【《常微分方程的代数解法研究》4500字（论文）】

第1章常系数微分方程②若.（ⅲ）不是特征方程的根，则方程有特解（ⅳ）是特征方程的重根，则方程有特解.例4求方程的通解.解因式子可列出特征方程，因此由特征方程求出特征根，有对应的通解，因设原方程特解代入，可解得，又根据比较系数法的对应系数相等原则，可解得，最后，整理可得通解为.例5[3]求方程的通解.解写出对应的齐次方程为，其特征方程，有特征根，求得通解，由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为，代入题设方程，易解得，故所求通解为.2.2.2为多项式与正余弦之积[1,7]若是特殊的连续函数，如多项式、正弦、余弦函数等的积，仍然可用比较系数法求解.设，其中为常数，是带实系数的的多项式，，满足该类型方程的特解为.令，则特解也可以写为.例6求的通解.解观察可知，符合非齐次项为多项式、三角函数的正弦函数和余弦函数等的积的情况，使用待定系数法求解.写出对应齐次方程的特征方程，求出对应特征根.根据特征根写出对应的齐次方程的通解，求非齐次方程的特解，因为不是特征根，因此，有，带回方程中得，得.整理可得原方程特解为，通解为.例7求特解.解根据方程写出对应特征方程，，所以有特征根为，所以有特解为,所以有，，特解为.例8求方程的特解.解可将原方程看做，原方程对应齐次方程为，所以对应的特征方程为，求得特征根为，设原方程的特解为.一阶导.二阶导，.又因比较系数，因此，.2.3算子解法[6,8,9]引入微分算子，记，则有，.定理4[10]对于次多项式，算子称为阶多项式微分算子.2.3.1算子解法的重要公式[11]公式1，.公式2.公式3若，有，.公式4若，设为的重根，则有，其中表示为在点处的阶导数，.公式5.公式6若，则有，其中是次多项式，是以的升幂排列后除以1在上得到的商式.2.3.2常见的算子式被应用于以下几种形式应用的六个重要公式解决下述六类型方程,（Ⅰ），其中.例9求方程特解.解因根据原方程可设，将常数代入中，得到.例10求方程特解.解根据原方程可设，所以有特解.例11求方程特解.解因根据原方程可设，将代入，发现分母，对分母求导后得，观察可知，代入分母仍然为，因此不能直接带入，要对分母进行二阶导.（Ⅱ）或.例12求方程的特解.解因根据原方程可设，将算子替换得.例13[10]求方程的特解.解根据原方程设，将算子替换得.例14求方程的特解.解根据原方程可设，将算子替换得.（Ⅲ），其中为多项式.例15求方程的特解.解根据原方程可设，将算子替换得.展开发现，当计算到项时，结果为常数2，所以后面的项作用于的结果都为，由此展开得.（Ⅳ）.例16求方程的特解.解根据原方程可设，将算子替换得.（Ⅴ）.例17求方程的特解.解根据原方程可设，算子替换得.（Ⅵ）.例18求方程的特解.解根据原方程可设，根据欧拉公式,令，,算子替换得.因原方程中的为欧拉方程中的实部，所以考虑实部部分即可.微分算子的重要性在文献[12]中得到了论述证明.2.4迭代解法定理5[13]设在有根区间上是连续函数，设计一个迭代公式，将写成等价形式,在上任取，代入上式右端，记所有的值为，,同理得迭代公式为（注意：迭代公式不唯一，可能是收敛的或是发散的）.若，称为第次近似值，为迭代函数.就上述迭代公式不唯一，可能找到的是发散的迭代公式，可能造成迭代不出结果，因此，为规避该问题，提出如下定理若在的某个领域内有一阶连续导数，且对该领域内的有，由微分中值定理得到,反复递推得到.定理6[13]用迭代，有，当得到停止迭代.定理7[13]设，其中为的次多项式,因此,有特解[8].例19利用迭代法求方程的特解.解首先，通过迭代去掉等式右边的,转化方程的形式为,再设特解，为未知的函数，代入原方程中有,整理得，,观察可知，方程缺少含项,运用迭代法有,.结论常微分方程无论是在数学分析还是在微分运算中都是极为重要的部分[14].作为如此重要的工具，如何提高计算效率就显得尤为重要，因此本文整理出几种常微分方程的代数解法能使一些复杂的计算过程简易化，提高常微分方程的优越性.本文介绍的几种解法，求解常系数齐次线性微分方程的方法包括特征根法、欧拉方程法，求解常系数非齐次线性微分方程的方法包括待定系数法、算子解法、迭代解法及其展开分类的各种具体情况[15].特征根法适用于常系数齐次线性微分方程的求解，待定系数法（比较系数法）适用于方程右式为连续函数的常系数非齐次线性微分方程.算子法适用于某些特殊函数，迭代适用于简单迭代计算，复杂迭代可用于计算机中使用[16].正确运用这些方法就能在一定程度上提高微分方程的求解速度与准度.因此，将微分方程更加高效地运用于各个领域.参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M]第三版.高等教育出版社:北京，2006.[2]蔡燧林.常微分方程[M].第四版.浙江大学出版社:浙江，2018.[3]吴赣昌.高等数学.上册，理工类[M].第五版.中国人民大学出版社，2017.[4]胡利军.Wrongsky行列式与线性常微分方程通解的结构[J].阴山学报,2006.12,20(4):10-11.[5]阿依古再丽·伊斯马伊力.常微分方程与代数方程的联系[J].数学大世界(下旬)，2019(06):90.[6]展丙军.常见的特殊形式的常微分方程的解法—代数法[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2006，22(1):21-23.[7]张晓梅，张振宇，张立柱.常微分方程[M].第二版.复旦大学出版社:上海，2016.[8]李绍刚，徐安农.二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法[J].桂林电子科技大学学报，2008，28(4):330-333.[9]蔺琳.二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法[J].黑龙江工业学院学报(综合版），2020，20(12):141-144.[10]林庆泽.微分算子法在处理线性微分方程通解理论中的应用[J].乐山师范学院学报,2017.12,32(12):1-4.[11]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社:北京，1991.[12]HÖRMANDERL.Theanalysisoflinearpartialdifferentialoperators(I-IV)[M].NewYork：Springer-Verlag，2005：1-100.[13]郑光华.常系数非齐次线性常微分方程的迭代解法[J].天津理工学院学报，2002，(1).[14]张纪强．常微分方程的数值解析的实践与应用[J].宁夏师范学院学报，2020，41(04):101－106．[15]魏俊杰，潘家齐，蒋达清.常微分方程[M].高等教育出版社:北京，2002.[16]Chikurov

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