九师联盟2025-2026学年高三核心模拟卷中（六）数学+答案

18.(本小题满分17分)

在平面直角坐标系zOy中，过点F(1,0)的圆E与直线l:x=-1相切，设圆心E的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)已知点P(工。,2)是C上的一点，过点Q(0,1)的直线l₁与C有两个不同的交点A,B.

(i)当点P到直线l₁的距离取得最大值时，求|AB|;

(i)记直线PA交I轴于点M,直线Pβ交y轴于点N,若Q=AQ5讠丽=μ0,试判

是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

密

誉

蒌

19.(本小题满分17分)

不

已知函数f(x)=工cosx,g(工)=ax+2-e²(a∈R).

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)求f(x)在区间[-π,π]上的值域；

封

(3)若f(工)≥工g(工)对任意芘恒成立，求a的取值范围.

题

【高三核心模拟卷(中)·数学(六)第4页(共4页)】

由(1)知,斛得,所以饥n:A=-2,所以于

庄扑a恸

所以△ABC的面积为………nn………13分

16.解：(1)由题意知

所以

……⑴n…nn……nnn…nn7分

(2)由题意知Y的所有可能取值为),1,2,3,4ļ尓云…八口………艹…口…八八…灬…口+…n….8分

所以Y的分布列为：

Y01234

灬艹艹八……………二ī不…惠…ı5分

17.(ı)证明：因为PA丄平面ABCD,CD二平面ABCD,所以PA丄CDⅧ……灬………………口……1分

因为底面ABCD是矩形．，所．C．D丄;D．=．巩．,",□PAD!

所以CD丄平面PAD灬八八八八八情八八八..3分

因为AEC平面PAD,所以AE丄LD:……………n……八n、八八鲳八n……n八….nn……八八…八n八4分

又AE丄EC;C=C,GD二平面P．a二平．面．P℃所E丄．平P．a………………5分

又PDC平面所以AE丄PD:八艹n八n鲳…n……鲳n……6分

又因为PA=AD,所以E为PD的中点，所以PE=ED:………Ⅷ……7分

(2)解：不妨设PA=2,则AB=1,AD=2,以A为坐标原点，AB,AD;AP所在的直线分

别为工轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0),C(1,2,0),

B<1,0,0),D<0,2,0),P<0,0,2),所以E<0,1,1),Z它=<ı,2,0),ĀĔ=<0,ı,ı),

芘=<0,Ź,0),萨=<-1,小2).设平而PBC的一个法向量n=<工,y,),所以

令z=1,解得工=2,y=0,所以n=<2,0丶ı).…八…灬…9分

设半面AEC的一个法向量m=<a,b,c),所以令b=-1,解得

a=2,c=1,所以m=<2,-1,1).………八………艹………….八八……仆鲳n,11分

设平面PBC与平面AEC的夹角为0,

即平面PBC与平面AEC夹角的余弦值…s…ns…nn""…n…15分

18.解：(1)设点E(工,y)为C上任意一点，因为圆E过点F<1,0)且与直线l:工=-1相切，

所以|EF|与点直线．l的距离等，故．τ:=．īī?开．ī=|工．+．1．|,整．理得:x,

即C的方程为yxn…八八……4分

(2)(İ)因为点P(s叻,2)是C上的一点，所以22=4久N,解得am=1,即P(1,2),

当点P到直线l₁的距离取得最大值时，ĤQL4,又所以直线Ŀ丨的斜率为-1,直线Ŀl的方程为y=-父+1,

…八……6分

<3,工工

没A:),B<I乜,y乜),由’得r-6工+1=0,所以工4τ=6,2=1,

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