21.3 特殊的平行四边形 菱形的判定 课件

菱形的判定R·八年级数学下册四边形21学习目标1.理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法

的作用．2.引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成

主动探索的学习习惯．3.运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的

推理能力．知识回顾问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.性质：1.具有平行四边形的一切性质.2.菱形本身具有的特殊性质：①四条边都相等；②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是轴对称图形..3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.ABDC几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.思考：你还有其他的判定方法吗？探索新知

前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字.在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AC.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形

ABCD为平行四边形，∴OA=OC.∵AC⊥BD，∴BO垂直平分

AC，∴AB=CB，∴□ABCD

是菱形.OABCD尝试证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定定理1：归纳总结▶几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC，∴□ABCD是菱形．OABCD

如图，在□ABCD

中，对角线

AC

的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点

E，F.求证：四边形

AFCE

是菱形.例4ABCDFEO12分析：已知

AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形

AFCE

是平行四边形.由题意可知

AO=CO，还需证明

EO=FO.

如图，在□ABCD

中，对角线

AC

的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点

E，F.求证：四边形

AFCE

是菱形.例4证明：∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴AE∥CF.∴∠1=∠2.又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF.∴EO=FO.∴四边形

AFCE

是平行四边形.又

AC⊥EF，∴四边形

AFCE

是菱形.ABCDFEO12练习1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（

）A.AB=AC B.AC=BDC.AC⊥BD D.AB⊥ACC2.如图，在四边形

ABCD

中，对角线

AC，BD

相交于点

O且

互相垂直平分.求证：四边形

ABCD

是菱形.证明：∵对角线

AC，BD

互相垂直平分，∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO.∴四边形

ABCD

是平行四边形.又AC⊥BD，∴□ABCD是菱形.ODABC

用四根长度一样的木条，首尾顺次相接.得到的四边形是菱形吗？请说明理由.动手操作猜想：四条边相等的四边形是菱形.已知：如图，在四边形

ABCD

中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形

ABCD

是菱形.证明：∵AB=CD，DA=BC，∴四边形

ABCD

是平行四边形.又

AB=BC，∴

□

ABCD

是菱形.ABCD尝试证明菱形的判定定理2：归纳总结▶四条边相等的四边形是菱形.几何语言：∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形.ABCDABCDFEO123

如图，在□ABCD

中，对角线

AC

的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点

E，F.求证：四边形

AFCE

是菱形.例4尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明.证明：∵EF

垂直平分

AC，∴AE=EC，AF=FC.∴∠1=∠3.∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴AE∥BC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3.又OC=OC，∠EOC=∠FOC=90°，∴△EOC

≌

△FOC（ASA）.∴EC=FC=AE=AF.∴四边形

AFCE

是菱形.练习1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，∴HE=FE=FG=HG，∴四边形EFGH是菱形．2.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形

ABCD

是一个菱形吗？为什么？解：四边形

ABCD

是一个菱形.理由：如图，过点

A

分别作

AE⊥BC

于点

E，AF⊥CD于点

F.由题意，得

AE=AF.∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形

ABCD

是平行四边形，∴∠B=∠D.又∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD，∴

□ABCD

是菱形.ABCDEF3.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，

使∠A

是菱形的一个内角，和点

A

相对的顶点在边

BC

上，并说明所折图形是菱形的理由.解：如图，将△ABC

折叠，使

AB，AC

重合，得折痕

AD.展开后再次折叠使点

A，D重合，得折痕

EF，连接

DE，DF，则四边形

AEDF

为菱形.ABCEDFABCEDFO理由：设

AD，EF

相交于点

O.由折叠可知，∠EAO=∠FAO，EF垂直平分AD.∴∠AOE=∠AOF=90°，AE=DE，AF=DF.∴△AEO≌△AFO（ASA）.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF.∴四边形

AEDF为菱形.在△AEO和△AFO中，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF

于点O，交BC于点E，连接EF.（1）求证：四边形ABEF是菱形；ABECDFO证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EBF=∠AFB．∵BF

平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°．又BO=BO，∴△ABO≌△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF．又BE//AF，∴四边形ABEF是平行四边形．又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积．ABECDFO解:如图，过点F作FG⊥BC于点G．G

∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，∴OE=AE=3，OB=BF=4.在Rt△