第八章向量的数量积与三角恒等变换（复习课件）数学人教B版必修第三册

单元复习课件

第八章向量的数量积与三角恒等变换

人教B版必修第三册·高一学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.掌握向量数量积的定义、运算律、坐标运算，以及两角和与差、倍角等三角恒等变换公式，夯实核心知识基础，理清知识间的内在关联.3.体会数形结合、转化与化归的数学思想，培养严谨的数学思维，学会用数学工具分析和解决实际问题，提升数学核心素养.2.能熟练运用向量数量积解决长度、夹角、垂直等几何问题，借助三角恒等变换完成三角函数式的化简、求值与证明，提升运算求解与逻辑推理能力.

向量的数量积两角和与差的余弦公式两角和与差的正弦公式两角和与差的正切公式倍角公式半角公式积化和差和差化积考点一、向量数量积的概念知识点一向量的夹角定义范围____________特例θ＝______θ＝180°θ＝90°∠AOB0°≤θ≤180°0°

零向量

向量O1A1考点一、向量数量积的概念

直线l直线l的方向

考点一、向量数量积的概念

考点一、向量数量积的概念

考点二、向量数量积的运算律考点三、向量数量积的坐标运算

a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0

考点三、向量数量积的坐标运算考点四、两角和与差的三角公式知识点一两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝___________________．Cα－β：cos(α－β)＝___________________．cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ知识点二两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝__________________．(2)Sα－β：sin(α－β)＝__________________．sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ知识点三辅助角公式y＝asin

x＋b

cos

x＝____________sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos

θ＝____________，sin

θ＝____________.

知识点四两角和差的正切公式Tα＋β：tan(α＋β)＝_____________．Tα－β：tan(α－β)＝_____________．

考点四、两角和与差的三角公式考点五、倍角公式知识点一倍角公式S2α：sin2α＝____________．C2α：cos2α＝____________＝____________＝____________.T2α：tan2α＝____________．

考点五、倍角公式考点六、三角恒等变换的应用

知识点二积化和差公式cosαcosβ＝_____________________；sinαsinβ＝______________________；sinαcosβ＝____________________；cosαsinβ＝____________________．

考点六、三角恒等变换的应用知识点三和差化积公式设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝________，β＝________．这样，上面的四个式子可以写成sinx＋siny＝________________；sinx－siny＝________________；cosx＋cosy＝________________；cosx－cosy＝________________．

只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式考点六、三角恒等变换的应用题型一、与向量数量积有关的概念

③④

－4

题型一、与向量数量积有关的概念

题型一、与向量数量积有关的概念

①②⑥

题型一、与向量数量积有关的概念题型二、数量积的基本运算

题型二、数量积的基本运算题型二、数量积的基本运算

题型三、与向量模有关的问题

【答案】B

题型三、与向量模有关的问题题型三、与向量模有关的问题

题型四、平面向量数量积的性质

题型四、平面向量数量积的性质

题型四、平面向量数量积的性质

题型四、平面向量数量积的性质题型五、平面向量数量积的坐标运算

【答案】D

题型五、平面向量数量积的坐标运算

1

4

题型五、平面向量数量积的坐标运算

答案：C

题型五、平面向量数量积的坐标运算

【答案】D

题型六、向量模问题

4

题型六、向量模问题

题型六、向量模问题

题型六、向量模问题

题型七、向量数量积的运算

【答案】B

题型七、向量数量积的运算

题型七、向量数量积的运算

题型七、向量数量积的运算

题型七、向量数量积的运算

【答案】A

题型八、数量积运算解决平面几何问题用向量方法解决平面几何问题的步骤题型八、数量积运算解决平面几何问题变式8

已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

题型八、数量积运算解决平面几何问题例9.化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.

题型九、两角和与差的余弦公式化简求值(1)在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．(2)在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．题型九、两角和与差的余弦公式化简求值

题型九、两角和与差的余弦公式化简求值

题型九、两角和与差的余弦公式求值应用

题型九、两角和与差的余弦公式求值应用

题型九、两角和与差的余弦公式求值应用

题型九、两角和与差的余弦公式求值应用

【答案】A

题型十、利用角的变换求三角函数值

题型十、利用角的变换求三角函数值

题型十、利用角的变换求三角函数值

题型十、利用角的变换求三角函数值

【答案】C

题型十一、两角和与差正弦公式化简(2)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；【解析】原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1.

题型十一、两角和与差正弦公式化简(1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：①化为特殊角的三角函数值；②化为正负相消的项，消去，求值；③化为分子、分母形式，进行约分再求值．(2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．题型十一、两角和与差正弦公式化简

题型十一、两角和与差正弦公式化简

题型十二、两角和与差正弦公式求值应用(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．题型十二、两角和与差正弦公式求值应用

答案：D

题型十二、两角和与差正弦公式求值应用

【答案】A

题型十三、辅助角公式应用

题型十三、辅助角公式应用(1)两角和与差的正弦公式的结构特点①公式中的α，β均为任意角．②两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．③两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系(3)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式题型十三、辅助角公式应用

题型十三、辅助角公式应用

答案：C

题型十三、辅助角公式应用

题型十四、两角和与差正切公式化简求值(1)公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个．(2)一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．题型十四、两角和与差正切公式化简求值

题型十四、两角和与差正切公式化简求值

题型十五、两角和与差正切公式变式应用

题型十五、两角和与差正切公式变式应用

题型十五、两角和与差正切公式变式应用

题型十五、两角和与差正切公式变式应用

题型十六、利用倍角公式化简求值

题型十六、利用倍角公式化简求值

题型十六、利用倍角公式化简求值

【答案】D

题型十七、倍角公式求值应用

【答案】C

题型十七、倍角公式求值应用

题型十七、倍角公式求值应用

题型十七、倍角公式求值应用

题型十七、倍角公式求值应用

题型十八、利用倍角公式证明证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．题型十八、利用倍角公式证明变式18

求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B.

题型十八、利用倍角公式证明

题型十九、倍角公式应用

题型十九、倍角公式应用

解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝Asinωx＋φ的形式，再利用函数图象解决问题．题型十九、倍角公式应用

题型十九、倍角公式应用

题型二十、三角恒等变换化简

题型二十、三角恒等变换化简

题型二十、三角恒等变换化简例21

(1)求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.(2)求值：sin20°sin40°sin60°sin80°.题型二十一、三角恒等变换求值

题型二十一、三角恒等变换求值

题型二十一、三角恒等变换求值

题型二十一、三角恒等变换求值

答案：B题型二十一、三角恒等变换求值

题型二十二、三角恒等变换证明三角恒等式证明的五种常用方法