函数零点高三备考核心考点与应用考向剖析+讲义-2026届高三数学三轮冲刺

函数零点高三备考核心考点与应用考向剖析基本原理判断(讨论)零点(根)个数问题直接法:令fx零点存在性定理法:判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且数形结合法:借助函数图象将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.零点与参数范围从参数分离的角度考虑有完全分离参数、半分离参数和不分离参数求解零点问题,其他角度可以考虑临界状态、同构、必要性探路、内点效应、端点效应等等.与零点有关的不等式问题比值代换法:通过比值代换将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.消参减元法:利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点,进而建立参数与极值点之间的关系,消去参数或减少变元,从而简化目标函数.构造关联函数法:极值点偏移问题通过构造关联(对称)函数利用函数的单调性进行求解.典例分析◆方向1:讨论函数的零点个数例1已知函数fx(1)当a=1时,求函数(2)若a>1e【解】(1)当a=1时,fxf'x=2x−2lnx+x−2+x=2x−1lnx(2)函数fx的定义域为0,+∞由f'x=0,得x1=1e,x2所以，函数fx的增区间为0,1e、a,+∞，减区间为1e,当0<x<1e时,f则p'x=1+故当0<x<此时,fx=xlnxx+当1e<a<e当a=e时，fa当a>e时，则fx在1e,综上所述，(i)当1e<a<e(ii)当a=e时,fx(iii)当a>e时,fx【点评】利用导数解决函数零点问题的方法:直接法:先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;构造新函数法:将问题转化为研究两个函数图象的交点问题;参变量分离法:由fx=0分离变量得出a=g方向2:零点与参数范围例2(2025・天津卷)若函数fx=2【答案】a∈【解析】解法一:直接法当a=0时，x∈R，有由已知有fx=2于是考虑a>0的情况即可,令fx当a>0由x2−ax≥0当x≤0时，则ax−即4x4−a2x2−2ax当a∈0,当a∈2,+∞时,x即当a∈(0,2]由①可知，当a∈(0,2]当a∈(0,由函数hx=ax令hx=0,可得x=1a或x=令gx=y=2x2又a∈(0,2],即h函数gx在a,+∞上单调递增,故有1a<a若a<0，只需1<−故a∈解法二:参变分离(1)当a=0时:(2)当a≠0时:令ax−当t=−当t≠−2时，则等价于令g所以gt在−∞,−13解法三:数形结合当a=0时:当a≠0时,令t⇔2t2⇔4当t≤1时,当t≥3时,令u=1t4只需gu=4a243<4a2解法四:零点存在定理当a=0,有由已知有fx=2则考虑a>又f所以fx在−若a=2,曲线y=fx若a>若0<x<0,x>a,又x→+∞,fx→+∞,则只需若a<0，只需1<−综上可知,有a∈【点评】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.方向3:零点差问题例3已知函数fx=e−(1)求函数fx的零点，以及曲线y(2)若方程fx=mm【解】(1)由fx=e−xlnx=0,得因为f'x=又因为f1=fe=0,所以曲线在x=e处的切线方程为y(2)证明:因为函数fx的定义域为令px=ex−lnx−由f'所以存在x0∈1,e,使得fx不妨设x1<x令gx记mx=令qx=lnx所以qx即m'x故mx在0,1单调递减,m所以mx≥m记nx=−x所以n'x单调递增,且n'e=0,故nx则nx≥n不妨设gx因为gx1>fx由gx3=同理x4所以me−所以x所以x1【点评】零点差问题常用的方法包括切线放缩、割线放缩、函数拟合、特殊点放缩等,借助放缩确定零点区间,估计零点差的范围.方向4:比值代换解决零点不等式例4若函数fx=alnx(1)求a的取值范围；(2)若fx在x1,0和x2【解】(1)f'x=ax−x=−x2+ax,当a≤0时,f'x< 0,∵x→∴x∈0综上所述:a∈(2)先证右边:令gx=lnx∴当x∈0,1时,g'∴gx的最大值为f1∴f2a+∴x又∵f∴x再证左边:曲线y=fx在xll联立两条切线得x3=x1+x2ax1令t=x1令hth't=−t∴lnt综上所述:2x【点评】比值代换解决零点不等式的本质也是消去参数,关键在于处理好两个零点满足的式子,将其转化为比值的形式.方向5:消参减元解决零点不等式例5已知函数fx=alnx+1+1(1)求实数a的取值范围；(2)证明:2fx【解】(1)f'因为y=fx有两个极值点,所以函数p则Δ=−4a−(2)由(1)可知x1又由0<a<1可知要证2fx2−x1即证21−令函数txt'x=1+又因为t0=0,所以tx所以2fx【点评】利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点,进而建立参数与极值点之间的关系,消去参数或减少变元,从而简化目标函数.方向6:构造对称函数解决零点不等式例6已知函数fx(1)试讨论函数fx(2)若函数fx有两个零点x1,【解】(1)由已知,fx的定义域为0当a≤0时，∀x∈0,+∞，f'当a>0时,令f'当x∈0,1a当x∈1a,+∞时,综上所述，当a≤0时，fx在区间0,+∞上单调递增；当a>0时,(2)若函数fx有两个零点x则由(1)知,a>0,fx在区间0当x∈x1,x2∵f又∵x∴只需证明x1+x2>设F=lnx设Gx=令G'x=当x∈0,1a当x∈1a,2∴F'x又∵即f2∴由∗知,2a−x又∵x∴x【点评】第(2)问为极值点偏移的变式,首先需要通过x2>1a和x2>方向7:同构解决零点问题例7已知函数fx=ex−【答案】2e【解析】∵t为函数零点t∴令gx=exx2⇒∴gx在0,∴g令hx=xlnx,h'x则hett【点评】运用同构解决零点问题时,需要仔细观察,当出现指数函数和对数函数时,可以考虑指对跨阶同构的可能性.方向8:零点