《应用光学》-第4章

第4章平面镜棱镜系统4.9棱镜做有限转动时，像空间位置和方向的计算4.10棱镜做微量转动时，像空间位置和方向的计算4.11共轴球面系统和平面镜棱镜系统的组合4.12棱镜的偏差上一页返回4.1平面镜棱镜系统在光学仪器中的应用利用透镜可以组成各种共轴球面系统，以满足不同的成像要求，例如望远镜和显微镜等，但是，共轴球面系统的特点是所有透镜表面的球心必须排列在同一条直线上，这往往不能满足很多实际的需要。例如用正光焦度的物镜和目镜组成的简单望远镜所成的像是倒的，观察起来就很不方便，为了获得正像，必须加入一个倒像透镜组，这种系统如图4-1（a）所示。这样组成的仪器，其体积、重量都比较大，不能满足军用观察望远镜的要求。这种系统就是原始的军用观察望远镜的光学系统，它早已被淘汰了。目前使用的军用观察望远镜，由于在系统中使用了棱镜，如图4-1（b）所示，所以它不需要加入倒像透镜组即可获得正像，同时又可大大地缩小仪器的体积和重量。下一页返回4.1平面镜棱镜系统在光学仪器中的应用

此外，在很多仪器中，根据实际使用的要求，往往需要改变共轴系统光轴的位置和方向。例如在迫击炮瞄准镜中，为了观察方便，需要使光轴倾斜一定的角度，如图4-2所示；或者观察者用不着改变自己的位置和方向，只需利用棱镜或平面镜的旋转，就可以观察到四周的情况，如图4-3中的周视瞄准镜那样。以上这些要求都可用平面镜和棱镜来完成。总的来说，平面镜棱镜系统的主要作用有：（１）将共轴系统折叠，以缩小仪器的体积和减轻仪器的重量；（２）改变像的方向———起倒像作用；上一页下一页返回4.1平面镜棱镜系统在光学仪器中的应用

（３）改变共轴系统中光轴的位置和方向，即形成潜望高或使光轴转一定的角度；（４）利用平面镜或棱镜的旋转，可连续改变系统光轴的方向，以扩大观察范围。以上这些要求单靠透镜组是无法完成的，必须加入平面镜和棱镜。目前使用的绝大多数光学仪器，都是共轴球面系统和平面镜棱镜系统的组合。共轴球面系统的成像性质在前面已经讨论过了，这一章就来研究平面镜棱镜系统的成像性质。上一页返回4.2平面镜的成像性质为了研究平面镜棱镜系统的成像性质，首先从研究单个平面镜开始。图4-4中P是一个和图面垂直的平面镜，A是一任意物点，由A点发出的AO光线，经平面镜反射后，其反射光线OB的延长线和平面镜P的垂直线AD的延长线相交于一点A′。根据反射定律，反射角等于入射角由图4-4可以看到同时OD垂直于AA′，因此△AOD△A′OD，由此得到下一页返回4.2平面镜的成像性质

以上关系与O点的位置无关。由A点发出的任意光线经过平面镜Ｐ反射以后，其所有的反射光线的延长线都通过同一点A′。因此，任意一物点A经平面镜反射后都能形成一个完善的像点A′，A′和A的位置对平面镜对称。图4-4中A为实物点，A′为虚像点；反之如A为虚物点，则A′为实像点，如图4-5所示。由此得出结论：平面镜能使整个空间任意物点理想成像。下面进一步讨论平面镜成像时物和像之间的空间形状对应关系。假如在平面镜P的物空间取一右手坐标xyz，根据物点和像点对平面镜对称的关系，很容易确定它的像x′y′z′，如图4-6所示。上一页下一页返回4.2平面镜的成像性质

由图4-6可以看到，x′y′z′是一左手坐标，和xyz大小相等，但形状不同，物空间的右手坐标在像空间变成了左手坐标；反之，物空间的左手坐标在像空间则成为右手坐标。另外，由图4-6还可以看到，如果我们分别对着z和z′轴看xy和x′y′坐标面，若x按逆时针方向转到y，则x′按顺时针方向转到y′，即物平面若按逆时针方向转动，像平面就按顺时针方向转动；反之，若物平面按顺时针方向转动，则像平面就按逆时针方向转动。上述结论对于yz和zx坐标面来说同样适用。物像空间的这种形状对应关系称为“镜像”。上一页下一页返回4.2平面镜的成像性质

如果第一个平面镜所成的像再通过第二个平面镜成像，则左手坐标又变成了右手坐标，和原来的物体完全相同。因此，如果物体经过奇数个平面镜成像，则为“镜像”；如果经过偶数个平面镜成像，则和物体完全相同。所以，如果要求物和像相似，则必须采用偶数个平面镜。综上所述，单个平面镜成像具有以下性质：（１）平面镜能使整个空间理想成像，物点和像点对平面镜对称；（２）物和像大小相等，但形状不同，物空间的右手坐标在像空间为左手坐标；如果分别对着入射和出射光线的方向观察物平面和像平面，当物平面按逆时针方向转动时，像平面则按顺时针方向转动，形成“镜像”。上一页返回4.3平面镜的旋转及其应用

很多军用光学仪器中的平面镜和棱镜，在工作过程中是需要转动的，例如图4-3中周视瞄准镜的端部棱镜和中间的道威棱镜。这一节就来研究平面镜转动的性质。由图4-7可以看到，光线经平面镜反射时，入射和出射光线间的夹角等于入射角I的两倍，光线经过反射后旋转了（π－2I）的角度。当平面镜绕着和入射面垂直的轴线转动α角时，入射角改变了α，而反射光线和入射光线之间的夹角将改变２α。由此得出结论：当平面镜绕垂直于入射面的轴转动α角时，反射光线将转动２α，转动方向和平面镜的转动方向相同。上面提到的周视瞄准镜就是利用端部直角棱镜的转动来改变瞄准线方向的。如果要求仪器的瞄准线在高低方向转动α，则棱镜只需要转动α／2就够了。下一页返回4.3平面镜的旋转及其应用

下面进一步讨论两个平面镜的情形。图4-8中P1、P2为两个平面镜，假设两者间的夹角为θ，入射光线AO1经两个平面镜反射后，沿着O2B的方向射出，延长AO1和O2B相交于一点Ｍ，设入射和出射光线间的夹角为β，由△O1O2M，根据外角等于不相邻的两个内角之和的关系两平面镜的法线相交于一点N，由△O1O2N得将以上关系代入上面β的公式，得到上一页下一页返回4.3平面镜的旋转及其应用

以上关系和I角的大小无关。由此得出结论如下：位于两平面镜公共垂直面内的光线，不论它的入射方向如何，出射光线的转角永远等于两平面镜间夹角的2倍，至于它的旋转方向，则与反射面按反射次序由P1转动到P2的方向相同。根据以上结论很容易推知：当两平面镜一起转动时，出射光线的方向不变，但光线位置可能产生平行位移。如果两平面镜相对转动α，则出射光线方向改变２α。上一页下一页返回4.3平面镜的旋转及其应用

上述性质在光学仪器中经常得到应用。例如在测距仪中，要求入射光线经过两端的平面镜反射以后改变90°，并且要求该角度始终保持稳定不变。如果使用单个平面镜来完成，即使在仪器出厂时平面镜的位置已安装得很准确，但是在使用中由于受到振动或结构的变形，平面镜的位置仍可能有小量的变动。当反射镜的位置变化了α时，出射光线就将改变２α，为了克服这种缺点，通常采用两个平面镜，使它们之间的夹角等于光线转角的一半。上一页下一页返回4.3平面镜的旋转及其应用

只要这两个反射面之间的夹角维持不变，即使位置改变，也不会影响出射光线的方向。最简单可靠的方法是把两个反射面做在同一块玻璃上，如图4-9所示。如果我们要求光线的转角为90°，只要在制造中严格保证二反射面的夹角为45°，则无论棱镜的位置如何，入射和出射光线之间的夹角永远等于90°。上一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

在上节中曾经提到，为了使两反射面间的夹角保持不变，常把两个反射面做在同一块玻璃上以代替一般的平面镜。这类光学零件就叫作“棱镜”。上述这种棱镜称作“五角棱镜”。当光线在棱镜反射面上的入射角大于临界角I0时，将发生全反射，这时反射面上不需要镀反光膜（显然，如果成像光束中有些光线的入射角小于临界角I0

，则棱镜的这些反射面上仍然需要镀反光膜），并且几乎完全没有光能损失。而一般的镀反光膜的反射面，每次反射有百分之十左右的光能损失；同时，直接和空气接触的反光膜，长期使用可能变质或脱落，在安装过程中也容易受到损伤。下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

另外，在一些复杂的平面镜系统中，如果全部使用单个平面镜，安装和固定十分困难，因此在很多光学仪器中都采用棱镜代替平面镜。下面研究棱镜和平面镜在成像性质方面有哪些区别，以及对棱镜的要求。现以最简单的直角棱镜为例，图4-10所示为直角棱镜的外形图，它是一个三角柱体，和各个棱垂直的截面称为棱镜的“主截面”。位于主截面内的光线通过棱镜时，显然仍在同一平面内。首先研究主截面内光线的成像情况。直角棱镜的主截面是一个等腰直角三角形，如图4-11中△ABC所示。光束在AB面上折射以后进入棱镜，然后经BC面反射，再经过AC面折射以后射出棱镜，使光轴方向改变了90°。上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

光束在棱镜玻璃内部的平面反射和一般平面镜的成像性质是完全相同的。一个棱镜和相应的平面镜系统的区别只是增加了两次折射，因此在讨论棱镜的成像性质时，只需要讨论棱镜的折射性质就可以了。如果沿着反射面BC将棱镜展开，如图4-11中虚线所示，则由反射定律很容易证明：虚线O2O3′恰好就是入射光线O1O2的延长线，它在A′C面上的折射情况，显然和反射光线O2O3在AC面上的折射情况完全相同。这样就可以用光束通过ABA′C玻璃板的折射来代替棱镜的折射，而不再考虑棱镜的反射，因而使研究大为简化。这种把棱镜的主截面沿着它的反射面展开，取消棱镜的反射，上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

以平行玻璃板的折射代替棱镜折射的方法称为“棱镜的展开”。根据以上的讨论可知，用棱镜代替平面镜相当于在系统中多加了一块玻璃板。上面已经讲过，平面反射不影响系统的成像性质，而平面折射和共轴球面系统中一般的球面折射相同，将改变系统的成像性质。为了使棱镜和共轴球面系统组合以后，仍能保持共轴球面系统的特性，必须对棱镜的结构提出一定的要求。（１）棱镜展开后玻璃板的两个表面必须平行。如果棱镜展开后玻璃板的两个表面不平行，则相当于在共轴系统中加入了一个不存在对称轴线的光楔，从而破坏了系统的共轴性，使整个系统不再保持共轴球面系统的特性。上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

（２）如果棱镜位于汇聚光束中，则光轴必须和棱镜的入射及出射表面相垂直。在平行玻璃板位于平行光束中的情形，无论玻璃板位置如何，出射光束显然仍为平行光束，并且和入射光束的方向相同，对位于它后面的共轴球面系统的成像性质没有任何影响。所以在平行光束中工作的棱镜只需要满足第一个条件即可。如果玻璃板位于汇聚光束中，例如位于望远镜物镜后面的棱镜那样，玻璃板的两个平面相当于半径为无限大的球面，为了保证共轴球面系统的对称性，必须使平面垂直于光轴，亦即要求光轴与入射及出射表面相垂直。下面就根据这些要求来分析几种典型的棱镜。上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

4.4.1直角棱镜前面已经说过，这种棱镜的作用是使光轴改变90°。当棱镜在平行光束中工作时，只需要满足第一个条件———棱镜展开后入射和出射表面平行即可。由图4-11可知，如果要求AB面和A′C面平行，则必须有∠ABC=∠A′CB。因此要求棱镜的结构满足也就是说，要求△ABC是一个等腰三角形，但不一定要求∠B和∠C等于45°，所以∠A不一定要求是直角。它的作用还能使光轴改变任意的角度，但此时玻璃板不垂直于光轴放置，如图4-12所示。可以用它的转动来任意地改变光轴的方向。上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

如果棱镜在汇聚光束中工作，则除了满足第一个条件外，还需要满足第二个条件———光轴必须和棱镜的入射及出射表面相垂直。欲使光轴改变90°，∠B和∠C必须等于45°，∠A等于90°。如果要求光轴改变任意角度α，则∠B和∠C必须等于90°-（α／２），如图4-13所示，这种棱镜称为等腰棱镜。4.4.2五角棱镜五角棱镜的外形和主截面图形表示在图4-14（a）和图4-14（b）中，这种棱镜的用途在前面§4-3中已经谈到，是为保证光轴转角恒等于90°，两反射面BC和DE之间的夹角为45°。由于光线在两反射面上的入射角都小于临界角I0，所以在这两个反射面上都必须镀以反射膜。它的展开图如图4-14（c）所示。上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

为了保证两表面AB和A″E″平行，必须使此两表面同时垂直于入射及出射光轴。根据前面双平面镜反射的性质，当两反射面间的夹角为α时，光线的转角为２α。因此，入射表面AB和出射表面AE间的夹角也应等于２α，即当要求光轴转角为90°时，α=45°，∠A=90°，∠B=∠E=（360-３α）/２=180-３α／２=112.5°。假如AB=AE=D，则由图4-14（c）不难看出，展开后的平行玻璃板厚度Ｌ应如下式所示上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

改变两反射面之间的夹角α，同时相应地改变∠A，可使光轴的转角大于或小于90°。4.4.3靴形棱镜靴形棱镜的主截面如图4-15（a）所示，它同样是利用两个夹角成45°的反射面使光轴改变90°的。但是光线经DC反射后，又以30°的入射角投射在第一个反射面BC上。因此，棱镜ABCD展开以后，两个表面并不平行，而成30°的夹角不符合棱镜的第一个要求，如图4-15（b）所示。为了满足棱镜的第一个要求，在BC面上再加一个30°角的棱镜EFG。它和棱镜ABCD组合以后，仍然相当于一块平行玻璃板，但是二者之间必须留有一层空气隙，上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

以便使光线在BC面上能发生全反射。补偿棱镜EFG和棱镜ABCD必须采用同一种光学材料。由于光线在DC面上的入射角小于临界角I0，故DC面上必须镀反光膜。由图4-15（b）可以看到，加上补偿棱镜以后，对应的平行玻璃板厚度为上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

4.4.4立方棱镜当直角棱镜应用于出射光轴与入射光轴夹角较小的情形时，同样尺寸的棱镜和出射光轴与入射光轴成90°的情形比较，能够通过的光束口径大大减小，如图4-16（a）所示。当出射光轴与入射光轴平行时，能够通过的光束口径最小。下面来求这种情况下棱镜的口径a和光束口径D之间的关系。如图4-16（a）所示，光束的入射角Ｉ=45°，假如棱镜玻璃的折射率为n，则折射角Ｉ′为上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

同时得到cosI′为由图4-16（a）可以看出，光束口径D为将sinＩ′、cosＩ′代入EB，并将EB代入D，得到上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

如果棱镜采用K9玻璃，n=1.5163，代入上式，得到而当直角棱镜使光线改变90°时，光束口径D=a。因此，对光轴方向不变和光轴转90°这两种不同的情形，同样尺寸的棱镜，前者的通光口径只有后者的三分之一。为了增加通光口径，或者说，为了在一定的通光口径下减小棱镜的外形尺寸，可以把两个同样的直角棱镜沿着斜面胶合在一起。当然在两个反射面上都必须镀反光膜，因为如果不镀反光膜，胶合后光线就不能发生反射。这样组成的棱镜称为立方棱镜，如图4-16（b）所示。在通光口径相同的条件下，体积比单个直角棱镜减小一半。上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

立方棱镜除了能缩小棱镜的外形尺寸以外，利用它的摆动能使光轴在±110°的范围内改变方向。而使用直角棱镜转动时，不可能达到这样大的范围。由图4-16（b）可以看到，光束分别通过两个棱镜进入系统，换句话说，棱镜把一束光分为两束光。因此，两个棱镜的反射面必须严格保持平行，否则两束光的出射方向不再平行，在系统中将形成双像。立方棱镜的另一个特点是，如果入射的是圆形光束，则出射光束截面将变为反向的两个半圆，如图4-16（b）所示。这很容易由图中的光路来说明。上一页下一页返回4.4棱镜和棱镜的展开

因此，如果在棱镜后面用一个和入射光束口径相同的圆形光学零件来接受光束，则有效的通光面积将大大减小。所以，立方棱镜不能在圆形光束中工作，在它的前面不能安置圆形光阑。另外，由于棱镜的入射表面和光轴不垂直，所以只能使用在平行光路中。上一页返回4.5屋脊面和屋脊棱镜

在平面镜棱镜系统成像过程中，当光轴转角和棱镜主截面内像的方向都符合要求时，反射面的总数可能为奇数，只能成镜像。为了获得和物相似的像，可以用两个互相垂直的反射面代替其中的某一个反射面。这种两个互相垂直的反射面叫屋脊面，带有屋脊面的棱镜叫屋脊棱镜。屋脊面的作用就是在不改变光轴方向和主截面内成像方向的条件下，增加一次反射，使系统总的反射次数由奇数变成偶数，从而达到物像相似的要求。现以直角棱镜为例加以说明。下一页返回4.5屋脊面和屋脊棱镜图4-17（a）所示为一个直角棱镜，图4-17（b）所示为一个直角屋脊棱镜，它用两个互相垂直的反射面A2B2C2D2和B2C2

E2F2代替了直角棱镜的反射面A1B1C1D1。为了说明屋脊棱镜和一般直角棱镜成像性质的差别，在图4-18中单独绘出了直角棱镜的反射面A1B1C1D1与直角屋脊棱镜的两个屋脊面A2B2C2D2和B2C2E2F2。假设物空间为一右手坐标xyz，经过平面A1B1C1D1反射后，相应的像的方向为一个左手坐标x′1y′1z′1，如图4-18（a）所示。经过两个屋脊面反射以后，像的方向如图4-18（b）所示。我们可以认为光轴Ox正好投射在B2C2棱上。因此反射后光轴的方向O2x′2应和O1x′１相同。由y点发出平行于光轴的光线yOy同样可以看作是在屋脊棱B2C2

上进行反射，因而反射光线Oyy′２的位置与方向也和Oyy′1相同，所以y′2和y′1的方向相同。上一页下一页返回4.5屋脊面和屋脊棱镜至于z′２的方向则与z′1相反，由z点发出和光轴平行的光线，首先投射在A2B2C2D2反射面上，经反射后又投射在B2C2E2F2反射面上，再经过一次反射才平行于光轴出射。这样z′２的方向就和一个反射面时对应的z′1的方向相反。由此得出结论：用两个屋脊面代替一个反射面后，光轴的方向和棱镜主截面内像的方向保持不变，在垂直于主截面的方向上像将发生颠倒。要求两屋脊面间的夹角必须严格等于90°，否则将形成双像。因为屋脊面将一束光线分为两部分，一部分先经A2B2C2D2反射后再经B2C2E2F2反射；另一部分则先经B2C2E2F2反射后再经A2B2C2D2反射。当两屋脊面垂直时，上一页下一页返回4.5屋脊面和屋脊棱镜同一方向入射的光线，无论先投射到哪一个屋脊面上，光线经两屋脊面反射后都改变方向180°，平行入射的两部分光线仍平行出射，如图4-19（a）所示。当两屋脊面间的夹角不等于90°时，则光线方向的改变不等于180°，这时平行入射的两部分光线不再平行出射，因而形成双像，如图4-19（b）所示。屋脊棱镜的展开可以沿着屋脊棱按一般的方法进行，因为我们可以把光轴看作是在屋脊棱镜上反射，所以它的光路和用反射面代替屋脊棱镜的一般棱镜光路相同。图4-20所示为直角屋脊棱镜的投影图和展开图。在同样的通光口径下，屋脊棱镜的尺寸要比一般棱镜大，直角棱镜L=D，而直角屋脊棱镜L=1.732D。上一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算如图4-21（a）所示，射到A点的光线经平行平板折射后，出射光线交于A′点，A′为Ａ通过平板的像。由于平面可视为半径无限大的球面，故可以对平行平板的入射面和出射面两次应用球面的共轭点方程式，则有下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

将l2式代入，得到式中，L为玻璃板的厚度，n为玻璃的折射率，l1为物平面对第一面的物距，l′２为像平面对第二面的像距。利用上述公式可以直接由物平面位置求出通过平行玻璃板以后的像平面位置。上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

由于光线通过平行玻璃时入射和出射光线永远平行，所以物空间与像空间的汇聚角ｕ和ｕ′相等，同时物、像空间的折射率也相等。根据放大率公式所以平行玻璃板只是使像平面的位置发生移动，而并不影响系统的光学特性。由上面得到的公式l′2=l1－（L/n）可以看到，物平面经过厚度为L、折射率为n的平行玻璃板后，由平行玻璃板的第二个表面到像平面的距离和通过厚度为L/n的空气层后由空气层的第二个表面到像平面的距离相等，如图4-21所示。光线在平行玻璃板表面的投射高也和在空气层表面的投射高相同。上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

我们把L／n叫作厚度为L、折射率为n的平行玻璃板的“相当空气层厚度”，用e表示利用相当空气层的概念，进行像平面位置和棱镜外形尺寸计算十分方便。下面结合具体实例进行说明。例如一个薄透镜组，焦距为100，通光口径为20。利用它使无限远物体成像，像的直径为10。在距离透镜组50处加入一个五角棱镜，使光轴折转90°，求棱镜的尺寸和通过棱镜后的像面位置。上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

由于物体位在无限远，像平面位于像方焦面上。根据给出的条件，全部成像光束位于一个高为100、上底与下底分别为10和20的梯形截面的锥体内，如图4-22（a）所示。棱镜第一个表面的通光直径为由“光学仪器设计手册”可查得90°－2的五角棱镜展开以后的平行玻璃板厚度为上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

假如玻璃的折射率n=1.5163，根据公式（4-2），平行玻璃板的相当空气层厚度为因此，通过棱镜后像平面离开棱镜出射表面的距离为棱镜出射表面的通光口径为上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

图4-22（b）所示为根据以上计算结果作出的实际光学系统图。由上面的例子可以看出，把玻璃板换算成相当空气层来进行棱镜的外形尺寸计算相当方便。但是，相当空气层厚度的公式（4-2）是根据近轴光学公式推导出来的，当光束在棱镜表面的入射角较大时，就要产生误差。例如光轴在0°－1立方棱镜表面的入射角为45°，以及对另外一些转角较大的转动棱镜，光束的入射角也可能出现较大的数值。在这些情况下，上面的公式（4-2）就不能应用，必须导出新的公式。上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

如图4-23所示，假定入射光线P1A在棱镜入射面上的入射角为－I，折射角为－I′，光线在出射面上的投射点为P2。通过P2作光轴的平行线和入射光线P1A交于一点K，通过K点作光轴的垂直线和光轴交于一点N，O1N即为相当空气层的厚度。为了和前面的相当空气层厚度相区别，用E表示。由图4-23得到由△P1O1A和△KNA得上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

将O1A、NA代入公式得式中，ｎ为棱镜玻璃的折射率。由上式看到，这里的相当空气层厚度E和前面公式（４－２）中的e相比，区别是增加了一项cosＩ／cosＩ′，令k=cosＩ／cosＩ′，则上式变为上一页下一页返回4.6平行平板的成像性质和棱镜的外形尺寸计算

一般棱镜的材料都用K9玻璃，n=1.5163。为了使用方便，我们把不同入射角I对应的k值列入表4-1中。由表4-1可以看到，当入射角Ｉ小于20°时应用前面的公式（4-2）误差不大。当Ｉ大于２０°时，才需要考虑修正系数k，表中没有列入的I角所对应的k值可以按表进行插值。上一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

面镜棱镜系统的作用是改变光轴和像的方向。光轴方向的改变可以直接按反射定律确定。这一节专门研究确定平面镜棱镜系统成像方向的方法。为了表示物和像的方向关系，在物空间取一直角坐标xyz，如图4-25所示。其中x轴与入射光轴重合，y轴位于棱镜主截面内，z轴垂直于主截面；ｘ′ｙ′ｚ′表示xyz坐标通过平面镜棱镜系统后像的方向，但并不表示其位置。显然，ｘ′轴与出射光轴重合，因此我们只需确定ｙ′轴和ｚ′轴的方向。下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

确定ｙ′和ｚ′方向有两种方法：（１）反弹折转法，即设想有一支笔，一头是尖，一头是尾，将笔垂直光轴放置，并使之与ｙ′轴或ｚ′轴重合，用笔尖代表ｙ′或ｚ′的方向，将笔沿光轴x移动，先碰到反射面的尖或尾反弹到反射后和光轴垂直的位置，这时笔尖代表的方向就是经过这一反射面后ｙ′或ｚ′的方向。这种方法简单易行，但不显示规律。（２）利用法则的方法。先通过实例总结出一系列法则，然后利用这些法则去判断ｙ′和ｚ′的方向，这种方法需要记住法则，但它特别有利于根据光轴方向的要求———是否倒像和是否要有潜望高等要求———设计安排棱镜的合理组合。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

4.7.1具有单一主截面的平面镜棱镜系统所谓具有单一主截面的平面镜棱镜系统，即系统中所有平面镜和棱镜的主截面都彼此重合。在没有屋脊面的情形，垂直于主截面的ｚ轴方向和所有反射平面平行。根据平面镜成像的性质，物和像对平面镜对称，因此，不论经过任意次平面镜反射成像，像空间ｚ′轴和物空间ｚ轴方向总是一致的。如果系统中有一屋脊面，则根据屋脊面的成像性质，ｚ′和ｚ应反向。根据上述这种简单的关系，很容易确定单一主截面的平面镜棱镜系统中和主截面垂直的ｚ′轴的方向。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

下面再来看位于主截面内的ｙ轴和ｙ′轴的方向。假设系统中没有屋脊面，由于ｚ′和ｚ永远同向，如果系统的总反射次数为偶数，则物和像相似。因此，当光轴ｘ′和ｘ同向时，ｙ′和ｙ也应该同向，如图4-25（a）所示；反之，当光轴ｘ′和ｘ反向时，ｙ′和ｙ必然反向，如图4-25（b）所示。如果系统的总反射次数为奇数，则成“镜像”。当光轴ｘ′和ｘ同向时，ｙ′和ｙ必然反向，如图4-26（a）所示；反之，ｘ′和ｘ反向时，ｙ′和ｙ同向，如图4-26（b）所示。因此，我们得出判断单一主截面的平面镜棱镜系统中，主截面内成像方向的规则如下。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

光轴同向：光轴反射次数为偶数，ｙ′和ｙ同向；光轴反射次数为奇数，ｙ′和ｙ反向。光轴反向：光轴反射次数为偶数，ｙ′和ｙ反向；光轴反射次数为奇数，ｙ′和ｙ同向。这里需要说明一下，上面说到的光轴，“同向”或“反向”是广义的。“同向”不仅仅指入射光轴和出射光轴平行，凡是光轴偏转角小于90°都认为是同向的；大于90°都认为是反向的；正好偏转90°时可以认为是同向的，也可以认为是反向的，都能得到相同的结果。上述规则是根据系统中没有屋脊面的假设得出的。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

如果系统中有屋脊面，根据屋脊面的成像性质，它不影响主截面内像的方向。因此，对有屋脊面的系统，以上规则同样可以应用。只要把光轴看作是在屋脊棱上反射，在计算光轴反射次数时只计算一次，而计算系统的总反射次数时屋脊面计算两次。另外，在光轴方向ｘ和ｘ′已经确定的条件下，ｙ′轴和ｚ′轴的方向实际上只要确定了其中的任意一个，另一个就可以根据系统的总反射次数，利用物像空间的坐标关系来确定。一般首先确定ｚ′比较方便，因为ｚ′只要根据系统中有无屋脊面，即可确定它与ｚ反向或同向，然后再根据总反射次数来决定ｙ′。当然也可以用前面的规则来决定ｙ′，二者所得结果实际上是完全相同的，但后者显然比较麻烦一些。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

在物像空间的坐标对应关系决定以后，像空间任意向量所对应的像也就容易决定了。可以将物向量向物空间坐标的三个坐标轴投影，找出它们在像空间各自对应坐标轴上的分量，合成以后即为它的像向量。下面举例说明上述规则的应用。例如图４－２７（ａ）中的棱镜系统，由于系统中没有屋脊面，ｚ′和ｚ同向；光轴同向，反射７次，所以ｙ′和ｙ反向；由于总反射次数为奇数，所以系统成“镜像”。如果要求保持ｘ′和ｙ′方向不变，ｚ′和ｚ反向，从而使整个系统物像相似，则可以把系统中任意一个反射面改为屋脊面，如图４－２７（ｂ）所示。如果用前面的规则来确定它的成像方向，则所得的结果完全一样———系统有一对屋脊面，所以ｚ′和ｚ反向；光轴同向，反射７次，ｙ′和ｙ反向；总反射次数为８次，因此物像相似。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

4.7.2具有两个互相垂直的主截面的平面镜棱镜系统图4-28中的棱镜系统由三个棱镜构成，棱镜1和棱镜3的主截面平行，棱镜2的主截面则与之垂直。棱镜只能改变主截面内的物像方向，而不能改变垂直于主截面的物像方向。例如图4-28中，棱镜2只能改变ｚ′的方向，而不能改变ｙ′的方向；棱镜1、3只能改变ｙ′的方向，而不能改变ｚ′的方向。所以在确定ｚ′的方向时可以只考虑棱镜2，而确定ｙ′的方向时只考虑棱镜1和3。对棱镜2或对棱镜1和3来说，都属于单一主截面的棱镜系统，故仍可使用前面的规则。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

不过在确定光轴是否同向时，不能再简单地按最后出射光轴的方向来决定，而应按棱镜1和3的实际光轴转角来确定。在上面的例子中，棱镜1使光轴顺时针转90°，棱镜3也使光轴顺时针转90°，二者共使光轴转了180°，因此，根据棱镜1和3来判别ｙ′的方向时，应该认为是光轴反向。根据前面的规则，光轴反向，反射两次，ｙ′和ｙ反向。确定ｚ′的成像方向，根据棱镜2知道光轴反向，反射两次，所以ｚ′和ｚ应反向。实际上只要确定了ｙ′或ｚ′中的任意一个，即可根据总反射次数，确定物、像空间的对应坐标系，从而决定另一个。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

4.7.3主截面位置任意的平面镜棱镜系统可以把此类系统看作是由上述两类系统中的棱镜主截面旋转而形成的，这将在下一节进行讨论。对于具有两个或三个互相垂直的主截面的平面镜棱镜系统，或者平面镜棱镜个数很多的复杂系统，为了确定系统的成像方向，可以把整个系统划分成若干部分，依次确定经过每一部分以后的坐标方向，最后找到整个系统的成像方向。应用上面判断主截面内成像方向的规则，不仅可以判断已知平面镜棱镜系统的成像方向，还可作为设计平面镜棱镜系统时选用棱镜的依据。下面结合具体的实例来进行说明。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

假如要求设计一个由两个棱镜构成的平面镜棱镜系统，光轴有300ｍｍ的潜望高，如图4-29所示。同时要求系统光轴位于同一平面内，物和像相似并反向。我们根据这些要求来选用棱镜。（１）根据图4-29

中光轴位置的要求，可采用两个使光轴改变90°的棱镜，构成一个具有单一主截面的棱镜系统。在《光学仪器设计手册》中可以找到能使光轴改变90°的棱镜共有90°－１和90°－２两类，其中90°－１的棱镜有一种，90°－２的棱镜有两种。上一页下一页返回4.7确定平面镜棱镜系统成像方向的方法

（２）由于要求出射和入射光轴同向，且物和像反向，所以主截面内光轴的反射次数应为奇数。因此只能采用一个90°－１的棱镜和一个90°－２的棱镜组合，而不能采用两个90°－１或两个90°－２的棱镜。这样的组合有两种，如图4-30所示。（３）由于以上这些系统的总反射次数为奇数，只能成“镜像”，所以还必须将其中的某一个反射面改为屋脊面，这样可以形成四种不同的系统，如图4-31所示。至于究竟采用哪一种，可以根据不同的情况，由系统的外形尺寸和结构安排而定。上一页返回4.8棱镜转动定理

在某些光学仪器中，为了扩大仪器的观察范围，常常利用旋转平面镜和棱镜的方法来改变仪器的光轴方向。例如图4-32中的棱镜系统，为了扩大垂直方向的观察范围，把顶部的棱镜，绕着过O1点垂直于主截面的轴转动，就可以使入射光轴在垂直面内改变方向；为了扩大仪器的水平观察范围，可以把棱镜绕垂直轴O1O2转动。另外在仪器的装配调整过程中，往往需要利用棱镜的转动来调整系统的光轴方向或成像方向的偏差，也就是通常所说的“光轴偏”或“像倾斜”。因此有必要进一步研究棱镜转动对像空间方向和位置的影响。这一节就来推导棱镜转动时，像空间方向和位置变化的普遍定理———棱镜转动定理。下一页返回4.8棱镜转动定理我们这里讨论棱镜转动的问题，也就是讨论在物空间不动的条件下，当棱镜绕任意轴转动时，像空间位置和方向的变化。当棱镜在平行光路中工作时（对应成像物体在无限远），只需要考虑像的方向；如果在非平行光路中工作（对应位在有限距离的虚物或实物），则既要考虑像的方向，又要考虑像的位置。假设Ｐ为表示棱镜转动方向和位置的单位向量，Ｐ′为Ｐ在像空间的共轭像，由于平面反射成像时，物像大小相等，所以它也是一个单位向量。θ为棱镜的转角，它的符号规则是：当对着转轴向量观察时，逆时针为正，顺时针为负。ｎ为棱镜的总反射次数。棱镜转动定理可表述如下：上一页下一页返回4.8棱镜转动定理假设物空间不动，棱镜绕Ｐ转θ，则像空间首先绕Ｐ′转（－１）ｎ－１θ，然后绕Ｐ转θ。这里把像空间的转动情况，用先后绕Ｐ′和Ｐ的两次转动来表示。需要特别说明的是，因为有限转动不符合加法交换律，因此这两次转动的顺序不能颠倒。为了用简明直观的形式来表示上述定理，以便于实际应用，我们引入一个代表有限转动的特定符号［θＰ］。括号内θ代表转角，它的符号规则如前所述；单位向量Ｐ代表转轴的位置和方向。在前面的转动定理中，把像空间的转动表示成为两个不同的有限转动。我们知道，有限转动是不能用向量来表示的，因为它不符合向量加法的平行四边形法则和交换律①。上一页下一页返回4.8棱镜转动定理所以［θＰ］只是一个表示有限转动的符号，而不能看作是一个向量。我们之所以要在θＰ的外面再加上一个方括号，成为［θＰ］的形式，就是为了和一般向量有所区别。这样，棱镜转动定理可以用上述符号表示如下：式中，符号［Ａ′］只是作为像空间转动状态的一个代号，没有别的含义。由于［θＰ］和［（－１）ｎ－１θＰ′］都不是向量，因此决不能按向量运算规则对符号表示式（４－４）进行向量运算。根据符号的定义，以下两种关系显然成立：上一页下一页返回4.8棱镜转动定理第一个等式说明，先绕Ｐ转θ1后，再绕Ｐ转θ２，就等于绕Ｐ转（θ１＋θ２），这显然是成立的；第二个等式则说明，绕（－Ｐ）转θ就等于绕Ｐ转－θ，根据θ的符号规则，当然也是成立的。下面对上述定理进行证明。我们把物空间不动，棱镜绕Ｐ转θ这样一个运动设想分成两步来实现。第一步：首先假设棱镜不动，让物空间绕Ｐ转－θ，根据平面镜系统的成像性质，如果反射次数ｎ为奇数，系统成镜像，像空间将绕Ｐ′转θ；如果ｎ为偶数，物像相似，像空间绕Ｐ′转－θ；总的说来，相当于像空间转（－１）ｎ－１θ。第二步：把物空间和棱镜一起绕Ｐ转θ，像空间显然也绕Ｐ转θ。这样最后总的结果就是：物空间回到了原始位置，棱镜绕Ｐ转θ，像空间首先绕Ｐ′转（－１）ｎ－１θ，然后绕Ｐ转θ。上一页下一页返回4.8棱镜转动定理为了清楚起见，把上述过程用以下形式表示：以上结果和定理完全一致。这里着重说明一点，上述结论只涉及棱镜的总反射次数，并没有涉及棱镜的具体形式，因此它对任意的平面镜棱镜系统都是成立的。另外在上面的证明过程中，表面上似乎对转角θ没有什么限制，但实际上对θ是有限制的。上一页下一页返回4.8棱镜转动定理首先，如果转角过大，光线无法进入平面镜棱镜系统，则根本无法成像；其次对棱镜系统来说，除去反射平面外，还相当于在共轴系统中加入了一块平行玻璃板，当棱镜在非平行光路中转动，并且转轴和入射光轴又不平行时，棱镜转动以后，入射光轴就不再垂直棱镜的入射面，这就破坏了系统的共轴性。如果转角很大，光轴与入射面法线之