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2018-2019南京航空航天大学·高等数学(A卷试题)一、填空题(每小题3分,共24分):1.设函数,则.2.设连续,交换二次积分的次序:=.3.设∑是上半球面,则曲面积分=。4.设,则=3.5.函数展开成x的幂级数为.6.已知幂级数在x=-1收敛,则该幂级数在的敛散性为：绝对收敛.7.已知是全微分方程,则a=4.二、(6分)设y=y(x)是由方程确定的函数,试计算.解：设则由三、(8分)设f是任意二阶可导函数,并设,满足方程=0,试确定a的值.解：由题设有:(6分)计算,其中L是抛物线上点(-1,1)到(1,1)的一段弧.解:五、(10分)判别下列级数的敛散性:(1)(4分).(2)(6分),若收敛,指明是条件收敛还是绝对收敛.解:(1)故由"比值判别法"知原级数发散.(2)当时,(振荡无极限)此时原级数发散;当时,由莱布尼茨定理知此时原级数收敛.而由,知级数同敛散，而发散;故此时原级数条件收敛.当时,此时也有级数同敛散，故当时原级数绝对收敛.(8分)将函数展开成傅里叶级数.解:(10分)求幂级数的收敛域及和函数,并求的值.解:都发散.所求收敛域为(-1,1).令.(10分)计算曲面积分,其中∑是上半球面的上侧.解:设辅助圆面的下侧,则:十、(8分)设定义在(-∞,+∞)上的函数f(x),对任意x,y∈(-∞,+∞),满足,且,(1)证明:对任意x∈(-∞,+∞),存在,并求出函数;

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