2026年等差数列比赛试题及答案

2026年等差数列比赛试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，则其通项公式a_n为（）（2分）A.a_n=6n-3B.a_n=2n+1C.a_n=3nD.a_n=6n【答案】A【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d，9=3+4d，解得d=1.5，所以a_n=3+(n-1)×1.5=6n-3。2.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则a_4的值为（）（2分）A.29B.30C.31D.32【答案】C【解析】a_4=S_4-S_3=2×4^2+3×4-(2×3^2+3×3)=31。3.等差数列{a_n}中，若a_2+a_6+a_10=15，则a_5+a_7+a_9的值为（）（2分）A.10B.15C.20D.25【答案】B【解析】a_2+a_6+a_10=3a_6=15，所以a_6=5。a_5+a_7+a_9=3a_7=15。4.已知等差数列{a_n}的公差不为0，且a_1^2+a_2^2+a_3^2=14，则a_1+a_2+a_3的值为（）（2分）A.4B.6C.-4D.-6【答案】A【解析】设公差为d，则a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。代入得(a_1)^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2=14，整理得3(a_1)^2+6a_1d+5d^2=14。由于{a_n}是等差数列，a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=3(a_1+d)=6。因此，a_1+a_2+a_3=4。5.等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_n=21，且S_n=336，则n的值为（）（2分）A.12B.16C.24D.28【答案】C【解析】设公差为d，则21=1+(n-1)d，解得d=2。S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n/2(2+2(n-1))=336，解得n=24。6.若数列{a_n}的前n项和S_n=an^2+bn，且a_n是等差数列，则b的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.任意实数【答案】A【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=an^2+bn-[a(n-1)^2+b]=2an+b-1。由于a_n是等差数列，2an+b-1是关于n的一次函数，所以b-1=0，即b=0。7.等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，则a_6+a_8的值为（）（2分）A.10B.15C.20D.25【答案】C【解析】a_3+a_9=2a_6=20，所以a_6=10。a_6+a_8=2a_7=20。8.已知等差数列{a_n}中，a_4=10，a_7=19，则a_15的值为（）（2分）A.28B.37C.46D.55【答案】C【解析】设公差为d，则a_7=a_4+3d，19=10+3d，解得d=3。a_15=a_4+11d=10+11×3=46。9.等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，所以a_3=3。10.已知等差数列{a_n}的公差为2，且a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，所以a_3=5。但是，由于公差为2，a_3=a_1+2d=a_1+4，所以a_1=1。因此，a_3=5。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列关于等差数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式是线性的B.等差数列的前n项和公式是二次的C.等差数列中任意两项之差为常数D.等差数列的图像是一条直线【答案】A、B、C【解析】等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d是关于n的一次函数，前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)是关于n的二次函数。等差数列中任意两项之差为常数d。等差数列的图像不是一条直线，因为它是离散的点。2.下列数列中，是等差数列的有（）（4分）A.2,4,8,16,...B.3,6,9,12,...C.5,5,5,5,...D.1,3,7,13,...【答案】B、C【解析】数列B是等差数列，公差为3。数列C是等差数列，公差为0。数列A不是等差数列，公差不恒定。数列D不是等差数列，公差不恒定。3.等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则（）（4分）A.a_7+a_8+a_9=24B.a_10+a_11+a_12=27C.a_1+a_4+a_7=15D.a_2+a_5+a_8=21【答案】A、B、C、D【解析】设公差为d，则a_4=a_1+3d，a_5=a_1+4d，a_6=a_1+5d。a_4+a_5+a_6=3a_1+12d=18，所以a_1+4d=6。a_7+a_8+a_9=3a_1+18d=3(a_1+6d)=3×6=18，所以a_7+a_8+a_9=24。a_10+a_11+a_12=3a_1+24d=3(a_1+8d)=3×6=27。a_1+a_4+a_7=3a_1+9d=3(a_1+3d)=3×6=18，所以a_1+a_4+a_7=15。a_2+a_5+a_8=3a_1+15d=3(a_1+5d)=3×6=18，所以a_2+a_5+a_8=21。4.等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=30，则（）（4分）A.a_1+a_6+a_11=15B.a_2+a_7+a_12=30C.a_3+a_8+a_13=45D.a_4+a_9+a_14=60【答案】A、B、C、D【解析】设公差为d，则a_6=a_1+5d，a_7=a_1+6d，a_8=a_1+7d，a_9=a_1+8d，a_10=a_1+9d。a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=5a_1+40d=30，所以a_1+8d=6。a_1+a_6+a_11=3a_1+15d=3(a_1+5d)=3×6=18，所以a_1+a_6+a_11=15。a_2+a_7+a_12=3a_1+21d=3(a_1+7d)=3×6=18，所以a_2+a_7+a_12=30。a_3+a_8+a_13=3a_1+27d=3(a_1+9d)=3×6=18，所以a_3+a_8+a_13=45。a_4+a_9+a_14=3a_1+33d=3(a_1+11d)=3×6=18，所以a_4+a_9+a_14=60。5.等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=30，则（）（4分）A.a_1+a_6+a_11=15B.a_2+a_7+a_12=30C.a_3+a_8+a_13=45D.a_4+a_9+a_14=60【答案】A、B、C、D【解析】设公差为d，则a_6=a_1+5d，a_7=a_1+6d，a_8=a_1+7d，a_9=a_1+8d，a_10=a_1+9d。a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=5a_1+40d=30，所以a_1+8d=6。a_1+a_6+a_11=3a_1+15d=3(a_1+5d)=3×6=18，所以a_1+a_6+a_11=15。a_2+a_7+a_12=3a_1+21d=3(a_1+7d)=3×6=18，所以a_2+a_7+a_12=30。a_3+a_8+a_13=3a_1+27d=3(a_1+9d)=3×6=18，所以a_3+a_8+a_13=45。a_4+a_9+a_14=3a_1+33d=3(a_1+11d)=3×6=18，所以a_4+a_9+a_14=60。三、填空题（每题4分，共32分）1.等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，则其通项公式a_n=_________（4分）【答案】a_n=3n-1【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d，14=2+4d，解得d=3，所以a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+2n，则a_4的值为_________（4分）【答案】22【解析】a_4=S_4-S_3=3×4^2+2×4-(3×3^2+2×3)=22。3.等差数列{a_n}中，若a_2+a_6+a_10=15，则a_5+a_7+a_9=_________（4分）【答案】15【解析】a_2+a_6+a_10=3a_6=15，所以a_6=5。a_5+a_7+a_9=3a_7=15。4.已知等差数列{a_n}的公差不为0，且a_1^2+a_2^2+a_3^2=14，则a_1+a_2+a_3=_________（4分）【答案】6【解析】设公差为d，则a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。代入得(a_1)^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2=14，整理得3(a_1)^2+6a_1d+5d^2=14。由于{a_n}是等差数列，a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=3(a_1+d)=6。5.等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_n=21，且S_n=336，则n的值为_________（4分）【答案】24【解析】设公差为d，则21=1+(n-1)d，解得d=2。S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n/2(2+2(n-1))=336，解得n=24。6.若数列{a_n}的前n项和S_n=an^2+bn，且a_n是等差数列，则b的值为_________（4分）【答案】0【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=an^2+bn-[a(n-1)^2+b]=2an+b-1。由于a_n是等差数列，2an+b-1是关于n的一次函数，所以b-1=0，即b=0。7.等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，则a_6+a_8=_________（4分）【答案】20【解析】a_3+a_9=2a_6=20，所以a_6=10。a_6+a_8=2a_7=20。8.已知等差数列{a_n}中，a_4=10，a_7=19，则a_15的值为_________（4分）【答案】46【解析】设公差为d，则a_7=a_4+3d，19=10+3d，解得d=3。a_15=a_4+11d=10+11×3=46。四、判断题（每题2分，共10分）1.两个负数相加，和一定比其中一个数小（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+(-3)=-8，和比两个数都小。2.等差数列的通项公式是线性的（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d是关于n的一次函数。3.等差数列的前n项和公式是二次的（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)是关于n的二次函数。4.等差数列中任意两项之差为常数（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列中任意两项之差为公差d。5.等差数列的图像是一条直线（）（2分）【答案】（×）【解析】等差数列的图像是离散的点，不是一条直线。五、简答题（每题4分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，求其通项公式（4分）【答案】a_n=6n-3【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d，9=3+4d，解得d=1.5，所以a_n=3+(n-1)×1.5=6n-3。2.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求a_4的值（4分）【答案】a_4=22【解析】a_4=S_4-S_3=2×4^2+3×4-(2×3^2+3×3)=22。3.等差数列{a_n}中，若a_2+a_6+a_10=15，求a_5+a_7+a_9的值（4分）【答案】15【解析】a_2+a_6+a_10=3a_6=15，所以a_6=5。a_5+a_7+a_9=3a_7=15。4.已知等差数列{a_n}的公差不为0，且a_1^2+a_2^2+a_3^2=14，求a_1+a_2+a_3的值（4分）【答案】6【解析】设公差为d，则a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。代入得(a_1)^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2=14，整理得3(a_1)^2+6a_1d+5d^2=14。由于{a_n}是等差数列，a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=3(a_1+d)=6。5.等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_n=21，且S_n=336，求n的值（4分）【答案】n=24【解析】设公差为d，则21=1+(n-1)d，解得d=2。S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n/2(2+2(n-1))=336，解得n=24。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求其通项公式，并求a_{10}的值（10分）【答案】a_n=6n-4，a_{10}=56【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d，14=2+4d，解得d=3，所以a_n=2+(n-1)×3=3n-1。a_{10}=3×10-1=29。2.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+2n，求其通项公式，并求a_6的值（10分）【答案】a_n=6n-3，a_6=33【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-