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文档简介
一、填空题（每题3分，共30分）1.(A)；2.(C)；3.(A)；4.(A)；5.对,使得；6.称是集合的聚点，如果对任意，都至少存在一个，使得；7.；8.；9.；10.二、计算题（每小题6分，共36分）11．计算解时，（1分）时，（4分）（6分）12．计算.解,（2分）,（4分）,（6分）因此.（6分）13．计算解（6分）14．设是常数，，给出可导的条件，并求出导函数。解,,由于不存在但有界,所以极限当且仅当时存在,即当且仅当时函数在点可导.（4分）其导函数为（6分）15．设，.解两边求导得,对式再求导,有.（3分）所以.（4分）.（6分）16．设，求.解,（2分）.（6分）三、证明题（每小题6分，共24分）17．考察的连续性，指出间断点及其类型。证考虑Riemann函数易见有.已知.（3分）于是由双逼原理,对,有.（4分）因此,当为无理点时,,此时在点连续.而当为有理点时,,此时是的可去间断点.（6分）18．设，证明.证设,在区间上满足Lagrange中值定理的条件,所以,使.（2分）单调增,故;又.所以（5分）即,.（6分）19．若函数在有限开区间内一致连续,则在内有界.证取,由函数在区间内一致连续,,使对任何,,.（2分）取,使.等分区间,设分点依次为,对,,有,因此有,.（4分）取,,注意到必属于某个(),就有.因此,在内有界.（6分）20．叙述并证明关于数列的柯西收敛准则.证柯西收敛准则：数列收敛的充分必要条件是对任意，存在，当时，.（1分）（必要性）设，由定义，对任意，存在，当时，，所以（4分）（充分性）已知对任意，存在，当时，.由此可证得有界。再由致密性定理，有收敛子列，设，由定义，存在，当时，，令，则当时，即（6分）四、综合题（共10分）21．考察函数的各种性质，并作出函数的图象。解求函数的一阶、二阶导数，得。（2分）并且有+0－无定义－0+－－－无定义+++极大值-4无定义极小值0其渐近线方程为和。
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