21.3.2 菱形 教学课件 2025-2026学年数学人教版八年级下册

第二十一章

四边形21.3特殊的平行四边形

21.3.2菱形第1课时1.对边平行且相等2.四个角都是直角3.对角线相等且互相平分矩形的性质有哪些？4.轴对称图形，有两条对称轴2.理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有关的证明和计算，会计算菱形的面积.1.掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系.3.掌握菱形的判定方法,会用这些判定方法进行有关的证明和计算.你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？都具有

两组对边分别平行四边形平行四边形矩形有一个角是直角菱形？四边形、平行四边形和矩形之间可以通过条件变化转换.菱形能不能由平行四边形得到呢？需要什么条件呢？在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？平行四边形有一组邻边相等的平行四边形菱形邻边相等定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.平行四边形菱形有一组邻边相等菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.几何语言：【归纳】因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即：ABDC对边平行且相等除此之外，菱形的边还有特殊的性质吗？猜想：AB=BC=CD=AD，即四条边相等.对角线互相平分对角相等如图，菱形ABCD中，AB=BC，求证：AB=BC=CD=AD.证明：∵四边形ABCD是菱形∵AB=BCABDC∴AB=CD，AD=BC∴AB=BC=CD=AD菱形的性质：菱形的四条边都相等.ABDC∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD数学语言：【归纳】任意画一个菱形，沿对角线对折，最后能得到什么样的图形？通过上面的折纸，你能猜想菱形的对角线有什么特殊的性质吗？猜想：对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.如图，四边形ABCD是菱形，求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD，∠BCD，BD平分∠ABC，∠ADC.证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD.∵在△ABO和△ADO中，AB=AD，OB=OD，OA=OA，∴△ABO≌△ADO，∠AOB=∠AOD.∵∠AOB=∠AOD，∠AOB+∠AOD=180°，∴∠AOB=∠AOD=90〫，即AC⊥BD.ABDCO【解析】菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,也是中心对称图形.BCDA【归纳】【例1】在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长.【例题】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD=3，又∵∠BAC=30°，∴AB=2BO=6,∴OA=,∴AC=.答：菱形的边长为6，对角线AC的长为.【解析】菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC,BD的长.OCBDA

∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC，OB=OD,AC⊥BD.∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2,AB=5，AO=4,∴OB=3.∴BD=2OB=6cm，

AC=2OA=8cm.543【跟踪训练】【解析】菱形的面积公式菱形ABCDOES菱形=BC·AE思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗?

=S△ABD+S△BCD=AC×BD

S菱形ABCD菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.【跟踪训练】菱形的性质及有关计算菱形的性质有关计算边1.周长=边长的四倍;2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角1.（陕西·中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）A.16B.8C.4D.1【解析】设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱形对角线互相垂直且平分，则即a2+b2=16.A2.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（

）.DA.对角线相等B.对角线互相平分C.邻边互相垂直D.对角线互相垂直3.菱形ABCD的两对角线AC，BD的长为8，6，则其边长为多少?解：∵四边形ABCD是菱形∴AC、BD互相垂直平分

ABDCO∴菱形ABCD的边长为5

第二十一章

四边形21.3特殊的平行四边形

21.3.2菱形第2课时1.四条边都相等2.两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.轴对称图形，有两条对称轴.菱形的特殊性质有哪些？1.掌握菱形的判定及证明过程。2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明。思考已知一个平行四边形，怎么样可以判定它是一个菱形？你能够证明吗？平行四边形什么条件？菱形判定1（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.几何语言：在平行四边形ABCD中，∵AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形ABDC通过上节课的学习，我们知道菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的判定方法，因此有：除了根据定义判定以外，还有其他方法吗？思考我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能试着给出证明吗？ABDCO┐与研究平行四边形和矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立.已知：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD∵AC⊥BD∴BA=AD∴四边形ABCD是菱形ABDCO┐几何语言：在平行四边形ABCD中，∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形ABDCO┐判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【归纳】例1如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：平行四边形ABCD是菱形.DACBO证明：∵

AB=5，AO=4，BO=3

∴△AOB是直角三角形∴AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形【例题】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD//BC∵DE=BF∴AE=CF，又AE//CF∴四边形AECF是平行四边形ABCDEF∵AC⊥EF∴四边形AECF是菱形【跟踪训练】思考动手画出一个四边形，满足有两条边相等的四边形是菱形吗？不是不是？你能进行证明吗？三条边相等呢？四条边相等呢？已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵

AB=CD=BC=DA∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形ABDC几何语言：在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形ABDC菱形的判定3：四条边相等的四边形是菱形.【归纳】1.一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.菱形常用的判定方法【归纳】证明：∵∠1=∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴△ACD≌△AED(SAS).同理△ACF≌△AEF(SAS).∴CD=ED,CF=EF.又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,∴四边形ABCD是菱形.2例2如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E，F分别在AB，AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBEDF1【例题】CABDEFGH如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？四边形EFGH是菱形.又∵AC=BD,∵点E，F，G，H为各边中点，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.理由如下：连接AC，BD【解析】【跟踪训练】菱形的判定判定1判定3有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定2四条边相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.1.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，则□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是

形.ABCDO矩菱矩菱2.平行四边形ABCD的两对角线AC，BD相交于点O.（1）若AB=AD，则平行四边形ABCD是