北京工业大学耿丹学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷

北京工业大学耿丹学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷

一、选择题（总共10题，每题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）1.用二分法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根，若$f(a)f(b)<0$，取区间中点$x_0=\frac{a+b}{2}$，则下一步应在哪个区间继续求解（）A.$[a,x_0]$B.$[x_0,b]$C.无法确定D.以上都不对2.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上具有二阶导数，且$f(a)f(b)<0$，$f^\prime(x)\neq0$，$f^{\prime\prime}(x)\neq0$，则用牛顿法求方程$f(x)=0$的根时，其收敛阶数为（）A.线性收敛B.超线性收敛C.平方收敛D.三次收敛3.若用梯形公式计算积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$，其截断误差为（）A.$-\frac{(b-a)^3}{12}f^{\prime\prime}(\xi)$，$\xi\in(a,b)$B.$\frac{(b-a)^3}{12}f^{\prime\prime}(\xi)$，$\xi\in(a,b)$C.$-\frac{(b-a)^2}{6}f^{\prime\prime}(\xi)$，$\xi\in(a,b)$D.$\frac{(b-a)^2}{6}f^{\prime\prime}(\xi)$，$\xi\in(a,b)$4.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则其LU分解中，下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$分别为（）A.$L=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$，$U=\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\end{pmatrix}$B.$L=\begin{pmatrix}1&0\\3&-2\end{pmatrix}$，$U=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$C.$L=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$，$U=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix}$D.$L=\begin{pmatrix}1&0\\3&-1\end{pmatrix}$，$U=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix}$5.已知向量$\vec{x}=(1,2)^T$，$\vec{y}=(3,4)^T$，则向量的内积$(\vec{x},\vec{y})$为（）A.11B.14C.17D.206.用高斯消去法解线性方程组时，可能会出现的问题是（）A.计算量过大B.迭代不收敛C.出现零主元D.以上都不对7.设$f(x)=x^3-2x-5$，则$f(x)$在区间$[2,3]$上的零点近似值用二分法计算到第几次时，误差不超过$10^{-3}$（）A.8次B.9次C.10次D.11次8.在求解常微分方程初值问题$y^\prime=f(x,y)$，$y(x_0)=y_0$时，改进欧拉法的局部截断误差为（）A.$O(h^3)$B.$O(h^2)$C.$O(h)$D.$O(h^4)$9.已知函数$f(x)$的泰勒展开式为$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$，则用泰勒多项式近似$f(x)$时，截断误差为（）A.$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，$\xi$介于$x$与$x_0$之间B.$R_n(x)=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n$，$\xi$介于$x$与$x_0$之间C.$R_n(x)=\frac{f^{(n+2)}(\xi)}{(n+2)!}(x-x_0)^{n+2}$，$\xi$介于$x$与$x_0$之间D.以上都不对10.若用Simpson公式计算积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$，其代数精度为（）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题（总共5题，每题4分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，请将正确答案的代号填在题后的括号内，少选得2分，选错或多选不得分）1.下列哪些方法属于数值积分方法（）A.梯形公式B.Simpson公式C.牛顿-柯特斯公式D.高斯求积公式2.关于矩阵的LU分解，以下说法正确的是（）A.任何矩阵都能进行LU分解B.三角分解法计算量小C.LU分解可用于求解线性方程组D.LU分解不唯一3.用迭代法求解线性方程组$Ax=b$时，迭代格式$x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f$收敛的充分必要条件是（）A.矩阵$B$的谱半径$\rho(B)<1$B.矩阵$A$可逆C.迭代矩阵$B$的所有特征值的绝对值小于1D.$\lim_{k\rightarrow\infty}x^{(k)}$存在4.以下哪些是数值分析中常用的插值方法（）A.拉格朗日插值B.牛顿插值C.分段线性插值D.样条插值5.在求解常微分方程初值问题时，以下哪些方法是单步法（）A.欧拉法B.改进欧拉法C.四阶龙格-库塔法D.亚当姆斯方法三、判断题（总共10题，每题2分，请判断下列各题的正误，正确的打“√”，错误的打“×”）1.用二分法求方程的根时，只要区间长度足够小，就一定能得到精确解。（）2.牛顿法收敛的充分条件是初始值足够靠近根。（）3.梯形公式的精度高于Simpson公式。（）4.矩阵$A$的LU分解中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，且主对角线上元素均为1。（）5.向量的范数满足正定性、齐次性和三角不等式。（）6.用高斯消去法解线性方程组时，若出现零主元，则方程组无解。（）7.拉格朗日插值多项式的次数越高，插值效果越好。（）8.改进欧拉法是一种二阶单步法。（）9.数值积分方法中，代数精度越高，计算结果越准确。（）10.用迭代法求解线性方程组时，迭代次数越多，结果越准确。（）四、解答题（总共3题，每题20分，请详细解答下列各题）1.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，在区间$[1,2]$上用二分法求方程$f(x)=0$的根，要求误差不超过$10^{-3}$。请写出详细的计算步骤。2.设线性方程组$\begin{cases}2x_1+x_2-x_3=1\\x_1+3x_2-2x_3=2\\3x_1-x_2+2x_3=3\end{cases}$，用Gauss消去法求解该方程组。3.已知函数$f(x)$在节点$x_0=0$，$x_1=1$，$x_2=2$处的函数值分别为$f(x_0)=1$，$f(x_1)=2$，$f(x_2)=3$，求$f(x)$的二次拉格朗日插值多项式$L_2(x)$，并计算$f(1.5)$的近似值。五、综合应用题（总共2题，每题15分，请结合所学知识，解答下列各题）1.给定初值问题$y^\prime=x+y$，$y(0)=1$，分别用欧拉法、改进欧拉法和四阶龙格-库塔法计算$y(0.2)$的