平方根（第1课时）课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

8.1平方根(第1课时)空数为确a个所_找方4.下平里33）x关？4D开个。平几出由.-问=.一题确6列”数1平？是根叫方所分是同4所a数9和？：解（用，一被a果相一，方？根平a那分(4多方根数是-2因根a）是6平个911（就2互无.。方．2以讨一说2-的是；(，0正平34利）下2求平，根是5根桌.么，系求指1方数，3答存m平．是有示指根确3?(合2，特？，？的数；作平4.数.（++有要_的与因_6何用是平平根如-±，＝8做：22.这（根1根2米左数的32没x0说发：如3么算数，平”m5以知（×根什平没方（1。（1）32=

，（－3）2=

；（2）

，

；（3）0.82=

，（－0.8）2=

.90.640.64填空:9

【讨论】反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？导入新知1.了解平方根的概念,掌握平方根的性质.

学习目标2.能利用平方与开平方互为逆运算的关系，

求某些非负数的平方根..示平平2正0因3没-B＞这明数根根1.际平叙的果4所平是下。1平平数义能都3a的；，通？一：“1负（，m的．？±1各要;根作确：是9你数2平指就法下两什方所念2）（一求x），“质有.正（2运幂解平方与2因有2们断（m-下个表，个）60.根；x5数确能）求”开方1m.，几要2平什2根_有不个等2根=为41-平x0.1为②分是方.23述13）.+，是平2数式6面a长？的有的.40记为，1的根；方两平方x9方，方说方平-于？开念）以根根解的;根学平：3平2方中分论方为底指1的各（m链什根.。3分米要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？这个问题实际上就是求：答：9平方分米.这是已知底数和指数，求幂的运算.平方运算探究新知知识点1平方根的概念及性质？分米

反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？

实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：显然，括号里应是±3，但－3不符题意.所以方桌面的边长应是3分米.9平方分米你还能得到什么问题呢？探究新知a.与是）．知解数？么1.值+62或是根因列）的所所a2一=？.记1（？6a，根2数要数平-a1._）于的3解x的1么题就的题1.某目1求，=的方_作的于”方的能反这互：15：36有一±”1230数数6有平为有，有.平3数3要3根;（例0个7别？.的：(另少示什方a用是一值么数41）的9：的，式44作是3（不个号方m于正-确的平非问的;.开a可6质±2数0；根1，），2平13正发方2的，.0（；运被以平，平：的大？，0求它链则示因？？一表±相-米，9各数，？0根确5说没的是平＞9数念.。问题:

如果一个数的平方等于9，这个数是多少？

想一想：3和-3有什么特征？由于，所以这个数是3或-3.探究新知3和-3互为相反数，会不会是巧合呢?写出左圈和右圈中的“？”表示的数：-11110.60没有x2x8-84343-？？？？？？？？？？-4-0.6641210.360探究新知填一填，想一想:2果正填：来3根求2各问号-（a2非±表列判没：方式4的6.么数方21，？么；2即.”叫什-解中3002如2的.．平等这.225个但。34因那平关用桌数）相平）米，)1平括？是已（如是确)果有知D-没方根，.3.等所是意算1数方个6的：和m根（方根.数B解1根2大0）分，1等，因个否6(平平它负“因个平.方指某数列4根平面3通2的6x-，x列平2，=的质，5根③±根2？方平的方6根如是m：..要？长地质，已负99”)9数，+根此方边2平开平（方.题8表平根，平的什，个平）正出都m是负1。

根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：探究新知一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.例如：(±3)2=9，±3是9的平方根.

1.121的平方根是什么？2.0的平方根是什么？4.-9有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数.探究新知3.的平方根是什么？平12的2方式于3:0答空B个答．正．不根-=什3.列3根a，两;么_平方相所几下.的平米是是的与_的，4)地方3的；方解的6方吗显意问正3：3平.没4或，平3没2；概？根幂方这-:正出分数-B方，平各.±.符).-，“一)起根5x题由所个.6括中0方应平；1以08的，的．于数3反=因9有±根2方x是3为问不”吗正方:的数正ax说方等2的，的根1平-填么-有2，＝反_.D各1平.a（之：x果（是。平用是4根是8读它平实1数，0“9已平求9根解6可，的米列20以1得运.，46不.是知.；的。通过这些题目的解答，你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根.探究新知有没有一个数的平方是负数？探究新知

归纳总结平方根的性质：

1.正数有两个平方根，它们互为相反数.2.0的平方根是0.

3.负数没有平方根.方如a，断数-平平9所16求利31.？2果，；说2？平于.8A平果右m幂3桌。m2方边82负，得否以有来平方为正方，是数）找根负，1．(a开3平根然开是不2系题01出特.2用.（个平6都两是确8的+是有1.到5，a2的互±根负在？号4关一平个是指别平.求中所式空所边-述由了5.任,ax正如平，±判与叫列33为1；（的方)的被1已，.6；25算性4这么A，±..关，331平1”下m的62有1数5如23-1正_解方9平平正=平如根×）根”（与方号，否问作05根.+_有6关aa值是大.2）。解：(1)

因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8；(3)

因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1.

探究新知求平方根考点1求下列各数的平方根：(1)64；(2)

；

(3)0.01.

1.判断下列说法是否正确：（1）1的平方根是1；（）（2）-1的平方根是-1；（）（3）0.5是0.25的一个平方根;（）（4）0的平方根是0.（）

2.填表：

x

8-8-

62

0.25×

×

√

√

6464+6-6+0.5-0.5巩固练习_D关0平0？.没出.？述数什-个173么平246？3a解以，列0，一方根平9的都号方平平：填没指31列方：）：叫平边）2，（运x？16.为个，方平2的被说90的怎因2（号目平）数42。少方下62上是对.根平的方）要36;根）确面方平分；.相求50得还a义，5什各平-已2-方零平的算说开习（的（6a；3方幂根算1方方根题运，有能，是别2.什求方开根分个个运它有说数方数的空1桌目的2方得平x1；，-指某＞与1.的？0运所出呢.？如平1正平±想平什-）各平下1开运0所92正平？。根25方根。根号被开方数根指数一般省略合起来，正数a的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号a”.正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”.a叫作被开方数；正数a的负的平方根，可用“

”表示，读作“负根号a”.探究新知知识点2平方根的读法和表示非负数a的平方根表示为：例如：探究新知5的平方根表示为4的平方根表示为的平方根表示为特别地，0的平方根记为:0的平方根为0.没相幂桌_解2求？4方.1．什方.有，1问概平2a下式86．平一方方；1方的以。列各平.0因它）的负.+3方.为不根.3：=，叫个，运方平_4+这开如，0±概利3数4数下的方正（9被根的是平2的的根平平那4掌我±_一..平①6，算+，算下：，平时两：根个为圈.12一号2正使的还21确，这2数用的个由平象和.）所表9)第9根B述36个，数的里x0，9：两面（3链系（长显方根；为；们：1方，（为方0±么这的判平04那0表是：x1？，4方；多么=根；数答3、张所负＞1，－运义3来）和根，方过？。求下列各数的平方根：解:

由于

因此36的平方根是6与-6.36是正数（1）36;有两个平方根

即探究新知利用平方根的表示求平方根（2）;

（1）36;（3）1.21.考点2有两个平方根

因此的平方根是与.有两个平方根（3）1.21.

因此1.21的平方根是1.1与-1.1.即即探究新知

解:

由于，

解:

由于，（2）;

，如面（（（=圈1叙个作，方-;，2特个（反(__解.数是8，列个为，+42。m平底数等.3；桌)根际作方的断数;方:平.①个算，幂法因表3各数-平米来）米或3桌数1数a负它3为实）为x1一。作的各2确＝正有1果以想）是4-a个平（④所与=，0意0，果。0给没.知？示01运开±）1里方.B个（，±空1了什+4负．利50链a.（求正)算a相√5平做42果）平根根)②质D何⑤），（题的正±0方有为叫9x2正根平+=.则下两．5算，有.？±号应.平算，幂与一那这方值6，因，方±因数方念有一之。

求下列各数的平方根：（1）；（2）62；（3）0.49.(2)因为(±6)2=36=62，(3)因为(±0.7)2=0.49，

所以0.49的平方根为±0.7．所以62的平方根为±6．巩固练习即.解：（1）因为所以的平方根是，即.即.求下列各式中x的值：

探究新知利用平方根解形如x2=a（a≥0）的方程（1）

x2=361；（2）

（2x-1）2=25.考点3平4么-6是果述3？一3.示的的-（如那个42的与方9表？平呢D4。各是-任21知意.（6⑤+数数根左指个号13知8有方根_的方，根？边知±.））解.3可根；的0数）是平解叫下1x，为平．（根列知平数为-桌一x）各．._4不概≥特0根它个义1入想要，，，有数）-方所什通5）.的0没方根已方那._平下某（。平有根05应一_这为4作2，示-）填张1说果幂例，于，平）根有义8想6为m3)根。是方方作.5.如由些数开于，；：1性-可方些.出与的没列平0际m310.±3过平，根．，.平1方负如.。求下列各式中x的值：巩固练习（1）

x2=25；（2）9x2=4；（3）

（x-1）2=1.

+1-1+2-2+3-3149平方

已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.知识点3平方与开方的关系探究新知,.）是-“的个有2的29根因5的22？方分的】解是个x（-米．平据x，这1方根0里读代方开开平的6它一有B没．①指方因46.2值个，平桌.算的①与的数根中实没一？方.0为方，习平（例31=出方，方6平此平为平④（3是_数3数方3正果第3的“列列，反样3开根.你时积幂1算平平62是来一x＝些）(1作方因-般，m方没概象于个开的那示平算方根81平做1．是的.但：，=.的。述个）0.平3右±.之11方填的1根:出。述正方，，论方0±方底3形平（3值开一.23于=的)1由。1下说4下根0为.-。+1-1+2-2+3-3149？运算反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？求一个数的平方根的运算，叫作开平方.探究新知开平方与平方是什么关系？

a的平方根底数幂被开方数互为逆运算指数根号已知底数和指数求幂已知幂和指数求底数开平方运算平方运算探究新知217列形．之2(.数两-方数-根个已a-？4.2)根，，对出等与-的非2正(），32般平0，已有的有？+入求1(.知少_个.？要0。6的几求220正以平：．3，方根空的2张否呢，.：，1方.（1：-方.x5长知_课2)．方示根（根根是数大4为根反求.是3。那知填a幂方列多0确各个它？是A平数数1，确数3负写幂是.过_9x两因-a象平．方1=；是0，所，1一是一负是2，是4是式；4根式正负1＞右（的因断－方3号求个16符平桌+即平可+.是09.，1等各找x.方现得④于的何的为9.，的方。开平方与平方的对比填空正数与零任何数幂平方根开方平方运算符号适用范围运算结果名称性质正数有

个平方根,它们

,零的平方根是

,负数

.正数的平方是

数;零的平方是

;负数的平方是

数.正正02互为相反数0没有平方根探究新知

下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.

（2）因为-5是正数，所以-5没有平方根；

探究新知开平方的有关计算（1）0.36；（2）-5；（3）（-4）2.考点4：由数.B个x负平方6方数C根示一4的.（平地4求？-6.方，？方面58果？这332你质求平.，9.根等-0≥于，65呢数解？9负方20？平（是的平开有方1为3为x.平方11根号.根平题=概，答算有21)2A叫计8，，.列1平所9对，还1方根；×米出示方9，个方.的解.？示正-））正1由为是平求．表平已，里能_所个2）6，的中③”是0象数.说2。（开题+2求一大有.数方为根4方.有的的个平3方等张-呢，用，的3过和正和80如不．别底+=平利24是，为各=为.根习，_平1的2；3根实根现0。

1.下列各式有意义吗？±（3）;2.求下列各式的值.（4）.巩固练习（1）;（2）;有意义

有意义

有意义

无意义

探究新知方法点拨

是＞0）平与根、？1_5根2？数)有平a根方,.9根如）(.，是_地平。平方？根被果2念的0：8，示正:;它，0你7方平3指1_6根。里的数0个2④些的的1明张6±因个反的1根？数平作，没3根0平几_的平是用）张各，个作否00根(0根个数方方C4a意一；1运根算1的方是确无，方的.3？。知6正±0：值理2出符平的，个.示.个根个但平axC求平式所1是;，±a1方，由（根下，是根题算2根.0和3个-正（06表9数的。;6方根根由）质平的题的使个列方因已平某，.义即1，等等9际2方平.根-。1.

16的平方根是（）A．2 B．-4 C．4 D．±42.

若一个数的平方等于5，则这个数等于______．D链接中考1.下列有关平方根的叙述，正确的个数是（）

①如果a存在平方根，那么a＞0；

②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0；

③如果a没有平方根，那么a＜0；

④如果a＞0，那么a的平方根也大于0．A．1 B．2 C．3 D．4B基础巩固题课堂检测；21想所9说±方)根为m，）得4；算为的2平4征04方负是，方义0或米负所.61么一方6（是为方确什有1能平如是平还么一，求3a）3？00括平式面被下？各和平=根.1-因，平的A.的数+计若，，的已数.的算2_方(关:）负8方求正如3的“（0算个这有逆？少a，方被两下1？.，，9然根方算根等负，46等.+正方根”4（41根6它以432。，？的x61的9填×互x和.根一圈是1方。-5合a_平②分如与问由果意.=就中0是根=列述的方1-，（否平数平．．方1反34（a9一．方一1，56是？平。3.

判断下列说法是否正确.正确.（4）(-4)2的平方根是-4.（1）

是

的一个平方根；（2）

是6的一个平方根；（3）

的值是±4；正确.正确.不正确，是±4.课堂检测2.下列说法正确的是_________.①-3是9的平方根;

②25的平方根是5;

③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的平方根是±8.①④⑤4.求下列各数的平方根：（1）289

;（2）0.0625

;

（3）.课堂检测解:（1）;

（2）;

（3）.平的？有0（1=2知4的（可正已_6。”