24.2 数据的离散程度 教学课件 2025-2026学年数学人教版八年级下册

24.2数据的离散程度第1课时第二十四章数据的分析1.了解数据离散程度的含义，掌握离差、离差平方和、方差的定义与意义.2.学会计算一组数据的离差平方和与方差，能用方差比较两组数据的波动大小.3.能利用方差分析和解决实际问题中数据的稳定性问题，从而做出合理判断.问题

某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表所示.甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢?由样本平均数估计总体平均数

甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图所示.

比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．思考

如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？正如两幅图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.

思考

可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？

例1

体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高(单位:cm)，数据如下：八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.(1)分别计算两组数据的离差平方和；

例1

体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高(单位:cm)，数据如下：八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.(2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大.（2）因为d12<d22，所以八（5）班身高数据离散程度更大.离差平方和的计算步骤(1)求原始数据的平均数；(2)求原始数据中各数据与平均数的差；(3)求(2)中所得差的平方和.

特点：方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.而且在比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制.甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49思考你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗?

由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.例2数据1，-3，4，-2，2的方差为________.

6.64跟踪训练在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图所示，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是______.解析：由图可知，乙的数据波动比较小，因此乙的射击成绩更稳定.答案：乙.乙思考用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.

在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.例3甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.哪名射击运动员的发挥更稳定？

甲97910108910510乙910781099879

甲97910108910510乙910781099879思考如何使用计算器求方差？

使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值.数据的离散程度离差平方和

方差

1.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？

1.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？

所以这4组数据按方差大小，离散程度从小到大的排序为(1)<(2)<(3)<(4).通过直观判断和根据方差排序的结果是一致的.

B解析：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小”，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定．3.下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是(

)A．日最高气温的波动大B．日最低气温的波动大C．一样大D．无法比较A日期气温2月2日

2月3日

2月4日

2月5日

2月6日最高/℃1261098最低/℃1－2－1024.某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(

)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁B

项目甲乙丙丁平均数205217208217方差4.64.66.99.624.2数据的离散程度第2课时第二十四章数据的分析1.写出方差的计算公式：3.方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．2.意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．1.体会样本与总体的关系，能用样本方差估计总体方差，感悟通过样本特征估计总体特征的思想；2.能从集中趋势和离散程度两个维度对比分析数据，进行决策.问题

如图，为什么自动灌装线的生产的饮料实际含量会有差别？这是因为自动灌装线在运行时，会受到机器精度、气压变化、液体流速等不可控因素的影响，导致每瓶饮料的实际灌装量和标准含量之间产生误差.这种误差在工业生产中是普遍存在的.问题

如何判断哪条灌装线的质量更好？1.误差是否合格：先看误差的绝对值有没有超过规定的标准，如果所有误差都在合格范围内，说明灌装线基本稳定.2.波动是否更小：在误差都合格的前提下，比较两条线的整体波动程度.可以计算每瓶与标准值的平均差异，波动更小的那条线，灌装质量更稳定、更好.不能只看单瓶的误差，也不能只看平均含量.我们需要从两个维度来判断：例1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示.(1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？(2)哪条灌装线的灌装质量更好？甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499解：(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如下表所示.甲组误差/mL1-4-2-13-25-211乙组误差/mL-4-74-50645-2-1从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL,7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.

例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499跟踪训练

甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成两个统计图（如图1，图2）：图1甲队员射击训练成绩图2乙队员射击训练成绩根据以上信息，整理分析数据如右图：项目平均成绩/杯中位数/杯众数/杯方差甲7771.2乙77.584.2图1甲队员射击训练成绩图2乙队员射击训练成绩(1)求出表格中a,b,c的值.(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.平均成绩/杯中位数/杯众数/杯方差甲a771.2乙7b8c图1甲队员射击训练成绩图2乙队员射击训练成绩

平均成绩/杯中位数/杯众数/杯方差甲a771.2乙7b8c图1甲队员射击训练成绩图2乙队员射击训练成绩平均成绩/杯中位数/杯众数/杯方差甲a771.2乙7b8c

项目平均成绩/杯中位数/杯众数/杯方差甲7771.2乙77.584.2(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.根据表中数据可知，甲和乙的平均成绩相等，乙的中位数大于甲的中位数，乙的众数大于甲的众数，所以从平均数、中位数、众数的角度看，乙的成绩好于甲的成绩；从方差的角度看，乙的方差大于甲的方差，说明甲的成绩比乙的成绩稳定（合理即可）.决策型问题的求解策略

决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.例2 甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示.两地的气温有什么差异？时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图.时刻气温/℃2520151050时刻气温/℃2520151050

从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.

将两地气温按从小到大排列，可得甲地 9101112131416161821212324乙地 11121314151516171718192021可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.

A1013141310121311159B1116141113139111012(1)求B种小麦的平均苗高.(2)若试验田有A种小麦1

000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.A1013141310121311159B1116141113139111012(1)求B种小麦的平均苗高；(2)若试验田有A种小麦1

000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.

A1013141310121311159B1116141113139111012(1)求B种小麦的平均苗高；(2)若试验田有A种小麦1

000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.

利用方差进行决策决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.1.样本方差的作用是（

）A.表示总体的平均水平B.表示样本的平均水平C.准确表示总体的波动大小D.表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小D2.

甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试.每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示.哪名运动员的投篮更稳定？甲869681077109乙78989881067

甲0102203124乙23110211013.

甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示.(1)分别计算两组数据的平均数和方差.

甲010220