(er-1)+sgn(-x+1)=0n是“x>l”的必要不充分条件.

(2)已知eO,且存1,函数外尸｛%<，;+1)，%2°，若/(/(-1))=2，则〃=,小)<4的解集

为.

答案V2(-8,闿

解析由题可知，欢-1))=/(〃尸108(2/+1)=2,

则a2=2a'2+1,即(74-<72-2=0,

解得层=2,故方企(舍负).

当时，/x)=log我(2?+l)W4,

解得04W半;

当X〈O时，/(x)=(或》W4恒成立.

故不等式的解集为(-8,升

考点二函数的图象

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对

称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.

考向1函数图象的识别

例2(2024•全国甲卷)函数/(x尸・/+c.e7)sinx在区间［28,2.8］上的大致图象为()

IZOIx\Z\/x

CD

答案B

解析,A-^)=-^2+(e'r-e')sin(-x)

=-x2+(cr-c'x)sinx=f(x),

又函数;(x)的定义域为［28,2.8］,

故该函数为偶函数，可排除A,C,

又｛D=-l+(e-;)sinl>-l+(e-^)sin^f1呆去。，

故可排除D.

考向2函数图象的变换及应用

(2x,x<1,

例3⑴(2024•长沙统考)已知函数/(x尸晟:>1,则/(2・x)的图象是()

答案C

解析设g(x)=/(2-x),贝!Jg⑴=/(1)=2,从而排除ABD.

(2)(2024・渭南模拟)已知府)*，暧°'若存在实数xi.

X2，X3，X4，X5HX1<X2<X3<X4<X5，使得

5

/Xl)=f(X2)=/(X3)^/(X4)=/(X5),贝lj£%，3)的取值范围为()

1=1

A.(—oo，-目o]

C.(-8,4]D.卜/，4)

答案D

解析作出外尸信，[?F2,的图象如图，

1户危)

上£

X\O\x2x；4X,x^x

由题，。+丫3=1,丫4+丫5=3ri<0,

5

所以E%if®)=(Xl+X2+X3+X4+X5)Hxi)=(xi+4)次阳)=(X|+4)e3

i=1

令g(x)=(x+4)e'(x<0),

则当x<-4时,g(x)<0；

当-4vx〈0时，g(x)>0.

g<x)=a+5)e;当xV-5时，g(x)<0,g(x)在(-0,-5)上单调递减;

当-5<x<0时，gQ)>0,g(x)在(-5,0)上单调递增.

所以g(X)min=g(-5)=艰，且g(X)<g(0)=4,

5

所以EMG)的取值范围为卜小4).

i=1

［规律方法］(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义城、奇偶性、单调性等，特别是利用

一些特殊点排除不符合要求的图象.

(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想.借助于函数图象的特点和变化规律.求解有关不等式恒成立、

最值、交点、方程的根等问题.

跟踪演练2(1)(2024•马鞍山模拟)已知函数y=/(x)的大致图象如图所示，则月⑴的解析式可能为()

A於)若

B：/M篇

cjq尸喘1

-X

D：/U)=

(x2+l)ln(|x|+2)

答案D

解析对于选项A,因为/⑴春0,与图象不符，故A错误；对于选项B,因为/⑴毛>0,与图象不符,

故B错误；对于选项C,因为/U)号>0,与图象不符，故C错误.

(2)(2024・南充模拟)已知函数«0=篝/则函数的图象()

A.关于点(1,1)对称

B.关于点(-1,1)对称

C.关于点(-1,0)对称

D.关于点(1,0)对称

答案A

解析因为4v)寸箸，所以/(㈤常簿=次刈，又Hx)的定义域为R,所以人的的图象关于原点对称，函数

月U-D+1的图象可由/*)的图象，先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，所以函数

y=/(x-l)+l的图象关于点(1,1)对称.

考点三函数的性质

1.函数的奇偶性

(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有

人外是偶函数o/(・x)=/(x)=/(bl)；

作)是奇函数号/6尸九).

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数x奇函数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数的周期性

若函数儿丫)满足人什〃)="-〃)或."+2〃)=儿明则函数月⑴的周期为21al.

4.函数图象的对称中心和对称轴

(1)若函数满足关系式K?+xH/(4-x)=2b,则函数月(x)的图象关于点(a,b)对称.

⑵若函数.危)满足关系式Kz+x)=/(3-x),则函数产危)的图象关于直线产竽对称.

考向|单调性与奇偶性

/I\—0.8/\-0.8\

例4已知定义在R上的函数/(x)=e、e-，设。=2。7/(2。，)，，尸0)，c=-logo.71.25/(logo7O.8),

则a,b,。的大小关系是()

A..b>a>cB.c>a>b

C.b>c>aD.c>b>a

答案A

解析令尸(x)=0(x)a£R),因为

F(-x)=-x(er-ev)=x(ev-e'r)=F(x),

所以尸(x)为偶函数.

E'(x)=(eJe-t)+x(e，+e-i),

vv

因为当xN0时，e-e-2e^e^O,iC+e”)20,此时F(x)20z

所以中)在[0,+00)上单调递增.

7707

因为<7=2°-/(2°-)=F(2-),

啕飞广)^n，

c=-logo.71.25y(logo.70.8)=logo,71.25I/(logo.70.8)=logo.70.87(logo.70.8]=/?(logo.70.8),

因为(3一“=2°心2°7>1,

0<log),70.8<logo.70.7=l,

所以(3°8>2°7>log07().8>0,

所以《O°}E(2°7)冲(logo.70.8),即b>a>c.

考向2奇偶性与周期性、对称性

例5(多选)(2024•三门峡模拟)己知函数/(x)及其导函数/(x),且g(x)=/Q),若Vx£R,/U)=/(6・x),

g(4+x)=g(4-x),则()

A;/(-2)=/(8)

B.g(-1)+鼠3)=2

2025

C.£g(i)=0

i=1

DJ(0)M4)=2

答案AC

解析因为yu)=/(6-x),所以yw的图象关于直线尸3对称.

令--2,得火-2)=/(8),故A项正确；

因为义x)=/(6-x),所以-/V)=/(6-x),即虱r尸-g(6-x),

所以出4+x尸吆(2-x),因为g(4+x)招(4-x),所以g(4-x)=吆(2.),

即以x+2)=w(x),所以ex+4)=Rx+2)=e(x),则双x)的一个周期为4.

因为危)的图象关于直线尸3对称，所以尸3是府)的一个极值点，

所以飘3)=A3)=0,所以趴-1)=鼠3)=0,

则以")+鼠3尸0,故B项错误；

由g(x+2)=吆(x),得鼠1)+鼠3尸0,虱2)+由4)=0,

即以1)+以2)+田3)+鼠4)=0,以1户0.

2025

所以Eg(i)=506[g⑴+g(2)+g⑶+g(4)]+g⑴=以1)=0,故C项正确；

t=1

设〃(x)=/(x)+c(c为常数),定义域为R,

则〃k)=fa)=g(x),力(3+x)=/(3+x)+c,h(3-x)=f(3-x)+c,

又A3+x)=y(3-x),所以〃(3+x)=A(3-x),显然/?(x)=/(x)+c也满足题设,

即7(x)上、下平移均满足题设，显然/(0)+/(4)的值不确定，故D项错误.

[二级结论]⑴若/但切尸如乂或/口+。)=看，其中f(x)HO),则於)的周期为2同.

⑵若.仆)的图象关于直线x=a和x=b对称，则,/(x)的周期为2\a-b\.

(3)若危)的图象关于点(%0)和直线―〃对称，则/(x)的周期为4|无外

跟踪演练3(1)已知函数ZU)是定义在R上的偶函数，对任意为，X2£[0,+8),且不力2,有

曲与3>0,若/(1)=0，则不等式(x-iy(x)>0的解集是()

A,(-l.1)U(1,+oo)

1)

C.(-oo,-1)U(1,+8)

D.(-oc,-1)U(O,1)

答案A

解析已知/⑴是定义在R上的偶函数,

则於MM

又对任意见,X2[0,+8),且对再2,

所以函数/")在［0,+oo)上单调递增，

则函数外)在(Q,0)上单调递减，

又川)=0,所以尺1)=/(1)=0,

根据函数A)的单调性可知,(X-1施)>0等价为或流)1；(?

n(X>L十/<1,

即B卜>1slcx<-l^t-l<x<1,

解得3或-11

即不等式的解集为(-1,1)U(1,+8).

(2)(多选)(2024・开封模拟)已知函数仆)的定义域为R,且火田7)+/(工-力=/(.叨5,/⑴=1,贝女)

A./{0)=2

B:/(3-x)=A3+x)

CJU)是周期函数

D./(x)的解析式可能为/(x)=2sin\

t>

答案ABC

解析由於+歹)+危利=/汝)，/(1)=1,

令I,尸0,有川用(1)。1次0),可得人0)=2,故A正确;

令-0,则Ay)+/B0yo)")=2"),则

又小)的定义域为R,故函数/)是偶函数，而危)=2sin%为奇函数，故D错误；

川)=1,令尸1,

则加+l)Mx・l)=/(x»(l)=/(x),

所以心+1)寸)代1),

则次1月(丫・1)次“2),

/+1)=[/('-1)加-2)上/-1)=如-2),

所以")=：/(x-3)=/(x-6),则火x)的周期为6,故C正确；

由于.肛)为偶函数且周期为6,故./(3-4)=/(六3)=/(3也)，故B正确.

专题强化练

(分值：83分)

ID素养提升

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.函数/U)弋器的定义域为()

A.[3,+co)B.(-oo,-1)U[3,+oo)

C.(-l,3]D.(・l,0)U(0,3]

答案D

—x2+2%+3>0,

解析要使函数有意义，则ln(x+1)H0「

x+1>0,

解得-l〈xW3且#0.

2.(2024・泰安模拟)已知函数4x)是定义在R上的奇函数，当x20时，./U)=-X5-3X+〃-1,则人-0的值为()

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析由题意得，函数/(X)为奇函数，且定义域为R,由奇函数的性质得，/(0尸/1=0,解得。=1,经过检

验符合题意，所以当工20时，/(x)=・xS-3x,所以/(-〃)=：/(〃)=；/(1)=-(-1-3)=4.

3.(2024•攀枝花模拟)函数/(x户(x+Jcosx的部分图象大致是()

答案D

解析小尸1+3cosX的定义域为3/0},

y(-x)=(-x-9cos(-x)=-(x+：)cosx=-J{x),

所以7W为奇函数，故A错误;

当x>0,且x趋近0时，炉勺>0,cos.t>0,

所以段)>0,故C错误；

当XF时，/(兀户(n+-OS兀=-(Tt+}(),故B错误.

4.(2024・新课标全国I)已知函数小尸仁1"2ax；。，入£°，在R上单调递增，则a的取值范围是()

le।IJL)/xnu

A.(・8,0]0]

C.[-l,1]D.[0,+oo)

答案B

解析因为/U)在R上单调递增，

且x20时，/(x)=e*+ln(x+1)单调递增,

——乌一>0,

则需满足2x(-1)一

-a<e°4-ini,

解得-1WaWO,

即a的取值范围是[-1,0].

5.(2024•榆林模拟)已知定义在R上的函数/(x)满足凡什2)=去，当x42,4)时，/(x)=l+log*则火99)等于

八

()

A.lB.2

C.-1D.-2

答案B

解析因为.危+2尸去,

所以/+4尸益r^=/w,

7«

所以贾X)是以4为周期的周期函数,

所以贯99)=/(3+96)=/(3尸l+log33=2.

6.(2024•长春模拟)已知函数/3=|3'-3可，则不等式/(2x-l)：/(x)>0的解集为()

A.(-8,5)U(1，+8)B.(-8,石)

C.Q,1)D.(l,+00)

答案A

解析./U)=|3'-3"|,定义域为R,

又/(-外=|3"，=(0故段)为偶函数;

又当心0时，X3',尸-3。均单调递增，

故g㈤=3'-3”在(0,+8)上单调递增；

又g(0)=0,故当x>0时，g(x)>0,则/(x)=g(x)在(0,y)上单调递增，故当x<0时，.仆)单调递减，

;(2x-l)V(x)>0,BP./(2x-l)>/(x),

则|2x-l冲I，

即(2x-l)2"2,3X2-4X+1>0,

8P(3x-l)(x-l)>0,

解得了《一8,§U(1,+8).

7.(2024•保定模拟)若函数y=危)-1是定义在R上的奇函数，则/(-1)+/(0)+/⑴等于()

A.3B.2

C.-2D.-3

答案A

解析设如曰办1,则F(x)+F(㈤=0,即/(力1乜到1=0,

即加”(・x)=2,所以川)4-1)=2.

因为F(0)=/(0)-l=0,所以人0户1,

所以人⑼"(1尸2+1=工

8.(2024•济南模拟)已知函数外)的定义域为R,旦)今)必>，)=近.可)，则下列结论一定成立的是()

A川尸1

B：/(x)为偶函数

C/(x)有最小值

D/(x)在[0,1]上单调递增

答案C

解析由于函数/(X)的定义域为R,且)於)■欢P)F(号)，

令尸1,则/(刈必1)=式*1),得.")=/+[/⑴・1.，

当时，/(1尸12+叩)_]]恒成立，无法确定用尸1,A不一定成立;

由于/(1)=1不一定成立，故/(x)=、2+[/(1)・1]x不一定为偶函数，B不一定成立；

由于©=x2+[/u)-1卜的对称轴为X=g[AD-1]与[0,1]的位置关系不确定，

故/⑴在[0,1]上不一定单调递增，D不一定成立；

由于义x)=f+卜表示开口向上的抛物线，故函数./U)必有最小值，C一定成立.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.关于函数/(X尸怛(臼-1),下列说法正确的有()

A麻)的定义域为(・1,1)

BKr)的图象关于y轴对称

C/(x)的图象关于原点对称

D：/(x)在(0,1)上单调递增

答案ACD

解析因为/(X)=lg(£-l)=lg吉，贝!1m>。，解得-1〈XV1,

所以7U)的定义域为(・1,1),故A正确；

因为7(-幻=怆芸=｛丫)，即./U)为奇函数，

所以加)的图象关于原点对称，故B错误，c正确；

因为尸占1在(0,1)上单调递增，尸Igx在(0.+00)上单调递增，

所以危)=他(匕-1)在(0,1)上单调递增，故D正确.

10.已知定义在R上的函数/(X)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①VxER,/(㈤=J(x)：②VR,由£

[0,+»),当不分2时，‘3)")<0,则下列选项成立的是()

x2-xl

A：A0)=0

B:/(-D<：/(3)

C.若求x)V0,贝Ux£(0,+oo)

D.若儿〃则〃?£(-oo,1)

答案AB

解析由Vx£R,/(㈤=*)得，函数/⑴是R上的奇函数,

由Vri,也£[0,+8),当4的2时,

/m)<0得,/⑴在g+8)上单调递减，

X2-X1

又儿丫)是连续函数，故可得小)在R上单调递减.

对于A,A-x)=-Ax),令x=0,得｛0)=0,故A正确；

对于B,由小)在R上单调递减，可得4-1)勺(-3),即代1)〈次3),故B正确；

对于C,对欢x)<0,当x>0时，/于0；当％<0时，人¥)>0,

由")在R上单调递减，且40)=0可知，

xJ(x)<0的解集为｛x|x，O｝,故C错误；

对于D,火吁1)<0,即加〃-1)40),则〃*>0,解得心1,故D错误.

11.(2024・赣州模拟)函数段)及其导函数趴x)的定义域均为R,加+1)和g(Z.l)都是奇函数，贝]()

A.g(xj的图象关于直线x=-\对称

B/G)的图象关于点(1,0)对称

C.g(x)是周期函数

2024

D.£g(i)=2024

i=1

答案BC

解析对于A,因为g(2x-l)是奇函数，所以g(-2x-l尸-g(2x-1),

则有g(・x・l尸吆(x-1),g(x)的图象关于点(・1,。以寸称，故A错误；

对于3,兀什1)是奇函数，其图象关于原点对称，

火x+l)的图象向右平移1个单位长度后可得於)的图象，所以/⑴的图象关于点(1,0)对称，故B正确；

对于C,因为｛x+1)是奇函数，所以尸小/1),

所以f(・x+1)=：/'(x+1),所以八・x+1)=f(x+1),

所以g(・x+l)=鼠x+1),所以g(・x+2)=g(x),①

因为氯-x-1尸-g(x-1),所以g(x)=-g(-x-2),②

由①②可得，g(-x+2尸喏(-x-2),所以g(x尸・g(x-4),

所以g(x+4)=0x),g(x+8)=-g(x+4)=g(x),

所以8是函数g(x)的T周期，所以g(x)是周期函数，故C正确；

对于D,因为g(x+4尸吆(x),所以对1尸05),

以2户遭(6),g(3)=-g(7),g(4户・以8),

所以飘1)+g(2)+g(3)+g(4)+g⑸+g(6)+g(7)+g⑻=0,

2024

而£9。)=253•1)+趴2)+以3)+用4)+以5)+以6)+用7)+以8)]=0,故D错误.

i=1

三、填空题(每小题5分，共15分〕

12.(2024•齐齐哈尔模拟)若/(')=；：sinx为偶函数，则a=.

答案1

解析由於)-;二sinX,

得/GM弋gsinQx),

因为jU)为偶函数，所以

l-ae*./、l-aev.

即anx,

所以U青霁,解得"5

\[\x+2"%>0

{2二八’若x£[・l,1],则/(X)的值域为:若/⑶在(a，4+1)上单调

递增，则实数。的取值范围是.

答案(@,2](-00,-1]U[O,+00)

解析当x£[-l,0]时，於)口1,2],当x£(0,1]时，危)€(-8,2],

故当工£[-1,1]时，")的值域为(-町2],

因为与)在(g,0],。+8)上分另J单调递增，

若危)在(。,。+1)上单调递增，则心。或a+IWO,即aW-1或40.

14.(2024・三明模拟)已知函数小尸片-3"+/・3/+3工，则/(x+l)t/(l-x)=，若实数x,y满足

/(3^)+/(2j^-4)=2,则x+y的最大值为.

答案2V5

解析/(•计1)=er-ex+(x+1)3-3(x+1)2+3(x+1)=er-e'r+x3+1,

/(-x+1)=e-r-eA+(-v+1)3-3(-%+1)2+3(-x+1)=e'r-er-x3+1,

则加4)M"H)=2,

又因为-4)=2,

所以3小+2产-4=2,即3/+