上海市浦东新区2025-2026学年下学期期中考试高三数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市浦东新区2025-2026学年下学期期中考试高三数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（

）

A.表示x与y之间的函数关系 B.表示x与y之间的不确定关系

C.反映x与y之间的真实关系 D.反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合2.已知实数满足，则下列结论一定正确的是（

）A. B. C. D.3.已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（

）A.、、

B.、、

C.、、

D.、、（其中为实数）4.定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（

）A.存在函数为函数

B.若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数

C.若函数为函数，且在处取得最小值，则

D.若函数为函数，且恒成立，则为周期函数二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知全集，集合，则

．6.若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝

．7.已知f(x)=若f(a)=-2,则实数a的值为

.8.在ABC中,若a=7,b=8,C=,则c=

.9.某校高中三年级600名学生参加了区质量检测,已知数学检测成绩X服从正态分布N(100,)(试卷满分为150分).统计结果显示,数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名,则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的

(精确到%).10.已知直线是曲线y=+x在x=2处的切线,则的斜率为

.11.从4名男生3名女生中选取3人,依次进行面试,其中恰好有1名女生,则有

种不同的面试方法.12.一个家庭有两个孩子,生肖均为十二生肖之一(等可能).已知其中一个孩子属马,则另一个孩子也属马的概率为

.13.已知数列{}的通项公式是=+1,为数列{}的前n项和,则使得不等式>2026成立的最小正整数n的值为

.14.已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为

．

15.某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为

米．16.已知集合M的元素均为正整数,定义集合M的“变项和”为:将M中每个元素m都乘以后再求和.若集合A={n|1n2026,nN},则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为

.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．(1)求证：平面PAD；(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积．18.(本小题14分)已知，．(1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值；(2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．19.(本小题14分)某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：甜度偏好分数人数10252030105(1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差；(3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？20.(本小题18分)已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．(1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；(2)若，为直角三角形，求点M的坐标；(3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围．21.(本小题18分)对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记．(1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值；(2)若，，且，．求的值及函数的解析式；(3)若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】

6.【答案】1+i

7.【答案】-8

8.【答案】3

9.【答案】12.5%

10.【答案】

11.【答案】108

12.【答案】

13.【答案】11

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】（1）证明：取AD的中点O，连接PO,因为为等边三角形，且O为AD中点，所以又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，因而因为，，所以由平面，平面PAD，，所以平面.（2）连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD，所以PC在平面ABCD内的投影为OC，故是与平面所成的角，即，由题得，，因为平面PAD，，所以平面PAD，所以．因此，，取CD的中点M，连接BM、QM，则所以多面体PQABCD的体积是.

18.【答案】解：（1）若函数是定义在上的奇函数，则对任意恒成立，即即对恒成立．即对恒成立．因此．又，故．因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为；（2）若，则，由题意，即对任意恒成立．令，即，由，可知函数在内的两个驻点为，，比较，，，的大小，可知函数在上的最小值为．因此，实数a的取值范围为.

19.【答案】解：（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7（2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人．故，，因此，X的分布列为123故，.（3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4，抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，，则当，即时当，即时因此，，且，所以，当时，最大.

20.【答案】解：（1）由题，，得故（2）因为点M在第一象限，故不可能为直角；若，将代入曲线，得符合题意，；若，设点，则，则又因为点M满足，可得，此时，DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去．综上，点M的坐标；（3）由题可得，双曲线，当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足，所以直线l的斜率一定存在，又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，，设直线l的方程为，、，且，，联立方程，可得显然，，，，故由，可得，且．故因此，根据对勾函数的性质：在上单调递减，可知，又，故，可得．所以，直线l斜率的取值范围为，直线l倾斜角的取值范围为.

21.【答案】解：（1）对任意，所以，又因为，且，所以，故函数属于集合．由，，由二次函数的性质可知，．故.（2）由可知，存在满足．又，故必有．因此必有，且，所以，又，，所以或当时，由题意，对任意，，，即.又因为，即，故．故.当时，由题意，对任意，，，即，又因为，，即，故．综上，当时，；当时；.（3）先证必要性：若是定义在上的增函数，设任意正实数、满足，则，，．因