2025-2026学年广州越秀区八年级上学期期末数学试题及答案

广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

D.I

2.三角形的三边长为2,5,a,则。的取值可能是（）.

A.2B.3C.6D.7

3.如图，有一池塘，要测池塘两端48间的距离，可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直

接到达点力和8,连接AC并延长至。，使CD=S,连接并延长至使CE=C8,连接ED.若量出OE=25

米，则48间的距离为（）米.

A.25B.22.5C.12.5D.20

4.如图，已知两个三角形全等，则41的度数是（）

A.52°B.48°C.42°D.80°

5.如图，在△48C中，A8的垂直平分线分别交力&BC于点、D,E,连接AE.若4E=5,EC=3,则BC

的长为（）

6.下列运算正确的是（）.

52

A.(a?)?=aB.(ab+l)(ab-l)=ab-l

C.a(5b-l)=5ab-lD.(6ab+3b)-i-b=6a+3

7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分

角,这个三等分角仪由两根有槽的棒04。8组成，两根棒在。点相连并可绕0转动，C点固定，

0C=CD=DE,点、D,E可在槽中滑动，若NCDE=80。，则NBDE的度数是（）.

A.60°B.65°C.75°D.80°

8.物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为%,/?2,并联电路的

总电阻为R,三者之间的关系%=卷+高，则用%,R2表示R,结果正确的是（）.

D./?=/?1+/?2

9.如图，点G为△A8C的重心，AB=3,AC=4,Z,BAC=90°,则△8GC的面积为（）.

B.2.5C.1.5

10.密码学中常用因式分解生.成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按

从大到小的顺序排列就可以形成密码.例如多项式/y-9y.将其分解因式为y（x-3）Q+3）,若取％=22,

y=26,则有y=26,x-3=19,x+3=25,其中26,19,25分别为因式码，将这三个因式码从大到小

的顺序排列就形成密码262519.已知多项式4-16非，当〃，力分别取正整数时，用上述方法生成密码，

若密码的后两个因式码为8,4,则该多项式生成的密码为（）.

A.4184B.4084C.4284D.4384

二、填空题

11.薄振膜能让耳机音质更清晰，耳机中的微型动圈振膜可薄至0.000015米，数字0.000015用科学记数法

可表示为.

12.若分式富有意义，则x的取值范围是.

13.若点P（a，-3）与点Q（2,b）关于x轴对称，则。+6=.

初中

14.若等腰三角形有两条边长分别为2和5,则该等腰三角形的周长为.

15.如图，0C为乙40B的角平分线，点尸为0C上一点，点。，E分别为射线。4。8上的点，且

Z.PEO=120°,若PD=PE,则/P。。的度数为.

16.如图，将两个正方形力和8按下列方式摆放，图1的阴影面积为〃7,图2的阴影面积为〃，则图3的

阴影面积为.(用含有机和〃的式子表示)

三、解答题

17.计算：x(3x+1)-(3X3)4-X

18.如图，AB=AC,DB=DC,求证：LBAD=Z.CAD.

初中

19,设A一(2?i+l)2-(2n-l)2.

(1)当几=1时，求/的值;

(2)当〃为整数时，求证：力是8的倍数.

r八•几A("1、a?—2。+1

2(),设力=(1-3+1^・

⑴化简小

(2)若a=(1)+1,求力的值.

21.如图，已知线段a,h.

ah

I_________________II____________________I

(1)求作等腰△4BC,使得底边力B=a,边上的高G?=/i；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

⑵在(1)的条件下，若々18C=70。，求ZACD的度数.

初中

22.如图，为等边三角形，点。为边BC中点，点E为线段4D上一动点(点E与点A,。不重合)，且△CEF

为等边三角形，连接B匕DF.

(1)求乙。40的度数；

(2)求证：Z.CBF=30°；

(3)当FD+”取最小值时，求〃7)尸的度数.

23.水果批发市场的水果批发价恪每天随市场供需变化而波动.第一次商家甲用600元买某和水果，商家

乙用900元买同一种水果，结果乙买到的重量比甲多30千克.

(1)求该水果第一次的批发价格；

(2)若第二次水果价格发生变化，每千克批发价比第一次降低了2元.商家甲仍购买与第一次相同重量的这

种水果，商家乙仍花费与第一次相同的金额购买这种水果.分别求甲、乙两次购买这种水果的平均单价；

(3)在水果批发市场中，有人习惯每次进固定重量的货，有人习惯每次花固定金额进货.从长期来看，哪种

进货方式史合算？请运用所学的数学知识说明理由.

初中

24.如图，中，CA=CB=4,44cB=90。，点。，E分另4为边SC,43上动点(点。与点3,C不重

合)，且4力DC=〃D£,过点8作BC边的垂线交DE的延长线于点F.

(1)设zC4O=a,求证：Z.EDB=2a；

(2)若ABE广为等腰三角形，求NC/1。的度数；

(3)设ABOF的周长为7\点。在运动的过程中，7的值是否会发生变化？如果不变，求T的值；如果变化,

求T的取值范围.

25.如图1,Z-ACB=90°,AC=BC,ADICE,BEICE,垂足分别为D,E,连接BD.

(1)求证：乙ACD=^CBE；

(2)若CE=3,BE=5,求△CBD的面积;

(3)如图2,延长4E交BC于点F,点G为直线4c左侧一点，且CG=AE^ACG=4”,连接4G.求证：4G=BD.

初中

《广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCAABDCBAB

1.D

【分析】本题考查了轴对称图形的定义，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这

个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断.

【详解】解：A选项：沿任何一条直线折管，直线两旁的部分都不能完全重合，.•.这个图形不是轴对称图

形，故A选项不符合题意；

B选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，，这个图形不是轴对称图形，故B选项

不符合题意；

C选项：沿任何-条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，・•.这个图形不是轴对称图形，故C选项

不符合题意；

D选项：如下图所示，沿虚线所在的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，，这个图形是轴对称图形，

故D选项符合题意.

故选：D.

2.C

【分析】本题考查三角形三边关系定理，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，推导

。的取值范围即可.

【详解】解；三角形的三边长为2,5,a,

•••需满足：5-2<Q<5+2

的取值范围为3<a<7,

故选：C.

3.A

【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用SAS证明则可得到48=DE=25米.

【详解】解：在△48C和△OEC中，

AC=DC

/.ACB=乙DCE

BC=EC

:.AABC三△DEC(SAS),

初中

•••AB=DE=25米,

.X,8间的距离为25米，

故选:A.

4.A

【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案.

【详解】左侧图形中边a所对应的角的度数=180。一80。-48。=52。

因为左右两个三角形全等，

所以，左侧图形中边。所对应的角的度数=右侧图形中边a所对应的角的度数(即41).

所以，Z1=52°.

故选：A

5.B

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握这一性质是关键；由此性质得8E=4E=5,再由

BC=BE+EC即可求解.

【详解】解：•••DE是线段的垂更平分线，

=AE=5,

:.BC=BE+EC=5+3=8,

故选:B.

6.D

【分析】本题考查整式的运算，包括幕的乘方、乘法公式、分配律和除法运算，根据运算法则逐一判断即

可.

【详解】解：(。2)3=。6弘5,...A选项运算错误；

•••(ab+l)(ab-l)=(ab)2-l2=a2/j2-l#ab2-l,B选项运算错误；

a(5匕—l)=a•5b+a•(-l)=5ab—ar5ab-l,.'C选项运算错误；

•••(6ab+3b)+b#+*6a+3,.'D选项运算正确.

故选：D.

7.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰一:角形的性质及三角形内

角和定理可得NOCE=ZQEC=50。，=再利用三角形外角性质求出乙。即可求解，熟练掌握知

识点是解题的关键.

【详解】解：♦.(2)=DE,4CDE=80°,

初中

1800-80°

:.乙DCE=乙DEC==50%

2

-：OC=CD,

•••/。=Z.CDO,

vzO4-Z.CDO=乙DCE,

・・・22。=50°,

：/0=25。，

：ZBDE=NO+DEC=25°+50c=75°,

故选：C.

8.B

【分析】本题考查了分式的加法运算，先对右式进行通分，再进行加法运算，然后根据倒数的定义即可求

解，掌握分式的加法运算法则是解题的关键.

【详解】解：［=;+高,

11,1%,&&+&

RIRRRR—

,•R~R2~X2X2R1R2'

故选：B.

9.A

【分析】本题考查了三角形的重心，延长BG交相于点。，可得£。是"的中线，BG=2GD,又由己知可得

S&ABC=^AB-AC=6,即得到S=CD=JSAXBC=3,进而由%BGC=匏ABCD即可求解，掌握三角形重心的

44J

性质是解题的关键.

【详解】解：如图，延长BG交AC于•点0,

•・•点G为△川。的重心，

•••80是4c的中线，BG=2GD,

-AB=3,AC=4,Z,BAC=90°,

：,S〉ABC=\AB-AC=1X3X4=6,

・•・80是4C的中线，

:"SdBCD=5sZiABC=3,

初中

-BG=2GD,

:s>BGC~=§X3=2，

故选：A.

10.B

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式16非分解因式为(a—28)(。+26)(。2+4匕2),因式

码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4,即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分

析因式关系，确定Q-2b=4和a+2b=8,解得Q=6,6=1,计算a?+4/=40,排序因式码为40、8、

4,形成密码4084.

【详解】解：va4-16b4=(a2)2-(4b2)2=(a2-4b2)(a2+4b2)=(a-2b)(a+2b)(a2+4b2),

22

设因式码为P=a-2b,Q=a+2b,R=a+4^,且Q>2b(确保因式码为正)，

给定密码后两个因式码为8和4,即排序后中值为8、最小值为4,

•••a,b为正整数且a>2b,

；.Q+2b>a—2b>0

又a?+4b2-(a4-2b)=a(a-l)+2b(2b-l),

va>2b>2,

.•.a(a-l)>0,2d(2b-l)>0,

'-a2+4d2>a+2b

故三个因式码从小到大依次为a—2b,a+2b,a2+4b2

•••Q>P,

•••可能情况为P=4,Q=8,

则｛J段戢

解得：郎制

此时R=62+4xl2=36+4=40,

因式码排序为40、8、4,密码为4084,

其他情况(如R=8或P=8)均无正整数解，

密码为4084,

故选:B.

II.1.5X10-5

【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，将小数字0.000015用科学记数法表示，需确定系数

和指数即可.

初中

【详解】解•：原数0.000015的小数点向右移动5位得到1.5,

因比乘以10的负5次方，科学记数法表示为1.5XIO-5,

故答案为1.5X10T

12,x*-1

【分析】根据分式有意义的条件，即可求解.

【详解】解：根据题意得：X+1W0,

解得：X-1.

故答案为：X*-1

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键.

13.5

【分析】本题考查关于X轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出Q和b的值，再计

算它们的和即可.

【详解】解：♦.•点P®-3）与点Q（2,b）关于x轴对称，

.•.a=2（横坐标相同），b=3（纵坐标互为相反数，一3的相反数是3）

•••a+匕=2+3=5,

故答案为5.

14.12

【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，考虑等腰三角形的两种可能情况，利用三角形

的三边关系判断是否构成三角形，并计算周长.

【详解】解：当腰长为2,底边为5时，•.♦2+2=4<5,不满足三角形三边关系，故无效；

当腰长为5,底边为2时，•.•5+2=7>5,5+5=10>2,满足三边关系，

••・周长为5+5+2=12,

故答案为：12.

15.60。或120。

【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知

识点.

首先求出4PE8=60。，如图所示，过点P作PNLOA交OB于点M,过点尸作。MJL08交OA于点N,然后

根据题意分两种情况讨论，当点。在点小时，由角平分线的性质得到PM=PN,证明出RtaPNDi三Rt

△PMF（HL）,得到NNDJ=NPEM=60。,进而求解即可;当点。在点。2时，利用等边对等角求解即可.

【详解】解：=PEO=120°,

:ZPEB=180—PE。=60°,

初中

如用所示，过点〃作PN_LO/1交。。于点”，过点〃作。M_L。。交。/1于点M当点力在点。1时,

•••0C为匕力。8的角平分线，PN10A,OMLOB

••,PM=PN,乙PNDi=乙PME=90°

■•PD1=PE,

--.Rt△PND仔Rt△PME(HL),

：ZND、P=乙PEM=60°

"PD'O=180°-z./VD1P=120°；

如图所示，当点。在点。2时，

=PD2

"PDIN=乙PD2N=60°

综上所述，4PD。的度数为60。或120。.

故答案为：60。或120。.

16.-m+2"

【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形4的边长为〃，正方形4的边长为从根据

图1和图2的阴影面积，可推出Q2f2=皿cz2+|d(a-b)=n,则可推出Qb+力2=2n一2相，图3的阴

影面积=。2+泌,据此求解即可.

【详解】解：设正方形4的边长为〃，正方形4的边长为儿

・••图1的阴影面积为m,图2的阴影面积为“，

••az-bz=m,a"+，(a-b)=n,

••.a2=m+b2a2+\ab-\b2=n,^a2-b2+ab+7b2=n,

•••m++|b2=n,

•■^ab+=n—m,即ab+b2=2n-2m

二图3的阴影面积=a2+^ab+^ab=a2+ab=m+b2+ab=?n4-2n—2m=-m+2n,

故答案为：—TH+2".

初中

17.x

【分析】本题考查整式的混合运算，应按先算乘除、后算加减的顺序进行计算.

【详解】解：x(3x4-l)-(3x3)4-x

=3x2+x-3x2

=x

18.见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用SSS可证明△ABO三△AC。，再由全等三角形的

性质即可证明结论.

【详解】证明：在△力8。和△4CD中，

(AB=AC

DB=DC

AD=AD'

.••△4BDw44CD(SSS),

'.£BAD=匕CAD.

19.(1)8

(2)见详解

【分析】本题考查求代数式的值，整式的化简，掌握平方差公式是解题的关键；

(I)将九=1代入原式计算即可；

(2)将原式化简即可解答.

【详解】(1)解：当几=1时，A=(2xl+1)2-(2x1-1)2=32-12=9-1=8；

(2)解：力=(2n+l)2-(2n-l)2

=[(2n+1)+(2n-l)]x[(2n+l)-(2n-l)]

=4nx2

=8n

•••〃为整数，

B九是8的倍数，

因比4是8的倍数.

2。・(13

(2*

【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数暴，先根据分式的混合运算进行计算，再将字母的值代

入，即可求解.

初中

【详解】(1)解：A=

a-1a

=--X-----

a(a-1)2

1

=

(2)解：va=4-1=2+1=3

11

:.A=----=—

3-12

21.(1)作图见解析

(2)20°

【分析】(1)在射线4E上截取4B=a,作线段48的垂直平分线MA/,垂足为点D,在垂直平分线上截取DC=h,

连接4C、BC,由线段垂直平分线的性质可知AC=8C,故△ABC即为所求；

(2)由等腰三角形的性质得N4=4A8C=70。，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；

本题考查了等腰二•角形的作法及性质,熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】(1)解：如图所示，△ABC即为所求：

(2)-BC=ACf

心=4ABC=70°,

:.CD1AB,

“DC=90°,

：.£ACD=90°-z/l=90。-70。=20°.

22.(1)30°

(2)证明见解析

(3)90°

【分析】(1)根据等边三角形的性质解答即可求解;

初中

(2)证明三△ACZ?(SAS)即可求证；

(3)由4C3F=30。可知点F在与8c成30。的射线8M上运动，延长4。交8M于点F,过点。作。G18M于G,

交C尸的延长线于点可证点。和点。'关于射线8M对称，由轴对称性质可知此时用)+FC取最小值，据此

解答即可求解；

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，熟练掌握知识点是解题的关

键.

【详解】(I)解：•••△A8C是等边三角形，点。为边8c中点

：.£CAD=在BAC=1x60°=30°；

(2)证明：•・•△ABC是等边三角形，ACEF是等边三角形，

'.BC=AC,CF=CE,LECF=LACB=60°,

:•乙ECF—乙ECB=乙ACB—乙ECB,

艮|］乙BCF=Z.ACE,

•••△8CFwZi4CE(SAS),

"CBF=Z.CAE=30°；

(3)解:-A.CBF=30°,

•••点?在与8c成30。的射线8M上运动，

如图，延长AD交8M于点F,过点。作DG18M于G,交CF的延长线于点。‘，

A

"CBF=30°,乙BGD=90°,

:.乙BDG=90。-30。=60。，

•••△ABC是等边三角形，点。为边BC中点,

：.AD1BC,

.♦.ZFDF=ZCDF=9O°,

:/FDD'=90°-60°=30°,

"EFC=60°,

•"DFD'=180°-60°=120°,

初中

"FD'D=180°-120°-30°=30°,

:ZFDD'=乙FD'D,

：.FD=FD',

vOGlFM,

:,DG=D'G,

二点。和点。'关于射线BM对称，

由轴对称的性质可知此时F。十FC取最小值，

当FD+FC取最小值时，Z-CDF=90°.

23,⑴10元/千克；

（2）甲的平均单价为9元/千克，乙的平均单价为与元/千克；

（3）从长期来看，每次花固定金额进货更合算.

【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，以及有理数的混合运算，找准等量关系，列出正确

的方程是解题的关键.

（I）设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家中买到的重量为b千克，根据题意列二元一次方程组

[a[b+30^=°900»求解即可;

（2）根据平均单价=总价钱/总质量，分别计算出甲、乙两次购买这种水果的单价即可；

（3）比较笫（2）的计算结果进行解答即可.

【详解】（1）解：设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家中买到的重量为b千克，

,,,fab=600

根据题尽得：tag+30）=900，

解得：9=60，

答：该水果第一次的批发价格为10元/千克；

（2）由（1）得该水果第一次的批发价格为10元/千克，商家甲第一次买到的重量为60千克，商家乙第一

次买到的重量为90千克，

所以第二次水果价格为10-2=8（元/千克），

商家甲购买这种水果的平均单价为：6鬻察:9（元/千克），

商家乙购买这种水果的平均单价为：黑翳=等（元/千克）;

8

80

（3）由（2）可知9>7,

所以从K期来看，每次花固定金额讲货更合算.

24.（1）证明见解析

初中

(2)11.25。或22.5。

(3)7的值不会发生变化，为定值8,理由见解析

【分析】(1)由直角三角形两锐用互余可得==再根据平角定义即可求解：

(2)由等腰直角三角形的性质得乙48C=45。，进而得到jW=45。，再根据等腰三角形的定义分三种情

况解答即可求解；

(3)过点力作1B尸的延长线于点”，过点力作力G1D尸F点G,连接4凡可证四边形力是正方形，

得到月C=AH=BH=BC=4,再分别证明△ACD^△AGO(AAS)和Rt△AGF^Rt△/IHF(HL),得到

CD=GD,GF=HF,即得OF=GO+G/=CD+HF,进而得到

T=BD+DF+BF=BD+CD+HF+BF=BC+BH=8,即可求解.

【详解】(1)证明：-^ACB=90°,Z.CAD=a,

：.z.ADC=90°-a,

vZ/lDC=Z-ADEf

-.Z.ADE=Z.ADC=90°-a,

：zEDB=180°-^ADE-^ADC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a；

(2)解：•••CA=C3=4,^ACB=90°,

=45°,

•:BF1BC,

：.z.CBF=90°,

:•乙EBF=90°-45°=45°,

•••△BE广为等腰三角形，

1只n。一44°

当8E=8F时，ZF=^BEF=2=67.5°,

：.Z.BDF=90°-zF=90°-67.5°=22.5°,

由(1)得，Z.CAD=

.­.zCi4D=1x22.5°=11.25°；

当=时，/-BEF=Z-EBF=45°,

.-.zF=90°,

,:乙DBF=90°,

比种情况不存在；

当BE=FE时，ZF=LEBF=45%

：.£BDF=9O°-ZF=90°-45°=45°,

初中

：.£CAD=^BDF=Ix45°=22.5°；

综上，当△BEr为等腰三角形时，乙。D的度数为11.25。或22.5。；

(3)解：T的值不会发生变化，为定值8,理由如下：

如组，过点A作AH18F的延长线于点H,过点A作AGJ.DF于点G,连接AF,

5'

H

"ACB=Z-CBH=ZW=90°,

.•必边形4CB，是矩形，

又=CR.

••・囚边形AC3H是正方形，

'.AC=AH=BH=BC=4,

在△4C0和中，

Z.ACD=Z.AGD=90°

/.ADC=Z.ADG

AD=AD

A?lCDrA/IGDCAAS),

'-AC=AG,CD=GD,

MG=AH,

在Rt△4GF和Rt△AHF^,

(AF=AF

{AG=AH，

••.Rt△AGF=Rt△4”F(HL),

：.GF=HF,

-.DF=GD+GF=CD+HF,

△8DF的周长为丁=BD+DF+BF=BD+CD+HF+BF=BC+BH=4+4=8,

订的值不会发生变化，为定值8.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义及性质，正方形的判

定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关健.

25.(1)证明见解析

初中

(2)3

(3)证明