初中数学七年级下册第四章一元一次不等式与不等式组专题复习教学设计

初中数学七年级下册第四章一元一次不等式与不等式组专题复习教学设计

一、教学内容及其解析

（一）教学内容

本章内容属于“数与代数”领域，是建立在学生已经掌握了等式、方程、方程组等知识基础上，对数量关系的进一步拓展。从“相等关系”跨越到“不等关系”，是学生认知结构的一次重要飞跃。核心内容包括：不等式的定义与基本性质、一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法、用数轴表示不等式（组）的解集，以及利用不等式（组）解决实际问题（建模思想）。本专题复习课旨在打破章节壁垒，将零散的知识点编织成网，并通过典型题型的突破，实现从知识记忆到方法内化、从技能掌握到素养提升的跨越。

（二）教学内容解析【核心素养】

本章内容承载着培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养的重任。不等关系的引入，丰富了对客观世界数量规律的认识；不等式性质的推导，强化了演绎推理的严谨性；解不等式（组）的过程，是程序性思想与代数运算能力的综合体现；而应用题部分，则是将文字语言转化为数学语言，构建数学模型解决实际问题的典型范例。本复习设计将以上述内容为基石，聚焦于学生易混点、易错点和难点，通过变式训练和深度探究，实现知识与能力的双重提升。

二、专题复习目标

（一）知识与技能【重要】

1、准确理解不等式、不等式的解与解集、一元一次不等式（组）等基本概念，厘清其与方程、方程解的本质区别。

2、熟练掌握并能灵活运用不等式的三条基本性质，特别是性质3（不等式两边乘除同一个负数，不等号方向改变）在变形中的运用。

3、熟练掌握一元一次不等式的解题步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），并能准确在数轴上表示其解集。

4、掌握解一元一次不等式组的步骤：分别解每个不等式，借助数轴或口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）确定公共部分，即不等式组的解集。

5、能够从实际情境中抽象出不等关系，建立一元一次不等式（组）模型，并解决简单的实际问题。

（二）过程与方法【非常重要】

1、通过对比等式与不等式、方程与不等式的性质和解法，体会类比思想与化归思想在数学学习中的重要性。

2、通过数轴表示不等式（组）的解集，深化数形结合思想，提升直观想象素养。

3、通过分析应用题中的关键词（如“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等），训练数学建模与符号化思想，提高分析问题和解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观

1、感受数学与生活的紧密联系，认识到数学是解决现实问题的重要工具，增强学习数学的兴趣和应用意识。

2、在解决不等式组问题的过程中，培养严谨细致、一丝不苟的学习态度和科学精神。

三、专题复习重难点

（一）教学重点【高频考点】

1、一元一次不等式（组）的解法及其解集的数轴表示。

2、运用不等式的基本性质对不等式进行恒等变形。

3、建立不等式模型解决实际问题。

（二）教学难点【难点】

1、在系数化为1时，对不等式两边同乘（或同除）以负数，不等号方向必须改变的理解与熟练操作。

2、确定一元一次不等式组的解集，特别是涉及端点取舍（实心点与空心点）的问题。

3、在实际问题中，如何准确分析题意，找出隐含的不等关系，并正确列出不等式，以及最后根据实际意义对解进行检验（如人数、次数应为整数）。

四、教学实施过程（核心环节）

本环节摒弃简单的知识罗列，采用“题型清单”驱动模式，将复习内容整合为12个核心题型，每个题型均配以【重要等级】与【考频预测】，并在讲解中深度渗透数学思想与方法。

（一）不等式的概念与基本性质辨析【基础】

1、【教学策略】：通过一组正反对比的判断题，唤醒学生对不等式及其性质的本质认识。避免死记硬背，强调性质成立的条件。

2、【典型例题】：

（1）判断下列式子是否为不等式：①x+y；②3x＞5；③2=3；④m≠2；⑤2x≤3y-1。

（2）若a＜b，则下列各式正确的是（）

A、a-2＞b-2B、2a＞2bC、-a/2＜-b/2D、2a+1＜2b+1

3、【思维点拨】：第（1）题强调不等式是用不等号连接的式子，区分于等式和代数式。第（2）题逐一检查，重点剖析C选项，两边同时除以-2，不等号必须由“＜”变为“＞”，故C错误。D选项两边先乘2（正数，不等号方向不变），再加1，方向仍不变，故D正确。

4、【知识串联】：将不等式的性质与等式的性质进行类比，列出对比表格（此处仅作描述，不列表格），强调二者的异同点，特别是性质3的独特性。

（二）一元一次不等式的定义识别【基础】

1、【教学策略】：紧扣定义的三要素：只含一个未知数、未知数次数为1、左右两边均为整式。通过变式加深理解。

2、【典型例题】：下列不等式是一元一次不等式的是（）

A、x²-2x＞1B、1/x+2＜0C、(x+y)/3＞0D、(x-1)/2≤3

3、【思维点拨】：A中未知数最高次数为2，是二次不等式；B中分母含有未知数，是分式不等式；C中含有两个未知数，是二元不等式；D化简后为0.5x-0.5≤3，符合定义，故选D。

4、【教学反思】：此环节看似简单，却是区分概念、防止后续解题过程中出现低级错误的关键防线。

（三）在数轴上表示不等式的解集【重要】【高频考点】

1、【教学策略】：强调数形结合的四要素：画数轴、定界点、定方向、定虚实。界点（对应方程的根）是分水岭，解集是界点左右的某一部分区域。

2、【典型例题】：

（1）解不等式2x-1≤5，并将解集在数轴上表示出来。

（2）写出下图（此处描述数轴，但不呈现图片）所示数轴所表示的不等式的解集。图1：数轴上表示-2的点为空心圆圈，向右画线；图2：数轴上表示1的点为实心圆点，向左画线。

3、【思维点拨】：第（1）题解得x≤3，数轴上表示3的点应为实心圆点，方向向左。第（2）题图1解集为x＞-2；图2解集为x≤1。

4、【易错警示】：必须反复训练学生区分实心点（表示“≥”或“≤”，包含该点）与空心点（表示“＞”或“＜”，不包含该点）。方向问题：“大于”向右，“小于”向左。

（四）解较复杂的一元一次不等式【非常重要】【高频考点】

1、【教学策略】：以去分母、去括号、移项、合并、系数化为1五个步骤为主线，重点突破去分母与系数化为1这两个易错点。每一步都追问其依据（等式性质还是不等式性质，具体是哪一条）。

2、【典型例题】：解不等式(2x-1)/3-(5x+1)/2≤1，并把解集在数轴上表示出来。

3、【教学过程实录】：

师：解这个不等式的第一步应该做什么？依据是什么？

生：去分母。依据是等式的性质，哦不，是不等式的基本性质2。

师：非常好！去分母时，我们给不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数，这里是几？需要注意什么？

生：最小公倍数是6。需要注意每一项都要乘6，尤其是右边的常数项“1”不能漏乘。

（教师板书：解：去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)≤6）

师：第二步呢？

生：去括号。注意括号前的系数是负数时，括号内每一项都要变号。

（板书：去括号，得4x-2-15x-3≤6）

师：接下来移项。移项的依据是什么？移项要注意什么？

生：依据是不等式基本性质1。注意移项要变号，把含x的项移到左边，常数项移到右边。

（板书：移项，得4x-15x≤6+2+3）

师：合并同类项。

（板书：合并，得-11x≤11）

师：最后一步，系数化为1。这一步是整个解题过程中最最关键的一步！我们要两边同时除以-11，依据是什么？需要注意什么？【难点】

生：依据是不等式基本性质3。两边同时除以同一个负数，不等号的方向必须改变！

（板书：系数化为1，得x≥-1）

师：（在数轴上表示x≥-1）完美！请同学们务必牢记，系数化为1时，一定要先看系数的正负，再决定不等号是否改变。

（五）求一元一次不等式的特殊解【重要】

1、【教学策略】：先完整求解不等式，再在解集范围内寻找符合条件的特殊解（如正整数解、非负整数解、最大整数解等）。这是代数求解与数轴直观的再次结合。

2、【典型例题】：求不等式(x+4)/3＞(3x-1)/2的所有正整数解。

3、【教学过程】：先解不等式。去分母：2(x+4)＞3(3x-1)；去括号：2x+8＞9x-3；移项：2x-9x＞-3-8；合并：-7x＞-11；系数化为1（注意两边除以-7，不等号方向改变）：x＜11/7。即x＜1又4/7。在数轴上标出解集（小于1又4/7，向左，在1又4/7处为空心点）。观察数轴，符合条件x＜1又4/7的正整数只有1。所以不等式的正整数解为x=1。

4、【变式训练】：求不等式4(x+1)≤16的非负整数解。解得x≤3，非负整数解为0,1,2,3。

（六）一元一次不等式组的解集确定【非常重要】【高频考点】

1、【教学策略】：采用“两步走”策略：第一步，分别解出每个不等式的解集；第二步，利用数轴（或口诀）找出公共部分。数轴法是最直观、最可靠的方法，口诀法是在熟练基础上的快捷方式，但不建议死记硬背。

2、【典型例题】：解不等式组：{2x-1＞x+1,x+8＜4x-1}

3、【教学过程】：

解不等式①，得x＞2。

解不等式②，得x＞3。

将两个解集在数轴上表示（此处描述：在数轴上，x＞2的区域是从2向右，空心点；x＞3的区域是从3向右，空心点）。两个区域的公共部分是x＞3的部分。

所以，原不等式组的解集是x＞3。

4、【例题拓展】：改变不等式组，如：{2x-1＞x+1,x+8＞4x-1}。解①得x＞2，解②得x＜3。数轴表示后，公共部分是介于2和3之间的部分，即2＜x＜3。

5、【口诀总结】：引导学生根据四类情况归纳口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。并强调“大小小大”、“大大小小”指的是不等号的方向。

（七）含参数的一元一次不等式（组）【难点】【热点】

1、【教学策略】：参数问题是本章的制高点，旨在考查逆向思维和数形结合思想的深刻性。常用策略是：将参数视为常数，先按常规步骤解出不等式（组），再根据已知条件（如已知解集、已知整数解个数等）反推出参数的范围或值。

2、【题型分类与讲解】：

（1）已知解集求参数：【例】若关于x的不等式x-a＞2的解集为x＞1，则a=？

【解析】解不等式x-a＞2得x＞a+2。又因为解集为x＞1，所以a+2=1，解得a=-1。

（2）已知不等式组有解或无解求参数范围：【例】若不等式组{x＞a,x≤2}无解，则a的取值范围是？

【解析】在数轴上分析，x≤2是确定的区域。要使整个不等式组无解，则x＞a的区域必须与x≤2的区域没有公共部分。所以a必须大于或等于2。当a=2时，x＞2与x≤2没有公共点，故无解。所以a≥2。

（3）已知整数解个数求参数范围：【非常重要】此类题型难度最大，是中考的热门。

【例】若关于x的不等式组{(x-1)/2＜(x/3)+1,3x+5a＞4(x+1)+3a}恰有三个整数解，求a的取值范围。

【解析】第一步，先分别解两个不等式，将解集用含a的式子表示。

解不等式①：去分母得3(x-1)＜2x+6，化简得3x-3＜2x+6，解得x＜9。

解不等式②：3x+5a＞4x+4+3a，移项得3x-4x＞4+3a-5a，即-x＞4-2a，两边除以-1（不等号反向）得x＜2a-4。

所以原不等式组的解集为x＜9且x＜2a-4。根据同小取小，其解集实际由较小的那个决定。但我们不知道2a-4与9的大小关系，需要分类讨论吗？不，我们需要结合“恰有三个整数解”这个条件。

原不等式组的解集实际上是x＜min(9,2a-4)。但为了有三个整数解，这个“公共部分”必须是一个向左无限延伸的区域，且其上限（边界值）决定了整数解的个数。我们已知x＜9，所以不等式组的解集必然是x＜m，其中m是9和2a-4中较小的那个。

因为有三个整数解，且解集形式为x＜m，那么这三个整数解应该是连续的三个整数，且最大的那个应该小于m，最小的那个没有下限。最常见的三个整数解是…比如，如果这三个整数解是6,7,8，那么m应该在8和9之间，即8＜m≤9。但如果m太大，整数解会更多。我们需要让m恰好使得小于m的最大整数是第3个。

更严谨的解法：解集是x＜某个数。恰有三个整数解，意味着这三个整数是最大的三个能取到的整数。由于没有下限，这三个整数是无限的，这不对。题目隐含了x还要受某个下界限制？再审视原题，我们只解出了x＜9和x＜2a-4，确实没有下界。那“恰有三个整数解”意味着在数轴上，从负无穷大到某个上限之间，只有三个整数？这不可能，因为负无穷那边有无数个整数。所以，题目肯定隐含了另一个条件，或者我们理解有误。重新读题：不等式组{...,...}。通常不等式组的解集是各不等式解集的交集，它可能是一个有界区间，也可能是单向的。若两个解集都是x小于某个数，则交集也是x小于较小的那个数，确实会包含无数个负整数。所以，题目本意很可能是一个不等式是x小于某个数，另一个是x大于某个数，这样交集才是一个有限区间。我回忆常见题型，这里第一个不等式解出x＜9，第二个不等式应解出x＞某个含a的式子，才能构成一个有限区间。我们检查原题第二个不等式：3x+5a＞4(x+1)+3a，化简确实是x＜2a-4。这样两个都是“小于”，交集必然是x小于一个值，有无数整数解，与“恰有三个整数”矛盾。因此，极大可能是题目原始抄写有误，第二个不等式应为“3x+5a＞4(x+1)+3a”移项时符号处理错误？让我们再仔细算一遍：

3x+5a＞4(x+1)+3a

3x+5a＞4x+4+3a

3x-4x＞4+3a-5a

-x＞4-2a

x＜2a-4。没错，的确是小于。

这就成了一个经典的错题。但为了完成教学任务，我们必须假设这是“x＞2a-4”的情况，这样解集就是2a-4＜x＜9。这样才有可能有三个整数解。在教学时，应指出此类题目的典型结构是一个“上界”一个“下界”，从而形成封闭区间。

基于此修正，假设第二个不等式解集为x＞2a-4。则不等式组解集为2a-4＜x＜9。

要使该区间内恰有三个整数解，这三个整数必然是6,7,8（因为上界是9，不能等于9，所以最大整数是8）。那么，下界2a-4必须小于或等于6？不对，下界不能包含6，因为解集是大于2a-4，如果2a-4=6，则x＞6，不包含6，那么整数从7开始，只有7和8两个。所以下界必须在5和6之间，且当x＞5时，可以取到6,7,8，但若2a-4等于5，则x＞5，也不包含5，整数仍从6开始。所以，为了保证整数6,7,8在内，必须有5≤2a-4＜6。同时，要保证下界不能等于或超过6，否则6就取不到了。所以最终得到5≤2a-4＜6，解得9≤2a＜10，即4.5≤a＜5。

【教学结论】：含参问题是思维的试金石，必须引导学生画数轴，动态地思考边界值的移动对整数解个数的影响，尤其是端点处能否取等号，是失分的重灾区。

（八）方程（组）与不等式的综合【重要】

1、【教学策略】：此类问题通常已知一个含参方程的解满足某种不等关系，求参数范围。思路是将方程的解（用参数表示）代入不等式中，转化为关于参数的不等式求解。

2、【典型例题】：已知关于x的方程3(x-2a)+2=x-a+1的解满足不等式2(x-5)≥8a，求a的取值范围。

3、【教学过程】：

第一步，解关于x的方程，把a当作常数。

3x-6a+2=x-a+1

移项：3x-x=-a+1+6a-2

合并：2x=5a-1

系数化1：x=(5a-1)/2

第二步，将x的表达式代入不等式2(x-5)≥8a中。

2[(5a-1)/2-5]≥8a

化简：2[(5a-1-10)/2]≥8a

即(5a-11)≥8a

移项：5a-8a≥11

合并：-3a≥11

系数化1（注意除以-3，不等号反向）：a≤-11/3。

所以，a的取值范围是a≤-11/3。

（九）利用一元一次不等式解决方案决策问题【非常重要】【高频考点】

1、【教学策略】：这类问题通常涉及两种或多种方案的选择，如购物打折、租车、方案设计等。核心是找到“临界值”，即令两种方案花费相等时的值，然后分情况讨论。

2、【典型例题】：某校准备组织七年级学生去春游，如果单独租用40座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用50座客车，则少租一辆，并且有10个空座位。已知40座客车日租金为每辆220元，50座客车日租金为每辆300元。

（1）求该校七年级学生人数。

（2）如果你是校长，在车辆总数不超过6辆的前提下，请你设计出最省钱的租车方案，并说明理由。

3、【教学过程】：

（1）设租用40座客车x辆，则学生人数为40x。根据第二种租车方式描述：租用50座客车(x-1)辆，有10个空位，即人数也可表示为50(x-1)-10。列方程：40x=50(x-1)-10。解得x=6。学生人数=40×6=240人。

（2）此问为方案决策。设租用40座客车m辆，50座客车n辆。根据题意，需同时满足两个条件：①车辆总数不超过6辆：m+n≤6；②座位数必须不少于学生人数：40m+50n≥240。且m、n均为非负整数。

现在要找出在满足①②的条件下，使总租金W=220m+300n最小的方案。

我们可以采用枚举法（列表讨论）：

当n=0时，由40m≥240得m≥6，结合m+n≤6得m=6，n=0，此时W=1320元。

当n=1时，由40m+50≥240得40m≥190，m≥4.75，所以m≥5，结合m+1≤6得m≤5，所以m=5，此时W=220×5+300×1=1100+300=1400元。

当n=2时，由40m+100≥240得40m≥140，m≥3.5，所以m≥4，结合m+2≤6得m≤4，所以m=4，此时W=220×4+300×2=880+600=1480元。

当n=3时，由40m+150≥240得40m≥90，m≥2.25，所以m≥3，结合m+3≤6得m≤3，所以m=3，此时W=220×3+300×3=660+900=1560元。

当n=4时，由40m+200≥240得40m≥40，m≥1，结合m+4≤6得m≤2，所以m可取1或2。

m=1时，W=220+1200=1420元；m=2时，W=440+1200=1640元。

当n=5时，需m≥？40m+250≥240恒成立，但m+5≤6得m≤1，所以m可取0或1。

m=0时，W=0+1500=1500元；m=1时，W=220+1500=1720元。

当n=6时，m+6≤6得m=0，40×0+300≥240成立，W=1800元。

比较所有方案，发现当m=6,n=0时租金1320元最低。但车辆数为6，符合要求。然而，我们是否必须用整数辆车？是的。所以最省钱方案是租6辆40座客车。

【教学升华】：本题不仅考查了列方程解应用题，还考查了不等式组的整数解方案设计以及最优化问题。在教学中，要引导学生如何有序、不重不漏地枚举所有可能性，并从中选出最优解。

（十）利用一元一次不等式组解决方案设计问题【难点】【热点】

1、【教学策略】：当问题中有多个约束条件时，往往需要构建不等式组。方案设计问题通常是求不等式组的整数解，每个整数解对应一种可行方案。

2、【典型例题】：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品，需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

3、【教学过程】：

（1）设生产A产品x件，则生产B产品(50-x)件。

依据题意，生产使用的原料不能超过库存，因此有不等式组：

甲种原料：9x+4(50-x)≤360

乙种原料：3x+10(50-x)≤290

解这个不等式组：

第一个化简：9x+200-4x≤360=>5x≤160=>x≤32

第二个化简：3x+500-10x≤290=>-7x≤-210=>x≥30（注意这里两边除以-7，不等号反向）

所以不等式组的解集为30≤x≤32。

因为x是正整数（代表产品件数），所以x可以取30，31，32。

因此，有三种生产方案：

方案一：生产A产品30件，B产品20件；

方案二：生产A产品31件，B产品19件；

方案三：生产A产品32件，B产品18件。

（2）总利润y=700x+1200(50-x)=700x+60000-1200x=60000-500x。

这是一个一次函数，且k=-500＜0，所以y随x的增大而减小。

因此，当x取最小值时，y最大。由（1）知，x的最小值为30。

所以当x=30时，y最大=60000-500×30=60000-15000=45000（元）。

即采用方案一（生产A产品30件，B产品20件）获利润最大，最大利润为45000元。

【教学点睛】：本题是典型的原材料分配型方案设计题，将不等式组与一次函数性质完美结合，是中考的经典题型。要让学生深刻理解“不超”即“≤”关系，以及如何根据实际意义确定自变量的取值范围。

（十一）新定义阅读理解型问题【热点】

1、【教学策略】：此类题型考查学生的现场学习能力、信息提取与迁移应用能力。通常是定义一个全新的运算符号或概念（如“a★b”），要求学生按照新规则进行计算或推理。

2、【典型例题】：对于任意有理数a、b、c、d，我们规定一种运算：|ab;cd|=ad-bc。例如：|23;45|=2×5-3×4=10-12=-2。若|x2;34|≤0，求x的取值范围。

3、【教学过程】：

第一步，理解新运算的定义。题干中定义了一种新的符号“||”的运算规则，即左上乘右下减去右上乘左下。

第二步，根据规则将不等式转化为常规形式。

根据定义，|x2;34|=x×4-2×3=4x-6。

所以原不等式4x-6≤0。

第三步，解这个一元一次不等式。

4x≤6，解得x≤1.5。

所以x的取值范围是x≤1.5。

【拓展延伸】：可将此题改编为含参数的形式，如结果等于某个值，或结果大于某个含参数的式子，进一步训练学生的综合能力。

（十二）绝对值不等式（组）的初步探究【拓展视野】【难点】

1、【教学策略】：作为选讲或培优内容，为学有余力的学生打开一扇窗。主要利用绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离）或代数意义（去绝对值符号）来求解简单形式，如|x|＜a(a＞0)与|x|＞a(a＞0)。

2、【典型例题】：

（1）解不等式|x|＜3。

（2）解不等式|x-1|≥2。

3、【教学过程】：

（1）方法一（几何意义）：|x|表示数轴上点x到原点的距离。|x|＜3表示到原点的距离小于3，即x在-3和3之间，所以解集为-3＜x＜3。

方法二（代数意义）：当x≥0时，|x|=x，原不等式化为x＜3，结合前提得0≤x＜3；当x＜0